Характеристики випадкових сигналів та перешкод. Ймовірнісні характеристики випадкових сигналів

Використання методів нечіткої логіки для визначення класифікаційних характеристик випадкових процесів

1 2 А.М. Прохоренко, Н.М. Гойдала

1 Політехнічний факультет, кафедра автоматики та обчислювальної техніки

Економічний факультет, кафедра інформаційних систем

Анотація. У роботі розглядаються питання щодо необхідності класифікації випадкових процесів, що мають місце в системах управління. технологічними процесами, проводиться аналіз інформативних ознак та існуючих підходів до класифікації процесів. Запропоновано підхід, при якому класифікаційними ознаками є клас процесу (стаціонарний, нестаціонарний), вид процесу (адитивний, мультиплікативний, адитивно-мультиплікативний) та тип детермінованої складової. Запропоновано алгоритм класифікації випадкових процесів за однією реалізацією, заснований на використанні непараметричних критеріїв, показника Херста, байєсівської процедури класифікації та нечіткої логіки.

Abstract. In the paper necessity of random processes" classification in industrial control systems have been considered. Informative signs and existent methods for the classification have been analyzed. The new approach has been suggested. процеси kind (additive, multiplicative або additive-multiplicative) і deterministic constituent"s kind є classification signs. A реалізація-базований algoritm для random processes" classification has been proposed. It implies application of no-parametric criteria, Hurst items, Bayesian classifying procedure and fuzzy logic.

1. Введення

В даний час одним з основних напрямків удосконалення систем автоматичного управління (САУ) є підвищення точності управління та стабілізації технологічних параметрів у досить вузьких межах.

Важлива роль у вирішенні задачі підвищення точності управління приділяється вимірювальній підсистемі, що входить до складу САУ. Випадковий характер впливів, що обурюють, і керованих величин передбачає застосування процедури статистичної обробки результатів вимірювань, що обумовлює наявність таких складових похибки, як статистична похибка і похибка, викликана неадекватністю алгоритму обробки реальному випадковому процесу. Причиною останнього виду похибки є помилка класифікації процесу, що спостерігається. Наприклад, класифікуючи нестаціонарний процес як стаціонарний, можна збільшити методичну похибку в оцінці математичного очікування рахунок збільшення інтервалу згладжування. У свою чергу, ускладнення алгоритму вимірювання з метою зменшення методичної похибки призводить, як правило, до зростання інструментальної похибки. Встановлення апріорі класу процесу багато в чому визначає алгоритм обробки результатів вимірювань та апаратні засоби.

У САУ необхідність класифікації випадкових процесів обумовлена ​​вимогами обгрунтованого переходу від аналізу ансамблю реалізацій до аналізу однієї реалізації. Крім того, знання класу процесу потрібне для опису його динаміки, прогнозування його майбутніх значень та вибору алгоритмів управління.

2. Аналіз інформативних ознак та підходів до класифікації випадкових процесів

Поширений підхід при класифікації об'єктів будь-якої природи, зокрема й випадкових процесів, полягає у виділенні інформативних ознак. Проведений аналіз показав, що інформативні ознаки, що використовуються при класифікації процесів, відрізняються різноманітністю та визначаються поставленою авторами метою класифікації.

Усі процеси X(t), які характеризують фізичні явища, у найзагальнішому вигляді можна класифікувати як детерміновані і випадкові.

Детермінований процес визначається однією єдиною реалізацією, що описується заданою функцією часу. Внаслідок неминучого впливу різноманітних зовнішніх та внутрішніх факторів стосовно системи управління детермінований процес є абстракцією. У зв'язку з цим у практиці дослідження процесів розглядають квазідетермінований процес,

реалізації якого описуються функціями часу заданого виду аь...,ап), де аь...,ая -незалежні від часу випадкові параметри.

На відміну від детермінованого процесу, випадковий процес представляється як випадкової функції Х(/,т), де t - час, ті Про, Про - простір елементарних подій. Функція Х(/,т) у будь-який час може приймати різні значення з відомим чи невідомим законом розподілу.

Віднесення процесу до класу випадкових може бути обумовлено або його фізичною природою, або умовами його вивчення, що призводять до недостатності апріорних даних. Якщо основою класифікації покласти причини виникнення випадковості, можна виділити несингулярні і сингулярні процеси. До першої групи належать процеси, котрим неможливо простежити характер причинно-наслідкових зв'язків, оскільки є результатом суперпозиції великої кількості елементарних процесів. Для несингулярних процесів неможливо здійснювати прогнозування миттєвих значень. Для процесів другої групи за наявності певного обсягу даних прогнозування їх миттєвих значень стає достовірним. Сингулярні процеси можуть бути як випадковими, і детермінованими. У системах управління технологічними об'єктами всі процеси слід розглядати як випадкові, і для обробки результатів спостережень у реальному масштабі часу причина випадковості процесу не має значення.

Теоретично випадкових процесів найбільш загальної класифікацією, є класифікація " за часом " і " станом " (Вентцель, Овчаров, 2000; Коваленко та інших., 1983; Левін, 1989). За цими ознаками можна виділити чотири класи: 1) процеси з дискретними станами та дискретним часом; 2) процеси з дискретними станами та безперервним часом; 3) процеси з безперервними станами та дискретним часом; 4) процеси з безперервними станами та безперервним часом.

Процеси, які у системах автоматичного управління, є випадкові процеси з безперервними станами і безперервним часом. Використання цифрової вимірювальної техніки призводить до необхідності розгляду процесів у дискретні моменти часу та віднесення їх до першого чи третього класу.

Вичерпною характеристикою випадкового процесує багатовимірний закон розподілу:

^п(хЬ X2, /2; ... ; х^ 4) = Р(Х(^)< XI,Х^)< хъ...,Х(4)< хп}.

Насправді, зазвичай, розглядають одномірний чи двомірний закони розподілу випадкового процесу, оскільки вони містять достатній обсяг інформації про властивості випадкового процесу, а приріст кількості інформації під час використання ймовірнісних характеристик вищого порядку виявляється незначним. Крім того, визначення багатовимірних імовірнісних характеристик пов'язане з великими труднощами апаратної реалізації алгоритмів їх обчислення.

З урахуванням зміни ймовірнісних характеристик у часі випадкові процеси поділяються на стаціонарні (ССП) та нестаціонарні процеси (НСП). Ймовірнісні характеристикиССП однакові у всіх перерізах. Умовою стаціонарності у вузькому значенні є інваріантність п-вимірної щільності ймовірності щодо тимчасового зсуву т. тимчасового зсуву т, тобто:

М [Х (0 \ = сош1, £ [Х (0 \ = сош1, Ях (Ь, t2) = Rx (т), т = ^ 2 - 1).

Насправді здебільшого кореляційна функція є досить повної характеристикою ССП, тому зазвичай обмежуються виявленням стаціонарності процесу у сенсі.

Структуру випадкового процесу можна встановити за кореляційною функцією або відомою щільністю розподілу.

Залежно від типу законів розподілу можна назвати нормальні, рівномірні, релеєвські, пуассонівські та інші випадкові процеси. Відхилення від класичної форми розподілу свідчить про нестаціонарність процесу. За однією реалізації обмеженої довжини важко з достатньою точністю судити про закон розподілу випадкового процесу, і в більшості прикладних випадків аналізу дослідник не має інформації про вид функції розподілу. Тоді тип процесу або постулюється, або функція розподілу не враховується під час аналізу.

Більше повну інформаціюпро динамічні властивості процесу можна отримати за кореляційною функцією. Типовою кореляційною функцією ССП є симетрична спадна функція. Наявність коливання кореляційної функції свідчить про періодичність випадкового процесу. Якщо кореляційна функція аперіодично згасає, то

випадковий процес вважається широкосмуговим. Багатосмуговий випадковий процес характеризується трикутною кореляційною функцією. Стаціонарні - у широкому сенсі - процеси мають кореляційні функції, які при необмеженому збільшенні т прагнуть постійної величини або є періодичними функціями від т. Кореляційна функція постійного сигналу Х(()=Л є також постійною функцією Я(т)=А2.

Стаціонарні процеси, кореляційні функції яких включають експоненту з негативним аргументом, є ергодичними. Прагнення кореляційної функції до деякої постійної величини, яка відрізняється від нуля, зазвичай є ознакою неергодичності процесу.

Визначення статистичних показників випадкових процесів принципово можливе двома шляхами: визначення за однією реалізації та з ансамблю реализаций. Якщо ймовірнісні характеристики процесу, отримані усередненням за часом, дорівнюють аналогічним характеристикам, знайденим усередненням по ансамблю, випадковий процес є ергодичним. Процеси, які мають властивістю ергодичності, можна обробляти лише з ансамблю реализаций.

Знання апріорі про ергодичність процесу значно спрощує алгоритмічне забезпечення інформаційно-вимірювальних та інформаційно-керівних комплексів. В умовах реальних технологічних процесів та систем управління перевірити глобальну ергодичність процесів неможливо, і вона сприймається як гіпотеза.

Для нестаціонарних процесів характерна зміна в часі їх статистичних характеристик, тому під час класифікації це можна врахувати. З погляду такого підходу зазвичай виділяють процеси, які мають змінне в часі середнє значення; змінне у часі середнє значення квадрата, змінні у часі середнє та середнє значення квадрата, змінну за часом частотну структуру (Бендат, Пірсол, 1989). Подібна класифікація відбиває зміну у часі оцінок імовірнісних характеристик.

Проведений вище аналіз показав, що неспроможна існувати єдиної класифікації процесів з незалежності класифікаційних ознак і різноманітності цілей класифікацій. Можна виділити кілька підходів до класифікації процесів. Значна частина авторів прагне систематизувати інформацію про випадкові процеси, щоб показати все їхнє різноманіття (Вентцель, Овчаров, 2000; Коваленко та ін., 1983; Левін, 1989; Шахтарін, 2002). Найбільш загальний підхід до класифікації як стаціонарних, і нестаціонарних процесів пов'язані з їх безперервним чи дискретним уявленням (Вентцель, Овчаров, 2000; Коваленко та інших., 1983; Левін, 1989).

У прикладних випадках враховується специфіка завдань, вирішенню яких має передувати класифікація процесів, що спостерігаються. Так, наприклад, у (Цвєтков, 1973; 1984; 1986) проведено класифікацію процесів у метрології за ознаками стаціонарності та ергодичності з метою виявлення причин та аналізу їх впливу на методичну похибку вимірювань статистичних характеристик випадкових процесів. У радіотехніці широко використовується класифікація за спектральними властивостями сигналів (Левін, 1989). Для обґрунтування переходу від аналізу ансамблю реалізацій до аналізу індивідуальних реалізацій (Бендат, Пірсол, 1989) пропонується виконати класифікацію за типами нестаціонарності і при цьому розглядається поведінка у часі оцінок статистичних характеристик.

Таким чином, існуючі в даний час підходи до класифікації випадкових процесів не дозволяють розробити алгоритм аналізу з метою виявлення характеру нестаціонарності процесу, виду детермінованих складових та їх характеристик, необхідних для вирішення завдань оперативного контролю та управління технологічними процесами, по одній реалізації. У цьому актуальними є рішення, створені задля узагальнення і вдосконалення існуючих підходів до класифікації випадкових процесів.

3. Класифікація випадкових процесів з однієї реалізації

Випадкові процеси, які у системах управління, можна як результат спільної дії детермінованого корисного сигналу і стаціонарної перешкоди. У загальному випадку вплив перешкоди на корисний сигнал може бути виражений оператором Х(()=У(ф((), £(/)), де ф(/) -корисний сигнал (сигнали), е(() - стаціонарна перешкода). Залежно від виду оператора V розрізняють такі моделі сигналів (Харкевич, 1965):

адитивна модель Х(0 = + е(0; (1)

мультиплікативна модель Х(/) = ф2(/) е(/); (2)

адитивно-мультиплікативна модель Х(/) = щ(() + ф2(/) е(Г), (3)

де ф1(0, ф20) – детерміновані функції часу, е(1) – стаціонарний випадковий процес з нульовим математичним очікуванням ше = 0 та постійною дисперсією Д.

Прикладом адитивного процесу може бути вихідний сигнал вимірювального приладу, коли корисний сигнал підсумовується внутрішнім шумом приладу. Зміна жорсткості мембрани датчика манометра, зміна коефіцієнта посилення підсилювача, зміна опорної напруги у цифровому вольтметрі та інші є причинами мультиплікативної похибки вимірювальних систем, що описується мультиплікативною моделлю. У багатьох випадках нестаціонарний процес похибок можна описати як адитивно-мультиплікативної моделі.

У інженерній практиці зазвичай розглядаються стаціонарні у сенсі процеси, у своїй оцінюється у часі поведінка математичного очікування, дисперсії і кореляційної функції. Тому і при класифікації нестаціонарних процесів слід виходити з аналізу цих характеристик.

З урахуванням прийнятих припущень математичне очікування тХ, дисперсія БХ та кореляційна функція RX випадкових процесів, представлених моделями (1-3), мають такий вигляд:

адитивна

мультиплікативна

адитивно-мультиплікативна

тХ(0 = ф:(0; Ду(0 = Д;);

Rx(tl, /2) = Rs(th /2);

тХ(() = 0; Ду(0 = ^(ОД; Rx(tl, /2) = ^(М^^ША, /2); тХ(Р) = ф1(/); ДКО = Ф22(№; Rx(tl, /2) = Ф2(ЬШ/2ШЬ, /2).

З наведених співвідношень випливає, що математичне очікування для адитивної та адитивно-мультиплікативної моделей залежить від детермінованої складової ф1(/). Дисперсія та кореляційна функція адитивної моделі повністю характеризуються властивостями стаціонарної перешкоди. А для мультиплікативної та адитивно-мультиплікативної моделей ці ймовірнісні характеристики визначаються також детермінованою складовою ф2(/).

Вирази (4) і (6) показують, що для процесів, представлених адитивною та адитивно-мультиплікативною моделями, математичне очікування можна оцінити за однією реалізацією за допомогою тієї чи іншої операції, еквівалентної фільтрації низьких частот.

Якщо дисперсія перешкоди е(Г) стала, то визначити середній квадрат мультиплікативного та адитивно-мультиплікативного процесів (і тим самим отримати оцінку дисперсії) також можна за однією реалізацією (Бендат, Пірсол, 1989).

Таким чином, для процесів, представлених моделями (1-3) немає необхідності перевіряти ергодичні властивості нестаціонарного випадкового процесу.

Точність оцінки статистичних характеристик залежить від типу та параметрів детермінованих процесів ф1(/) та ф2(/) (РгокІогвпкоу, 2002), тому класифікація процесів за видом нестаціонарності має бути доповнена класифікацією за видом детермінованих процесів.

Класифікацію слід розглядати як необхідний попередній етап дослідження випадкових процесів з метою виявлення їх властивостей до проведення основної статистичної обробки, тому в певному сенсі класифікація повинна відображати алгоритм аналізу процесу, що спостерігається. З урахуванням сказаного було розроблено класифікацію випадкових процесів за наявності однієї реалізації досліджуваного процесу (рис. 1). Як класифікаційні ознаки були обрані клас процесу, вид нестаціонарності: нестаціонарність з математичного очікування (МО), нестаціонарність з дисперсії, нестаціонарність з кореляційної функції (КФ), а також закони зміни математичного очікування та дисперсії. У запропонованій класифікації як детермінованих складових розглядаються перехідні процеси, що найбільш часто зустрічаються в інженерній практиці: лінійний, експоненційний, періодичний, періодичний загасаючий.

Реалізація випадкового процесу

Стаціонарний з МО

Нестаціонарний з МО

СП з дисперсії

НВП з КФ

НВП з дисперсії

СП з КФ НСП з КФ

Лінійний

НВП з дисперсії

СП з КФ НСП з КФ

СП з дисперсії

НВП з КФ

Експонентний

Періодичний

Періодичний загасаючий

Мал. 1. Класифікація випадкових процесів, представлених однією реалізацією

4. Постановка задач класифікації випадкових процесів

У випадку під класифікацією розуміється поділ аналізованої сукупності об'єктів чи явищ на однорідні, у певному сенсі, групи, чи віднесення кожного із заданої безлічі об'єктів одного із заздалегідь відомих класів. У другий випадок маємо завдання класифікації за наявності навчальних вибірок ( " класифікація з навчанням " ). У класичному вигляді розв'язання цієї задачі полягає у виконанні відображення виду:

тобто. віднесення об'єкта, заданого вектором інформативних ознак Я = (г г2, ..., гп), до одного із заздалегідь визначених класів (й? а2, ..., аШ).

Процеси, представлені моделями виду (1-3), належать до класу випадкових нестаціонарних процесів. Для виявлення нестаціонарних властивостей пропонується використовувати непараметричні критерії (Кендалл, Стьюарт, 1976), показник Херста (Федер, 1991) та корелограми, за результатами застосування яких формуватиметься вектор інформативних ознак Я.

Значна більшість непараметричних критеріїв реагують зміну оцінки математичного очікування. Таким чином, непараметричні критерії без попередньої обробки ряду, що спостерігаються, дозволяють виділити два класи процесів "стаціонарні з математичного очікування" і "нестаціонарні з математичного очікування".

За значенням показника Херста можна судити як про стаціонарність процесу з математичного очікування, так і про вид детермінованої складової. Це дозволяє апріорно розглядати три класи процесів: стаціонарні з математичного очікування; нестаціонарні за математичним очікуванням, що змінюється за монотонним законом; нестаціонарні за математичним очікуванням, що змінюється за періодичним законом.

Як було зазначено в розділі 2, кореляційна функція містить інформацію про динамічні властивості досліджуваного процесу. Вихід корелограми за 95% довірчий інтервал дозволяє певною мірою судити про те, наскільки процес, що вивчається, відрізняється від білого шуму.

Неможливість застосування процедури класифікації для одночасного виділення класів нестаціонарних процесів з математичного очікування та дисперсії призводить до необхідності дворазового застосування процедури класифікації.

Друга проблема у тому, що інформативні ознаки задані різних шкалах. Результат застосування окремо кожного непараметричного критерію вимірюється в дихотомічній шкалі, і ознака може приймати два значення "випадковий процес не містить детерміновану складову" - "процес містить детерміновану складову", або "0" та "1". А показник Херста вимірюється в кількісній шкалі та набуває значення в діапазоні від нуля до одиниці.

Тести на випадковість мають різну ефективність при різних видах детермінованих складових нестаціонарних випадкових процесів, тому в умовах обмеженої апріорної інформації про властивості досліджуваного процесу рішення про клас процесу слід приймати за результатами застосування сукупності критеріїв. У зв'язку з цим пропонується отримати якусь узагальнену класифікаційну ознаку. В основу класифікації за непараметричними критеріями пропонується покласти байєсовську процедуру для бінарних ознак (Афіфі, Ейзен, 1982). Отримані таким чином оцінки далі розглядаються як узагальнений результат застосування непараметричних критеріїв, а апостеріорна ймовірність – як класифікаційна ознака. При цьому шкала вимірювань стає такою самою, що і для показника Херста.

Третя проблема пов'язана із залежністю значень виділених класифікаційних ознак від довжини реалізації та параметрів досліджуваного процесу, які на етапі класифікації процесу невідомі. Тому слід шукати у відповідь питання: " Якою мірою досліджуваний процес належить тому чи іншому класу? " . Через таку постановку питання для класифікації процесів пропонується використовувати методи нечіткої логіки.

5. Байєсівська процедура класифікації

Потрібно виконати класифікацію процесу Х(/) на основі наявності або відсутності подій. Кількість подій (ознак) дорівнює кількості аналізованих непараметричних критеріїв. Визначимо для кожного події (у = 1, 2, ..., п) випадкову величину:

У нашому випадку Гу = 1, якщо в досліджуваному процесі Х(/) за критерієм виявлено тенденцію зміни математичного очікування, Гу = 0 - в іншому випадку.

R = (rb r2, ..., rn) ^ ye (di, d2, ..., dm),

1, якщо подія має місце, 0, якщо подія у відсутня.

Імовірність приналежності об'єкта до класу за умови рівності значення ознаки Ту одиниці позначимо якру = Рг (ту = 1 | е), тоді Рг (ту = 0 | е,) = 1-ргу для / = 1,2, ..., т , у = 1,2, ... п. Оскільки непараметричні критерії дозволяють розбити безліч досліджуваних процесів на стаціонарні та нестаціонарні процеси, то в даному випадку т = 2.

Закон розподілу Ту для класу має вигляд:

/ (Ту) = РТ (1 - Ру)1-ТУ.

Результати застосування непараметричних критеріїв є незалежними, тому спільний закон розподілу/(г) для класу можна записати у вигляді:

/ г (Г) = П / г (Ту).

Припустимо, що апріорні ймовірності однакові *1 = q2 = 0,5 і вартості помилкової класифікації рівні. Вартість помилкової класифікації у разі пов'язані з втратами, які можуть бути за віднесенні стаціонарного процесу до класу нестаціонарних чи за віднесенні нестаціонарного процесу до стаціонарного процесу. Умовна ймовірність Рг(ё, | г) те, що досліджуваний процес належить класу при цьому векторі спостережень (апостеріорна ймовірність), визначається за такою формулою (Афифи, Эйзен, 1982):

ъ П РТ (1 - Ру)

Рг(е/ | г) = ■

П Рку (! - Рку)1-

Процес Х(0 відноситься до того класу для якого величина Рг(е, | г) максимальна. Величини ру оцінюються за навчальною вибіркою з процесів, що належать всім моделям (1-3) і містять різні типидетермінованих складових. Нехай 51 і 52 - число нестаціонарних та стаціонарних по МО процесів, відповідно, 5 = 51 + 52. Позначимо як ^ у число процесів класу /, для яких за критерієм виявлено нестаціонарність за МО. Тоді ру = wiуlSi. Оцінки ру отримані для різних довжин реалізацій випадкових процесів.

Для кожного процесу, що знову надходить Х(/), характеризується вектором значень ознак (т1, ..., тп), оцінка апостеріорної ймовірності маємо вигляд:

Рг(е/ | г) = ■

6. Пропонована процедура нечіткої класифікації

Кожна класифікаційна ознака Ку задається лінгвістичною змінною, що характеризується трійкою елементів<Ку, Ту, Пу>, де Ку - ім'я змінної; Ту - терм-множина, кожен елемент якого представляється як нечітка множина на універсальній множині Пу.

Універсальна безліч значень показника Херста - ПН = . Значення Н на околиці 0,4< Н < 0,6 определяют собой область белого шума в нечетком смысле. Значения Н в окрестности 0,3±0,1 говорят о наличии в рассматриваемом временном ряду периодической компоненты. Значения Н, близкие к единице, характеризуют наличие монотонной компоненты в исследуемом процессе.

Визначимо терм-множину як імена можливих складових нестаціонарних випадкових процесів: "періодична", "стаціонарна", "монотонна". Функції приналежності поставимо у вигляді різниці двох гаусових функцій, що визначаються співвідношенням:

і(х, сг1, с1, сг2, с2) = е а" - е °2 .

Дана функція приналежності дозволяє відобразити той факт, що для кожного типу процесу характерний певний діапазон значень показника Херста - ядро ​​нечіткої множини непорожнє. Дослідження показали, що ймовірність помилки віднесення процесу, що містить періодичну складову, до шуму

вище, ніж ймовірність помилки віднесення до шуму зашумленого монотонного процесу. Несиметрична подвійна функція гауса дає можливість відобразити цей момент. Функції приналежності лінгвістичної змінної "показник Херста" до налаштування нечіткої моделі наведено на рис. 2а.

Універсальна безліч значень оцінки апостеріорної ймовірності (7) ПРг = . Значення оцінки близькі до одиниці говорять про наявність детермінованої складової у досліджуваному ряду, а близькі до нуля – про випадковість ряду. Терм-множина змінної "непараметричні критерії" визначимо як ("стаціонарний", "нестаціонарний"). Формалізацію термів здійснимо за допомогою подвійної гаусової функції приналежності (рис. 2б).

Третю лінгвістичну змінну назвемо "корелограма". Універсальна множина значень цієї змінної Пк = - ваговий коефіцієнт правила з номером /р.

Як рішення вибирають клас із максимальним ступенем приналежності:

Mdi(**), Md2(**), ..., Mäm(**)),

де символом * позначено вектор значень класифікаційних ознак досліджуваного процесу.

Налаштування являє собою знаходження параметрів функцій належності вхідних змінних та вагових коефіцієнтів правил, які мінімізують відхилення між бажаною та дійсною поведінкою нечіткого класифікатора на навчальній вибірці.

Критерії близькості можна визначити у різний спосіб. У цій роботі використовувався критерій, запропонований (Штовба, 2002). Навчальна вибірка формується з L пар даних, що зв'язують входи X = (xb x2, ..., xn) з виходом y досліджуваної залежності: (Xq, yq), q = 1, 2, ..., L. Введемо такі позначення: P – вектор параметрів функцій приналежності термів вхідних; W - вектор вагових коефіцієнтів правил бази знань; F(Xq, P, W) - результат виведення по нечіткій базі з параметрами (P,W) при значенні входів Xq; ßd(yq) - ступінь належності значення вихідний змінної y в q-ой парі навчальної вибірці до рішення d,; цdi(Xq, P, W) - ступінь належності виходу нечіткої моделі з параметрами (P, W) до рішення d, що визначається за формулою (8) при значеннях входів з пари q-ої навчальної вибірки. В результаті завдання оптимізації набуває наступного вигляду:

1 L m t \ Т Z Sq Z ((yq) - Mdi (Xq, P, W))

Мал. 3. Функція приналежності лінгвістичної змінної "показник Херста" після налаштування

= [1, якщо yq = F (Xq, P, W)

де q.

Вираз (4.15) зовні збігається з визначенням (2.131) кореляційної функції детермінованого сигналу (періодичного).

Часто застосовується нормована кореляційна функція

Функції характеризують зв'язок (кореляцію) між значеннями розділеними проміжком. Чим повільніше, плавніше змінюється у часі тим більше проміжок , у якого спостерігається статистична зв'язок між миттєвими значеннями випадкової функції.

При експериментальному дослідженнівипадкових процесів використовуються тимчасові кореляційні характеристики процесу (4.15)-(4.19), оскільки, як правило, експериментатору доступне спостереження однієї реалізації сигналу, а не безлічі його реалізацій. Інтегрування виконується, звісно, ​​над нескінченних межах, але в кінцевому інтервалі Т, довжина якого має бути тим більше, що вища вимога до точності результатів виміру.

Властивості випадкових сигналів оцінюють за допомогою статистичних(імовірнісних) характеристик. Вони є невипадковими функціями та (або) числами, знаючи які, можна судити про закономірності, які притаманні випадковим сигналам, але виявляються тільки при їх багаторазових спостереженнях.

7.4.1. Характеристики випадкових сигналів, що не змінюються в часі

Основними статистичними характеристиками сигналу, поданого випадковою величиною (7.2), є: функція розподілу
, щільність розподілу ймовірностей
(ПРВ), математичне очікування , дисперсія , середньоквадратичне відхилення (СКО) та довірчий інтервал . Розглянемо ці параметри.

, (7.64)

де
- символ ймовірності події .

. (7.65)

Розмірність ПРВ
обернена розмірності величини .

, (7.66)

Результат обчислень за цією формулою відрізняється від середнього значеннявипадкової величини та збігається з ним лише у разі симетричних законів розподілу (рівномірного, нормального та інших).

Величина називається центрованою випадковою величиною. Математичне очікування такої величини дорівнює нулю.

4. Дисперсіявипадкової величини визначає середньозважене значення квадрата відхилення цієї величини від її математичного очікування. Дисперсія обчислюється за формулою

(7.67)

і має розмірність, що збігається з розмірністю квадрата величини

Середньоквадратичне відхиленняобчислюється за формулою

і, на відміну дисперсії має розмірність, що збігається з розмірністю вимірюваної фізичної величини. Тому СКО виявляється зручнішим показником ступеня розкиду можливих значень випадкової величини щодо її математичного очікування.

Відповідно до правила "трьох сигм", практично всі значення випадкової величини, що володіє нормальнимзаконом розподілу, що потрапляють всередину інтервалу
, що примикає до математичного очікування цієї величини

6. Довірчим інтервалом називається діапазон можливих значень випадкової величини, в якому ця величина знаходиться із заздалегідь заданою довірчою ймовірністю . Цей діапазон можна записати у вигляді
, або у вигляді

тобто. межі довірчого інтервалу розташовані симетрично щодо математичного очікування сигналу, а площа криволінійної трапеції з основою
дорівнює довірчій ймовірності (Мал. 7.7). Зі зростанням довірчий інтервал також збільшується.

Половину довірчого інтервалу можна визначити, вирішуючи рівняння

. (7.70)

У практиці інженерних розрахунків найбільш широке застосування серед перерахованих статистичних характеристик випадкового сигналу набула ПРВ
. Знаючи ПРВ, можна визначити інші статистичні характеристики сигналу. Тому функція
є повною статистичною характеристикоювипадковий сигнал.

Вкажемо на основні властивості ПРВ:

2.
і
, тобто, знаючи ПРВ
, можна визначити функцію розподілу випадкової величини
і, навпаки, знаючи функцію розподілу можна визначити ПРВ;

, (7.71)

звідси випливає умова нормуванняПРВ

. (7.72)

оскільки ймовірність події
дорівнює одиниці. Якщо всі можливі значення вимірюваної випадкової величини займають інтервал
, то умова нормування ПРВ має вигляд

, (7.73)

У будь-якому випадку, площа криволінійної трапеції, утвореної графіком ПРВ, дорівнює одиниці. Цю умову можна використовувати визначення аналітичного виду (формули) ПРВ
, якщо відомі лише форма графіка або лише вид цієї функції (див. Додаток 5, завдання 7.6).

7.4.2. Характеристики системи випадкових сигналів

Процес виміру характеризується наявністю безлічі випадкових величин і подій, що у формуванні результату виміру. Крім самої вимірюваної величини, сюди входять неінформативні параметри об'єкта контролю, параметри засобу вимірювань, параметри навколишнього середовища проживання і навіть стан споживача вимірювальної інформації. Їх сукупне впливом геть результат виміру виявляється у цьому, що це результат, отриманий знову за (здавалося б) незмінних умов вимірів, відрізняється від колишнього результату. Проводячи повторні виміри та накопичуючи дані (статистику), можна, по - перше, скласти уявлення про рівень розкиду результатів вимірів і, по - друге, спробувати з'ясувати вплив кожного чинника похибка результату вимірів.

Якщо розглядаються кілька (Дві і більше) випадкових величин, то вони утворюють систему випадкових величин. Така система крім перерахованих вище характеристик кожної випадкової величини окремо має додаткові характеристики, що дозволяють оцінити рівень статистичних зв'язків між усіма випадковими величинами, що утворюють систему Такими характеристиками є кореляційні моменти(Ковариації) для кожної пари випадкових величин, . Вони обчислюються за формулою

, (7.74)

де
-двовимірна ПРВсистеми двох випадкових величин і (з математичними очікуваннями відповідно), що характеризує спільний розподілцих величин.

За відсутності статистичного зв'язку між величинами і відповідний кореляційний момент дорівнює нулю (тобто.
). Такі випадкові величини називаються статистично незалежними.

За виконання математичних операцій із випадковими величинами, мають відомі статистичні характеристики, важливо вміти визначати статистичні характеристики результатів цих операцій. Нижче такі характеристики наводяться для найпростіших математичних операцій:

Якщо величини статистично незалежні, то . тобто. дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин.

У таблиці 7.2. наведено формули для визначення характеристик суми двохвипадкових величин. В цьому випадку ,
, а дисперсія та СКО результату підсумовування суттєво залежать від величини відносного коефіцієнта кореляції сумованих величин
, де
.

Таблиця 7.2.

Статистичні характеристики суми двох випадкових величин

Рівність
відповідає випадку, коли зміна величини завжди тягне у себе зміна величини завжди у той самий бік, як і, тобто.
. Якщо знаки змін цих величин завжди протилежні один одному, то
. Нарешті, якщо величини мають кінцеві дисперсії і статистично не залежать один від одного, то
. Зворотне твердження справедливе лише для нормально розподілених випадкових величин.

Якщо величини статистично незалежні, то

, .

,

Аналогічно, якщо
- відома функція двохбезперервних випадкових величин , спільна (двовимірна) ПРВ яких
відома, то математичне очікування і дисперсію такої випадкової величини можна визначити за формулами

, (7.80)

Усі попередні формули для обчислення результатів математичних операцій із випадковими величинами можна отримати із цих загальних формул.

7.4.3. Типові розподіли випадкових сигналів

Розглянемо статистичні характеристики безперервних випадкових величин, що мають типовірозподілу.

7.4.3.1. Рівномірний розподіл.

У разі рівномірного розподілу випадкова величина (7.2) з однаковою густиною ймовірності потрапляє в кожну точку обмеженого інтервалу. ПРВ
та функція розподілу
такої випадкової величини мають вигляд (рис. 7.8)

(7.81)

Інші (приватні) статистичні характеристики такої випадкової величини можна обчислити за формулами

,
,
,
. (7.82)

7.4.3.2. Трикутний розподіл (розподіл Сімпсона)

У цьому випадку графік ПРВ має форму трикутника з вершиною у точці
, А графік інтегрального закону розподілу являє собою плавне сполучення двох парабол у точці
, де,
,
(Мал. 7.9).

(7.83)

Математичне очікування та дисперсію такої випадкової величини можна обчислити за формулами

,
. (7.84)

Якщо
, то розподіл Сімпсона стає симетричним. В цьому випадку

,
,
,
. (7.85)

7.4.3.3. Нормальний розподіл (розподіл Гауса)

Нормальний розподіл відноситься до одного з найпоширеніших розподілів випадкових величин. Частково це пов'язано з тим, що розподіл суми великої кількості незалежних випадкових величин, що мають різні закони розподілів, що часто зустрічається на практиці, наближається до нормального розподілу. У цьому випадку ПРВ та функція розподілу мають вигляд

,
. (7.86)

СКО та математичне очікування такої величини збігаються з параметрами
розподілу, тобто.
,.

Довірчий інтервал не виражається через елементарні функції, але може бути знайдено з рівняння (7.70). Результат розв'язання цього рівняння для заданого значення довірчої ймовірності можна записати у вигляді
, де
- квантиль, значення якого залежить від рівня довірчої ймовірності .

Існують табличні значення функції
. Наведемо деякі з них:

,
,
,
,
........

Звідси видно, що з досить високою ймовірністю (
) практично всі значення випадкової величини, що має нормальний розподіл, потрапляють в інтервал
, що має ширину
. Це властивість покладено основою правила «трьох сигм».

На рис. 7.10 показані графіки ПРВ та інтегрального закону нормального розподілу для двох різних значень СКО (
) та однакового математичного очікування.

Видно, що графік ПРВ є одногорбою «резонансною» кривою з максимумом у точці
, розташовану симетрично щодо математичного очікування Ця крива тим «гостріша», чим менше СКО. Відповідно, тим менший розкид можливих значень випадкової величини щодо її математичного очікування. Однак у всіх випадках площа криволінійної трапеції, обмежена графіком ПРВ, дорівнює одиниці (див. (7.72)).

Теоретично ймовірностей крім розглянутих вище характеристик застосовують ще й інші характеристики випадкової величини: характеристичну функцію, ексцес, контрексцес, квантильні оцінки та ін. Однак, розглянутих характеристик цілком достатньо для вирішення більшості практичних завдань вимірювальної техніки. Покажемо приклад розв'язання такого завдання.

Приклад 7.4: Потрібно визначити параметр А (координату вершини) густини розподілу ймовірностей випадкового вимірювального сигналу, графік якої показано на рис. 7.11 (передбачається, що відома лише формацього графіка).

Потрібно також визначити можливість, що величина (модуль) сигналу буде більше, ніж його СКО , тобто. потрібно визначити ймовірність події
.

Рішення: Значення параметра Авизначимо з умови нормування ПРВ (7.73), яка в даному випадку має вигляд

.

Тут перший доданок відповідає площі прямокутника, що лежить на рис. 7.11 під графіком ПРВ ліворучпунктирної лінії
, друге - площі прямокутного трикутника, що лежить правішецієї лінії. З отриманого рівняння знаходимо
. З урахуванням цього результату, густину розподілу ймовірностей можна записати у вигляді

Тепер можна обчислити математичне очікування, дисперсію та СКОсигналу. За формулами (7.66), (7.67) та (7.68) відповідно отримуємо: На рис. 7.11 штрихпунктирними лініями показані межі інтервалу
.

Відповідно до умови нормування (7.71), шукана ймовірність дорівнює сумі площ під графіком ПРВ, розташованих ліворуч від точки
(в даному прикладі ця площа дорівнює нулю) і правіше точки
, тобто.

.

7.4.4. Характеристики випадкових сигналів, що змінюються у часі

Випадковий сигнал, що змінюється у часі у випадку містить детерміновану (систематичну) і центровану випадкову (флуктуаційну) складові, тобто.

. (7.87)

На рис. 7.12 показаний графік однієїіз низки можливих реалізацій такого сигналу. Пунктиром показано його детерміновану складову
поблизу якої групуються і навколо якої коливаються всі інші реалізації сигналу.

Повне уявлення про характеристики такого сигналу дає генеральна (повна) сукупність його реалізацій. Насправді вона завжди кінцева. Тому характеристики випадкового сигналу, знайдені дослідним шляхом, слід вважати оцінками його дійсних характеристик.

У кожен момент часу (тобто в кожному перерізі сигналу) значення випадкової функції часу (7.87) є випадковою величиною
із відповідними статистичними характеристиками, розглянутими вище. Зокрема, детермінована складова випадкового сигналу у кожний момент часу збігається з математичним очікуваннямвідповідної випадкової величини
, тобто.

, (7.88)

де
- одновимірна ПРВ випадкового процесу (7.87), яка, на відміну від розглянутої вище ПРВ випадкової величини (7.65), залежить не тільки від, а ще й від часу.

Ступінь розкиду реалізацій випадкового сигналу щодо його систематичної складової (7.88) характеризує максимальне значення модуля флуктуаційної складової сигналу та оцінюється за величиною СКО цієї складової, яка у загальному випадку також залежить від часу

. (7.89)

де
- Дисперсія випадкового сигналу, що обчислюється за формулою

. (7.90)

Для кожного моменту часу можна визначити довірчий інтервал
(див. (7.70)), а потім побудувати довірчу область, тобто. таку область, у якій реалізації випадкового сигналу
потрапляють із заздалегідь заданою довірчою ймовірністю (Мал. 7.13).

Трьох розглянутих характеристик (
і
) достатньо для того, щоб скласти загальне уявлення про властивості випадкового вимірювального сигналу (7.87). Однак їх недостатньо, щоб судити про внутрішньому складі(спектр) такого сигналу.

На рис. 7.14, зокрема, показано графіки реалізацій двох різнихвипадкових сигналів з однаковим математичним очікуванням
та СКО
. Відмінність цих сигналів виявляється у різному спектральному (частотному) складі їх реалізацій, тобто. у різному ступені статистичного зв'язку між значеннями випадкового сигналу у два моменти часу і
, що віддаляються один від одного на величину. Для сигналу, показаного на рис. 7.16, ацей зв'язок сильніша, ніж для сигналу на рис. 7.14, б.

У теорії випадкових процесів подібний статистичний зв'язок оцінюється за допомогою автокореляційної функціївипадкового сигналу (АКФ), що обчислюється за формулою

, (7.91)

де
-двовимірнаПРВ сигналу.

Розрізняють стаціонарніі нестаціонарніВипадкові сигнали. Якщо сигнал (7.87) стаціонарний, його математичне очікування (7.88) і дисперсія (7.90) не залежать від часу, яке АКФ (7.91) залежить немає від двох аргументів і , а лише від одного аргументу - величини часового проміжку
. Для такого сигналу

,
,
, де
. (7.92)

Іншими словами, стаціонарний випадковий сигнал є однорідним за часом, тобто. його статистичні характеристики не змінюються за зміни точки відліку часу.

Якщо, крім стаціонарності, випадковий сигнал є ще й ергодичним, то
а його автокореляційну функцію можна обчислити за формулою

, (7.93)

двовимірної ПРВ, що не вимагає знання
так як у цій формулі як можна використовувати будь-яку реалізаціюсигналу. Дисперсію такого (стаціонарного та ергодичного) сигналу можна обчислити за формулою

, (7.94)

Достатньою умовою ергодичності випадкового сигналу є прагнення до нуля його АКФ
при необмеженому зростанні тимчасового зсуву.

АКФ випадкового сигналу часто нормується до дисперсії. У цьому випадку безрозмірна нормованаАКФ обчислюється за формулою

. (7.95)

На рис. 7.15 показано типовий графік такої АКФ.

Знаючи цю функцію, можна визначити інтервал кореляції , тобто. час, після якого значення випадкового сигналу можна вважати статистично не залежатьодин від одного

. (7.96)

З цієї формули випливає, що площа під графіком нормованої АКФ збігається з площею прямокутника одиничної висоти, що має в основі подвійний інтервал кореляції
(Див. рис. 7.15).

Пояснимо фізичний зміст інтервалу кореляції. Якщо відома інформація про поведінку центрованого випадкового сигналу «у минулому», то можливий його імовірнісний прогноз на час інтервалу кореляції. . Проте, прогноз випадкового сигналу тимчасово, перевищує інтервал кореляції, виявиться недостовірним, оскільки миттєві значення сигналу, настільки «далеко» віддалені друг від друга в часі, є практично некорельованими (тобто статистично залежними друг від друга).

В рамках спектрально-кореляційної теорії випадкових процесів для опису властивостей стаціонарного випадкового сигналу достатньо знати лише його АКФ
, чи тільки енергетичний спектрсигналу
. Ці дві функції пов'язані між собою формулами Вінера – Хінчина.

, (7.97)

, (7.98)

тобто. кожної функції частоти
відповідає цілком певна функція тимчасового зсуву
і навпаки, кожній АКФ відповідає цілком певна спектральна густина потужності стаціонарного випадкового сигналу. Тому, знаючи енергетичний спектр флуктуаційної складової
випадкового сигналу (7.87)
, можна визначити АКФ цієї складової
і навпаки. Це підтверджує те, що частотні та кореляційні характеристики стаціонарного випадкового сигналу тісно пов'язані один з одним.

Властивості АКФ випадкового сигналу
аналогічні властивостям АКФ детермінованого сигналу
.

Автокореляційна функція
характеризує статистичний зв'язокміж значеннями стаціонарного випадкового сигналу моменти часу, віддалені друг від друга по осі часу на величину . Чим менший цей зв'язок, тим менше відповідне значення АКФ. Енергетичний спектр
характеризує розподіл по осі частот гармонійних енергій складових випадкового сигналу.

Знаючи енергетичний спектр
, або АКФ
флуктуаційної складової сигналу (7.1)
, можна обчислити її дисперсію та ефективну ширину спектра (смугу частот) за формулами

, (7.99)

, (7.100)

де
- ордината точки максимуму на графіку функції
.

Ефективна ширина спектра випадкового сигналу аналогічна активній ширині спектру
детермінованого сигналу, тобто, як і остання, визначає такий діапазон частот, в межах якого зосереджено переважну частину середньої потужності сигналу (див.(7.55)). Тому за аналогією з (7.55) її можна визначати із співвідношення

. (7.101)

де - постійний коефіцієнт, що визначає частку потужності випадкового сигналу, що припадає на смугу частот
(наприклад, = 0,95).

На рис. 7.16 дана графічна ілюстрація формул (7.100) та (7.101). У першому випадку смуга частот збігається з основою прямокутника, що має висоту
та площа
(Мал. 7.19, а), у другому – з основою криволінійної трапеції, що має площу
(рис. 7.16, б). Смуга частот вузькосмугового випадкового процесу розташовується в області
, де - Середня частота спектра (рис. 7.16, в), і обчислюється із співвідношення

.

Ефективну ширину спектра випадкового сигналу можна визначити безліччю інших способів. У будь-якому випадку величини і повинні бути пов'язані співвідношенням, подібним до співвідношення
, що має місце для детермінованих сигналів (див. розділ 7.3.3).

а Б В

У таблиці 7.3 наведено спектрально-кореляційні характеристики для трьох стаціонарних випадкових сигналів.

У першому пункті цієї таблиці наведено характеристики так званого білого шуму - специфічного випадкового сигналу, значення якого, розташовані скільки завгодно близько один до одного, - незалежні випадкові величини. АКФ білого шуму має форму  - функції, а його енергетичний спектр містить гармонійні складові будь-яких (у тому числі скільки завгодно високих) частот. Дисперсія білого шуму - нескінченно велика кількість, тобто. миттєві значення такого сигналу можуть бути як завгодно великими, а його інтервал кореляції дорівнює нулю.

Таблиця 7.3.

Характеристики стаціонарних випадкових сигналів

У другому пункті таблиці вказані характеристики низькочастотного шуму, а третьому пункті – вузькосмугового шуму. Якщо
, ці характеристики цих шумів близькі друг до друга.

Випадковий сигнал називається вузькосмуговимякщо частота значно менше середньої частоти спектру . Вузькосмуговий випадковий сигнал можна записати у вигляді (див. (7.12)), де функції
і
змінюються значно повільніше, ніж функція
.

Властивості спектрально-кореляційних характеристик стаціонарного випадкового сигналу аналогічні властивостям спектра амплітудного і АКФ детермінованого сигналу. Зокрема,
і
- парні функції,
і т. д. Є й відмінності. Відмінність кореляційних функцій полягає в тому, що АКФ детермінованого сигналу
характеризує зв'язок сигналу
та його копії
, а АКФ випадкового сигналу
- зв'язок значень сигналу
і
у різні моменти часу.

Відмінність між функціями
і
полягає в тому, що функція
є не точним частотним образом випадкового сигналу
, А усереднену характеристику частотних властивостей цілого ансамблю реалізацій цього сигналу, що різняться між собою. Цей факт, а також відсутність у енергетичному спектрі
інформації про фази гармонійних складових випадкового сигналу не дозволяє відновлювати по ньому форму цього сигналу.

З формул (7.97) та (7.98) випливає, що функції
і
пов'язані друг з одним перетвореннями Фур'є, тобто. (див. (7.46))

і
.

Тому чим ширший спектр випадкового сигналу (чим більше ), тим більше його АКФ і менше інтервал кореляції .

Вимірювальні сигнали, будучи випадковими сигналами, неможливо знайти описані математичної функцією часу з повною визначеністю.

Відповідно до цього можна говорити лише про ймовірністьпояви в кожний момент того чи іншого значення сигналу.

За такого підходу об'єктом вивчення стають не характеристики конкретного сигналу, а ймовірні статистичні характеристики сукупності сигналів електрозв'язку того чи іншого виду зв'язку.

До статистичних характеристик випадкового сигналу s(t) відносяться:

середнє значення(постійна складова)

де Т- час спостереження випадкового процесу;

миттєва потужністьвипадкового сигналу s(t)в момент tза визначенням дорівнює

енергіявипадкового сигналу s(t) дорівнює інтегралу від потужності по всьому інтервалу часу існування чи завдання сигналу. У межі:

середня потужністьвипадкового сигналу s(t) в інтервалі t 2 -t 1

Поняття середньої потужності може бути поширене і на випадок необмеженого інтервалу Т= t 2 – t 1 ⟹∞. Строго коректне визначення середньої потужності сигналу повинне проводитися за формулою:

Квадратний корінь із значення середньої потужності характеризує чинне (Середньоквадратичне) значення сигналу (220 В – значення гармонійного коливання з амплітудою 380 В).

Що стосується електрофізичних систем, даним поняттям потужності та енергії відповідають цілком конкретні фізичні величини. Припустимо, що функцією s(t) відображається електрична напруга на резисторі, опір якого дорівнює R Ом. Тоді потужність, що розсіюється в резисторі, як відомо, дорівнює (у вольт-амперах):

w(t) = | s (t) | 2 /R,

Теоретично сигналів у випадку сигнальні функції s(t) немає фізичної розмірності, і може бути формалізованим відображенням будь-якого процесу чи розподілу будь-якої фізичної величини, у своїй поняття енергії та потужності сигналів використовуються в ширшому сенсі, ніж у фізиці . Вони є метрологічні характеристики сигналів

Якщо у виразі для енергії

взяти не квадрат модуля сигналу, а добуток сигналу та його ж, але зміщеного на час τ, то вийде автокореляційна функція

У разі періодичних сигналів АКФ обчислюється за одним періодом Т, з усередненням скалярного твору та його зрушеною копією в межах періоду:

Енергетичний спектр(спектральна щільність середньої потужності)

Функція G(ω )є спектральну щільність середньої потужності процесу, тобто потужність, укладену в нескінченно малій смузі частот.

Потужність, укладену в кінцевій смузі частот між ω 1 та ω 2 визначають інтегруванням функції G(ω ) у відповідних межах:

3.3. Динамічний діапазон та пік-фактор сигналів.

Миттєва потужність сигналів зв'язку може набувати різних значень у найширших межах. Щоб охарактеризувати ці межі, вводять поняття динамічного діапазонуі пік-фактора сигналу.

Динамічний діапазон сигналудБ, визначається виразом

де W тахі W min -максимальне та мінімальне значення миттєвої потужності.

Під W тахзазвичай розуміють значення миттєвої потужності сигналу, ймовірність перевищення якого досить мала (наприклад, дорівнює 0,01). Про величину цієї ймовірності призначаються кожного конкретного сигналу.

Пік-факторомСигналу називають відношення його максимальної потужності до середньої. У логарифмічних одиницях

У деяких випадках динамічний діапазон і пік-фактор визначають не в логарифмічних, а абсолютних одиницях (в «разах»).