Випадкові процеси та їх характеристики. Типи випадкових процесів Визначення випадкового процесу

1.1.1. Гауссівські випадкові процеси

гауссівським , якщо всі його кінцеві розподіли є нормальними, тобто

t 1 ,t 2 ,...,t n T

випадковий вектор

(X (t 1); X (t 2); ...; X (t n))

має наступну щільність розподілу:

,

де a i = MX (t i); =M(X(t i)-a i) 2; з ij = M((X(t i)-a i)(X(t j)-a j));
;

-алгебраїчне доповнення елемента з ij.

1.1.2. Випадкові процеси із незалежними приростами

з незалежними приростами , якщо його збільшення на тимчасових проміжках, що не перетинаються, не залежать один від одного:

t 1 ,t 2 ,...,t n T:t 1 ≤t 2 ≤…≤t n ,

випадкові величини

X(t 2)-X(t 1); X(t 3)-X(t 2); …; X(t n)-X(t n-1)

незалежні.

1.1.3. Випадкові процеси з некорельованими приростами

Випадковий процес X(t) називається процесом з некорельованими приростами, якщо виконуються такі умови:

1) t T: МX 2 (t)< ∞;

2) t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 T:t 1 ≤t 2 ≤t 3 ≤t 4: М((X(t 2)-X(t 1))(X(t 4)-X(t 3)))=0.

1.1.4. Стаціонарні випадкові процеси (див. Розділ 5)

1.1.5. Марківські випадкові процеси

Обмежимося визначенням марковського випадкового процесу з дискретними станами та дискретним часом (ланцюг Маркова).

Нехай система А може бути в одному з несумісних станів А 1 ; А 2 ;…; n , і при цьому ймовірність Р ij ( s ) того, що в s -ом випробуванні система переходить із стану у стан А j , не залежить від стану системи у випробуваннях, що передують s -1-ому. Випадковий процес цього типу називається ланцюгом Маркова.

1.1.6. Пуассонівські випадкові процеси

Випадковий процес X(t) називається пуассонівським процесом з параметром а (а>0), якщо він має наступні властивості:

1) t T; Т= і кореляційна функція K х (t 1 , t 2) однозначно визначають розподіл його параметрів, отже, і в цілому.

Стаціонарний випадковий процес(однорідний у часі випадковий процес) - це такий випадковий процес X(t), статистичні характеристики якого постійні у часі, тобто інваріантні до короткочасних збурень: t → t + τ, X(t) → X(t + τ) за будь-якого фіксоване значення τ. Процес повністю визначається математичним очікуванням M та кореляційною функцією

До х (t,τ) = M.

Марківський випадковий процес- це такий випадковий процес, у якому ймовірність перебування системи у якомусь стані у майбутньому залежить від цього, у якому стані система перебуває у заданий час і не залежить від цього, яким шляхом система перейшла у цей стан. Коротше - «майбутнє» і «минуле» процесу за відомого його «сьогодення» пов'язані друг з одним. Часто марківський процес характеризується ймовірностями переходу системи з одного стану до іншого (перехідними ймовірностями).

Зміна технічного стану системи

Як мовилося раніше, завдання прогнозування технічного стану, у найзагальнішому розумінні, є отримання деяких імовірнісних характеристикпрацездатності системи в майбутньому на основі даних контролю її сьогодення та минулих станів.

Залежно від того, яка характеристика випадкового процесу визначається при прогнозуванні, розрізняють прогнозування надійності (визначення умовної густини ймовірності безвідмовної роботи системи після контролю) та прогнозування технічного стану (визначення умовної густини розподілу ймовірностей значень визначального параметра) на основі минулих та дійсних станів. На рис 8.1 проілюстровано різницю між цими характеристиками. На цьому малюнку x(t) - відрізок реалізації випадкового процесу X(t), що описує зміну у часі деякого визначального параметра системи, що має допустимі межі (а, b) зміни. Відрізок реалізації отримано в результаті спостереження за конкретним екземпляром системи із заданого класу систем на інтервалі часу (0, t k 2). У момент t k 2 був здійснений останній контроль системи, і на його основі необхідно вирішити - чи придатна система до експлуатації до наступного моменту контролю t k 3 .

Мал. 8.1 Умовна щільність ймовірності безвідмовної роботи р(x(t)) та f((x(t)) умовна щільність розподілу ймовірностей значень визначального параметра

У зв'язку з тим, що зовнішні впливи, що сприймаються системою, мають випадковий характер, випадковий процес після моменту t k 2 може змінюватись по-різному (див. пунктирні лінії на рис. 8.1). Процес, що є продовженням деякого вихідного процесу за умови, що на інтервалі (0,t k 2) його реалізація мала конкретний вид х(t), називається умовним, або апостеріорним, випадковим процесом:

Х ps (t) = x. (8.5)

Отже, до ухвалення обгрунтованого рішення призначення терміну чергового контролю системи необхідно знати характеристики апостеріорного випадкового процесу. Придатною до виконання завдання вважатиметься система, визначальні параметри якої перебувають у допустимих межах (а, b) на момент попереднього контролю і вийдуть із цих меж остаточно заданого терміну функціонування. Оскільки вихід визначальних параметрів за допустимі межі є випадковою подією, оцінкою працездатності системи може бути умовна ймовірність безвідмовної її роботи після контролю. Це ймовірність того, що випадковий процес жодного разу не перетне кордон (a, b) після моменту контролю; її називають прогнозованою надійністюсистеми та позначають

P(x(t)=<<(ba)/X(t)=x(t), 0<

Таким чином, прогнозуванням надійності називається визначення умовної ймовірності безвідмовної роботи системи за умови, що в момент контролю вона перебувала у певному фіксованому працездатному стані.

Найбільш повною характеристикою майбутнього технічного стану системи є умовна густина розподілу ймовірностей її визначальних параметрів, тобто майбутніх значень випадкового процесу

f(x(t k 3)/X(t)=x(t), 0<

за умови, що у інтервалі (0,t k 3) реалізація процесу мала конкретний вид (рис. 8.1).

1. ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОЇ ФУНКЦІЇ

До певних часів теорія ймовірностей обмежувалася поняттям випадкових величин. Їх використання дозволяє виконувати статичні розрахунки, що враховують випадкові фактори. Проте механічні системи піддаються також різноманітним динамічним, тобто змінюються у часі впливам випадкового характеру. До них відносяться, зокрема, вібраційні та ударні дії при русі транспортних засобів, аеродинамічні сили, спричинені атмосферною турбулентністю, сейсмічні сили, навантаження, зумовлені випадковими відхиленнями від номінальних режимів роботи машин.

Випадкові динамічні явища вивчаються під час аналізу тенденцій економіки (наприклад, зміни курсу акцій чи валюти). Робота за умов випадкових збурень характерна для систем управління різноманітними динамічними об'єктами.

Для аналізу подібних явищ використовується поняття випадкової функції. Випадковою функцією X(t) називається така функція аргументу tзначення якої при будь-якому tє випадковою величиною. Якщо аргумент набуває дискретних значень t 1 , t 2 , …, t kто говорять про випадкову послідовність X 1 , X 2 ,…, X k, де X i = X(t i).

У багатьох практичних завданнях невипадковий аргумент tмає сенс часу, при цьому випадкову функцію називають випадковим процесом, А випадкову послідовність - тимчасовим рядом. Разом з тим аргумент випадкової функції може мати і інший зміст. Наприклад, може йтися про рельєф місцевості Z(x, y), де аргументами є координати місцевості xі yа роль випадкової функції грає висота над рівнем моря z. Надалі, для певності, маючи на увазі застосування випадкових функцій до дослідження динамічних систем, говоритимемо про випадкові процеси.

Припустимо, що з дослідження випадкового процесу X(t) вироблено nнезалежних дослідів, та отримані реалізації

являють собою nдетермінованих функцій. Відповідне сімейство кривих до певної міри характеризує властивості випадкового процесу. Так, на рис.1.1а представлені реалізації випадкового процесу з постійними середнім рівнем та розкидом значень біля середнього, на рис. 1.1б – реалізації випадкового процесу з постійним середнім і змінним розкидом, на рис. 1.1в – реалізації випадкового процесу із змінним у часі середнім і розкидом.

Рис.1.1. Типові реалізації випадкових процесів

На рис. 1.2 показані реалізації двох випадкових процесів, що мають однаковий середній рівень і розкид, але відрізняються плавністю. Реалізації випадкового процесу на рис. 1.2а мають високочастотний характер, але в рис. 1.2б – низькочастотний.

Мал. 1.2. Високочастотний та низькочастотний випадкові процеси

Таким чином, X(t) можна розглядати і як сукупність всіляких реалізацій, яка підпорядковується певним імовірнісним закономірностям. Як і випадкових величин, вичерпну характеристику цих закономірностей дають функції чи щільності розподілу. Випадковий процес вважається заданим, якщо задані всі багатовимірні закони розподілу випадкових величин X(t i), X(t 2 ), …, X(t n) для будь-яких значень t 1 , t 2 , …, t n в галузі зміни аргументу t. Йдеться, зокрема, про одномірну щільність розподілу , двовимірну щільність розподілу і т.д. .

Для спрощення аналізу здебільшого обмежуються моментними характеристиками, причому найчастіше використовують моменти першого і другого порядків. Для характеристики середнього рівня випадкового процесу є математичне очікування

. (1.1)

Для характеристики амплітуди відхилень випадкового процесу від середнього рівня служить дисперсія

Для характеристики мінливості (плавності) випадкового процесу є кореляційна (автокореляційна) функція

(1.3)

Як випливає з (1.3), кореляційна функція є коваріацією випадкових величин X(t 1) та X(t 2). Коваріація ж, як відомо з курсу теорії ймовірностей, характеризує взаємозалежність між X(t 1) та X(t 2).

У рамках кореляційної теорії випадкових функцій, яка оперує лише моментами першого та другого порядків, може бути вирішено багато технічних завдань. Зокрема, можуть бути визначені апріорна, а також умовна ймовірність виходу випадкового процесу за межі заданих меж. Разом з тим деякі важливі в практичному плані завдання не вирішуються засобами кореляційної теорії і вимагають використання багатомірних щільностей розподілу. До таких завдань відноситься, наприклад, розрахунок середнього часу знаходження випадкового процесу вище або нижче заданої межі.

2. ТИПИ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

2.1. Квазидетерміновані випадкові процеси