Пара сил. Пара сил та її властивості Механічна пара сил
Парою сил (або просто парою) називається сукупність двох паралельних сил, рівних за модулем, протилежних у напрямку та прикладених у різних точках тіла (рис. 30). Пару сил будемо позначати символом. Сили називаються силами пари; площина, у якій лежать сили, називається площиною дії пари.
Найкоротша відстань між лініями дії сил пари називається плечем пари (довжина h відрізка АВ на рис.
30). Так як сили можна переміщати вздовж їх ліній дії, надалі сили пари зображатимемо прикладеними до кінців плеча пари.
Будемо також користуватися більш простим позначенням пари у вигляді, що не містить позначок точок докладання сил.
Пари сил характеризує особливий вид взаємодії тіл, який не можна виразити однією силою. Тому в статиці, поряд із силами, розглядаються окремо також пари сил із їх специфічними властивостями, правилами додавання та умовами рівноваги.
Спочатку пара сил задається чотирма векторами (рис. 31.)-двома векторами сил пари та двома радіусами-векторами їх точок додатка. Візьмемо якусь точку простору як центр моментів Про і обчислимо моменти сил пари щодо цього центру
Тоді попереднє твердження можна висловити і в такій формі: пара сил може бути задана векторами сил пари і моментами цих сил щодо довільного центру О. Тепер поставимо питання: чи не можна пару сил задавати по-іншому, бажано меншою кількістю визначальних елементів?
Геометрична сума векторів сил пари завжди дорівнює нулю, тому вона може використовуватися для характеристики пари. Обчислимо суму моментів сил пари щодо точки О:
В отриманому результаті привертають увагу дві обставини.
1. У той час як сума векторів сил пари завжди дорівнює нулю, сума моментів сил пари відрізняється від нуля.
2. Сума моментів сил пари не залежить від вибору центру моментів- вектори, що залежать від вибору точки О, випали з остаточного виразу для шуканої суми.
Таким чином, сума моментів сил пари виявляється залежною тільки від елементів самої пари – площини дії пари, модуля сил та плеча пари. Це наводить на думку використовувати цю величину як характеристику пари сил. Надалі суму моментів сил пари називатимемо моментом цієї пари. Оскільки момент пари залежить від вибору центру моментів, він є вільним вектором - його можна прикладати в будь-якій точці твердого тіла, на яке діє дана пара сил.
Отже, на питання про те, чи можна ставити пару сил більш простим способом, отримано ствердну відповідь: пару сил можна характеризувати, задаючи лише один вектор – момент пари. Моментом пари сил називається вільний вектор, рівний геометричній сумі моментів сил пари щодо довільно обраної точки Про простору
Тут слід зауважити, що наведені міркування мають швидше навідний характер і не є суворим доказом щойно сформульованого висновку. Однак у статиці є ряд теорем, у яких зроблений висновок отримує суворе обгрунтування. З цими теоремами можна познайомитися з повними підручниками з теоретичної механіки.
Скориставшись свавіллям у виборі точки О у визначенні моменту пари, можна дійти більш простому способуобчислення моменту. Приймемо як центр моментів точку докладання сили -F (точку В на рис. 31). Тоді можна написати
Тут враховано, що так як сила -F проходить через точку В. Якщо за центр моментів прийняти точку А, в якій прикладена сила F, то в нуль обертається момент сили F, і ми отримуємо
Це призводить до ще одного правила для обчислення моменту пари: момент пари сил дорівнює моменту однієї із сил пари щодо точки докладання іншої сили.
Тим самим визначення моменту пари зводиться до обчислення та побудови моменту сили щодо точки, подібно до розглянутого раніше (див. стор. 12).
У результаті приходимо до наступного висновку: момент пари сил є вектор, чисельно рівний добутку модуля сил пари на плече пари і спрямований перпендикулярно площині дії пари в той бік, з якої обертання пари видно тим, що відбувається проти руху годинникової стрілки (правило буравчика); як точка докладання моменту пари може бути взята будь-яка точка тіла.
Алгебраїчним моментом пари називається добуток модуля сил пари на плече пари, взяте зі знаком плюс, якщо пара обертає свою площину проти руху годинникової стрілки, і зі знаком мінус, якщо навпаки.
На рис. 32 зображена пара сил , що діє в площині диска радіуса R, встановленого перпендикулярно осі обертання. Плечо пари дорівнює діаметру диска, модуль моменту пари дорівнює
Момент пари спрямований перпендикулярно до площини диска і може бути доданий у будь-якій точці диска.
На рис. 33 показаний аналогічний випадок, але зображений у плоскій проекції. Тут сили пари () спрямовані перпендикулярно до площини креслення (знаком зображуються вектори, спрямовані , знаком - від читача). Момент пари по модулю дорівнює , перпендикулярний площині диска і лежить у площині креслення (точніше, може бути перенесений паралельно до площини креслення).
Ще два приклади побудови моменту пари містяться на рис. 34. Модулі моментів зображених пар мають значення:
Вектори-моменти пар мають проекції:
Властивості пари сил
1. Можна змінювати величину сил і плече пари, залишаючи без зміни величину моменту та напрямок "обертання" сил пари.
2. Пару сил можна як завгодно переміщати у своїй площині дії.
3. Пару сил можна переміщати паралельно до будь-якої площини, незмінно пов'язану з тілом, до якого вона прикладена.
Перелічені у цих властивостях дії не змінюють ні величину, ні напрямок пари, тому є еквівалентними перетвореннями пари.
У наведених вище прикладах йшлося про побудову моменту по заданим елементам пари - площині дії, сил і плечі пари. Можна ставити і обернену задачу - побудувати пару сил за її моментом. Нехай потрібно побудувати пару сил за моментом М (рис. 35, а). Для цього будуємо площину П, перпендикулярну до лінії дії моменту (рис. 35, б). Ця площина буде площиною дії пари. У цій площині маємо дві сили
Парою силназивається система двох рівних за модулем, паралельних і спрямованих у протилежні сторони сил, що діють на тверде тіло(Рис. 17).
Площина , що містить лінії дії сил пари і називається площиною дії сил пари . Найкоротша відстань між лініями дії сил пари називається плечем пари .
Обертаюча дія пари на тверде тіло залежить від модуля сил пари, плеча, положення площини дії пари та напрямки обертання.
Мірою цього дія пари є її вектор-момент. Якщо всі сили та пари, прикладені до тіла, лежать в одній площині, то момент пари можна розглядати як величину алгебри, рівну
Момент пари вважається позитивним , якщо він прагне обертати тіло проти ходу годинникової стрілки та негативним якщо - по ходу годинникової стрілки.
Момент пари, як і момент сили, вимірюється (система СІ) і (система МКГСС).
Алгебраїчна сума моментів сил пари щодо довільної точки в площині її дії залежить від вибору цієї точки і дорівнює моменту пари. Справді, визначимо суму моментів зусиль і пари (рис. 18) щодо довільної точки , що у площині дії пари.
Оскільки , то отримаємо:
Якщо сили та пари, прикладені до тіла, лежать у різних площинах, то момент пари, як і момент сили, слід розглядати як вектор. Уводимо у зв'язку з цим загальне визначення моменту пари.
Моментом париє вектор , рівний за модулем добутку модуля сил пари на її плече і спрямований перпендикулярно площині її дії в той бік, звідки поворот, який пара прагне повідомити тіло, видно у напрямку проти ходу годинної стрілки (рис. 17).
Модуль вектора дорівнює
З визначення векторів і випливає, що момент пари (рис. 17) дорівнює за модулем і напрямом моменту будь-якої з сил пари (наприклад, ) щодо точки додатку інший, тобто
Використовуючи формулу 16, маємо:
Таким чином, момент пари можна подати у вигляді векторного твору (23), в якому – радіус-вектор точки докладання сили щодо точки докладання сили (рис.17).
Властивості парвиражаються такими теоремами, що наводяться тут без доказів.
1) Дія пари на тверде тіло не зміниться, якщо перенести пару в площині її дії будь-яке інше положення.
2) Дія пари на тверде тіло не зміниться, якщо модуль сил пари та її плече змінити так, щоб модуль моменту пари зберігся незмінним.
3) Дія пари на тверде тіло не зміниться, якщо перенести пару будь-яку іншу площину, паралельну площині її дії.
4) Система пар, прикладених до твердого тіла, може бути замінена однією результуючою парою з моментом , рівним геометричній сумі моментів доданків пар:
З теорем випливає, що пару, виражену вектором, в твердому тілі можна як завгодно перенести в площині дії пари, а також перенести будь-яку паралельну площину; тому момент пари є вільним вектором , тобто. його можна зобразити прикладеним у будь-якій точці твердого тіла.
Запитання для самоперевірки до розділу 2
1. Визначити момент сили щодо точки як величину алгебри, як вектор.
2. У якому разі момент сили щодо точки дорівнює нулю?
3. Що називається моментом сили щодо осі?
4. У яких випадках момент сили щодо осі дорівнює нулю?
5. Чи можна відчинити двері, якщо всі прикладені до неї сили розташовуються у площині дверей?
6. Яка залежність між моментами сили щодо осі та щодо точки, що лежить на цій осі?
7. Виведіть формули для моментів сили щодо трьох координатних осей, використовуючи уявлення про вектор моменту сили щодо точки у вигляді векторного добутку.
8. Що називається парою сил? Чому дорівнює момент пари?
9. Які фактори визначають дію пари на тверде тіло?
10. Як спрямований, де прикладено вектор моменту пари?
11. Сформулюйте умову рівноваги системи пар сил, що додаються до твердого тіла.
12. Чи можуть урівноважити одна одну дві пари сил, що лежать у паралельних площинах; в площинах, що перетинаються?
13. Як можна змінювати плече і модуль сил пари, не змінюючи дію пари на тверде тіло?
14. Як складаються пари, що лежать в одній площині; в площинах, що перетинаються?
Рис.37
1. Зображення моменту вектор. Момент сили щодо центру (див. рис. 37) як характеристика її обертального ефекту визначається наступними трьома елементами:
1) модулем моменту, рівним добутку модуля сили на плече, тобто; 2) площиною повороту ОАВ, що проходить через лінію дії сили та центр О; 3) напрямом повороту у цій площині. Коли всі сили і центр лежать в одній площині, необхідність задавати щоразу площину повороту ОАВ відпадає, і момент можна визначати як скалярну величину алгебри, рівну , де знак вказує напрям повороту.
Але у разі сил, які довільно розташовані в просторі, площини повороту у різних сил будуть різними і повинні задаватися додатково. Положення площини в просторі можна встановити, задавши відрізок (вектор), перпендикулярний до цієї площини. Якщо одночасно модуль цього вектора вибрати рівним модулю моменту сили і домовитися спрямовувати цей вектор так, щоб його напрямок визначав напрямок повороту сили, такий вектор повністю визначить всі три елементи, що характеризують момент даної сили щодо центру Про.
Тому в загальному випадку момент ) сили щодо центру О (рис. 37) зображуватимемо прикладеним у центрі Про вектором , рівним за модулем (у вибраному масштабі) добутку модуля сили на плече h і перпендикулярним до площини ОАВ, що проходить через центр О і силу . Направляти вектор будемо в той бік, звідки поворот, що чиниться силою, видно тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки. Таким чином, вектор одночасно характеризуватиме модуль моменту, площину повороту ОАВ, різну для різних сил, і напрямок повороту в цій площині. Точка програми вектора визначає положення центру моменту.
2. Вираз моменту сили з допомогою векторного произведения. Розглянемо векторний твір x векторів (рис. 37). За визначенням, ,
оскільки модуль вектора теж дорівнює 2 пл. . Направлений вектор (x) перпендикулярно до площини. ОАВ, в той бік, звідки найкоротше поєднання з (якщо їх відкласти від однієї точки) видно проти ходу годинникової стрілки, тобто, так само, як вектор . Отже, вектори (x) і збігаються і за модулем і за напрямом і, як легко перевірити, за розмірністю, тобто обидва ці вектори зображують одну й ту саму величину. Звідси
де вектор = називається радіусом-вектором точки Ащодо центру Про.
Таким чином, момент сили щодо центру Продорівнює векторному твору радіуса вектора, що з'єднує центр. Проз точкою докладання сили А, на саму силу. Цим виразом моменту сили зручно користуватися при доказі деяких теорем.
Дія пари сил на тіло характеризується: 1) величиною модуля моменту пари; 2) площиною дії; 3) напрямком повороту в цій площині. При розгляді пар, що не лежать в одній площині, для характеристики кожної пар необхідно буде задати всі ці три елементи. Це можна зробити, якщо домовитися, за аналогією з моментом сили, зображати момент пари відповідним чином, побудованим вектором, а саме: зображатимемо момент пари вектором т абоМ, модуль якого дорівнює (у вибраному масштабі) модулю моменту пари, тобто. твору однієї з її сил на плече, і який спрямований перпендикулярно до площини дії пари в той бік, звідки поворот пари видно тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки (рис. 38).
Парою силназивається система двох сил, рівних за модулем, паралельних і спрямованих у різні боки.
Розглянемо систему сил (Р; Б"),утворюють пару.
Пара сил викликає обертання тіла та її дію на тіло оцінюється моментом. Сили, що входять у пару, не врівноважуються, тому що вони додані до двох точок (рис. 4.1).
Їхня дія на тіло не може бути замінена однією силою (рівнодіючою).
Момент пари сил чисельно дорівнює добутку модуля сили на відстань між лініями дії сил (Плечо пари).
Момент вважають позитивним, якщо пара обертає тіло за годинниковою стрілкою (рис. 4.1(б)):
М(F;F") = Fa; М > 0.
Площина, що проходить через лінії дії сил пари, називається площиною дії пари.
Властивості пар(без доказів):
1. Пару сил можна переміщати у площині її дії.
2. Еквівалентність пар.
Дві пари, моменти яких дорівнюють, (рис. 4.2) еквівалентні (дія їх на тіло аналогічна).
3. Додавання пар сил. Систему пар сил можна замінити рівнодією парою.
Момент рівнодіючої пари дорівнює сумі алгебри моментів пар, що становлять систему (рис. 4.3):
4. Рівнавага пар.
Для рівноваги пар необхідно і достатньо, щоб сума алгебри моментів пар системи дорівнювала нулю:
Кінець роботи -
Ця тема належить розділу:
Теоретична механіка
Теоретична механіка.. лекція.. тема основні поняття та аксіоми статики.
Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:
Що робитимемо з отриманим матеріалом:
Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:
| Твітнути |
Всі теми цього розділу:
Завдання теоретичної механіки
Теоретична механіка - наука про механічний рух матеріальних твердих тіл та їх взаємодію. Механічне рух розуміється як переміщення тіла в просторі і в часі від
Третя аксіома
Не порушуючи механічного стану тіла, можна додати або усунути врівноважену систему сил (принцип відкидання системи сил, еквівалентної нулю) (рис. 1.3). Р, = Р2 Р, = Р.
Слідство з другої та третьої аксіом
Силу, що діє на тверде тіло, можна переміщати вздовж лінії її дії (рис. 1.6).
Зв'язки та реакції зв'язків
Усі закони та теореми статики справедливі для вільного твердого тіла. Усі тіла поділяються на вільні та пов'язані. Вільні тіла – тіла, переміщення яких не обмежене.
Жорсткий стрижень
На схемах стрижні зображують товсто суцільною лінією (рис. 1.9). Стрижень може
Нерухомий шарнір
Крапка кріплення переміщатися не може. Стрижень може вільно повертатись навколо осі шарніра. Реакція такої опори проходить через вісь шарніру, але
Плоска система схожих сил
Система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці, називається схожою (рис. 2.1).
Рівнодійна сила, що сходяться
Рівночинну двох сил, що перетинаються, можна визначити за допомогою паралелограма або трикутника сил (4-а аксіома) (вис. 2.2).
Умова рівноваги плоскої системи сил, що сходяться.
При рівновазі системи сил рівнодіюча повинна дорівнювати нулю, отже, при геометричній побудові кінець останнього вектора повинен збігтися з початком першого. Якщо
Розв'язання задач на рівновагу геометричним способом
Геометричним способом зручно користуватися, якщо у системі три сили. При вирішенні завдань на рівновагу тіло вважати абсолютно твердим (затверділим). Порядок розв'язання задач:
Рішення
1. Зусилля, що виникають у стрижнях кріплення, за величиною дорівнюють силам, з якими стрижні підтримують вантаж (5-а аксіома статики) (рис. 2.5а). Визначаємо можливі напрями реакцій зв'язку
Проекція сили на вісь
Проекція сили на вісь визначається відрізком осі, що відсікається перпендикулярами, опущеними на вісь із початку та кінця вектора (рис. 3.1).
Сил аналітичним способом
Розмір рівнодіючої дорівнює векторній (геометричній) сумі векторів системи сил. Визначаємо рівнодіючу геометричним способом. Виберемо систему координат, визначимо проекції всіх завдань
Схожих сил в аналітичній формі
Виходячи з того, що рівнодіюча дорівнює нулю, отримаємо:
Момент сили щодо точки
Сила, що не проходить через точку кріплення тіла, викликає обертання тіла щодо точки, тому дія такої сили на тіло оцінюється моментом. Момент сили отн
Теорема Пуансо про паралельне перенесення сил
Силу можна перенести паралельно лінії її дії, при цьому потрібно додати пару сил з моментом, що дорівнює добутку модуля сили на відстань, на яку перенесена сила.
Розташованих сил
Лінії дії довільної системи сил не перетинаються в одній точці, тому для оцінки стану тіла таку систему слід спростити. Для цього всі сили системи переносять в одну довільно ви
Вплив точки наведення
Точка приведення вибрано довільно. При зміні положення точки наведення величина головного вектора не зміниться. Величина головного моменту при перенесенні точки приведення зміниться,
Плоский системи сил
1. При рівновазі головний вектор системи дорівнює нулю. Аналітичне визначення головного вектора призводить до висновку:
Види навантажень
За способом застосування навантаження діляться на зосереджені та розподілені. Якщо реально передача навантаження відбувається на малому майданчику (у точці), навантаження називають зосередженим
Момент сили щодо осі
Момент сили щодо осі дорівнює моменту проекції сили на площину, перпендикулярну до осі, щодо точки перетину осі з площиною (рис. 7.1 а). MOO
Вектор у просторі
У просторі вектор сили проектується на три перпендикулярні взаємно осі координат. Проекції вектора утворюють ребра прямокутного паралелепіпеда, вектор сили збігається з діагоналлю (рис. 7.2
Просторова система сил, що сходить
Просторова система сил, що сходить - система сил, що не лежать в одній площині, лінії дії яких перетинаються в одній точці. Рівночинну просторову систему сі
Приведення довільної просторової системи сил до центру
Дано просторову систему сил (рис. 7.5а). Наведемо її до центру О. Сили необхідно паралельно переміщати, при цьому утворюється система пар сил. Момент кожної з цих пар дорівнює
Центр тяжкості однорідних плоских тіл
(плоських фігур) Дуже часто доводиться визначати центр тяжіння різних плоских тіл та геометричних плоских фігур складної форми. Для плоских тіл можна записати: V =
Визначення координат центру тяжіння плоских фігур
Примітка. Центр тяжкості симетричної фігури знаходиться на осі симетрії. Центр тяжкості стрижня перебуває в середині висоти. Положення центрів тяжкості простих геометричних фігур можуть
Кінематика точки
Мати уявлення про простір, час, траєкторію, шлях, швидкість і прискорення. Знати способи завдання руху точки (природний і координатний). Знати позначення, єдини
Пройдений шлях
Шлях вимірюється вздовж траєкторії у бік руху. Позначення – S, одиниці виміру – метри. Рівняння руху точки: Рівняння, що визначає
Швидкість руху
Векторна величина, що характеризує Наразішвидкість і напрямок руху траєкторією, називається швидкістю. Швидкість - вектор, у будь-який момент спрямований до
Прискорення точки
Векторна величина, що характеризує швидкість зміни швидкості за величиною та напрямом, називається прискоренням точки. Швидкість точки при переміщенні з точки М1
Рівномірний рух
Рівномірний рух - це рух із постійною швидкістю: v = const. Для прямолінійного рівномірного руху (рис. 10.1 а)
Рівноперемінний рух
Рівноперемінний рух - це рух із постійним дотичним прискоренням: at = const. Для прямолінійного рівнозмінного руху
Поступальний рух
Поступальним називають такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма лінія на тілі під час руху залишається паралельною своєму початковому положенню (рис. 11.1, 11.2). При
Обертальний рух
При обертальному русі всі точки тіла описують кола навколо загальної нерухомої осі. Нерухома вісь, навколо якої обертаються всі точки тіла, називається віссю обертання.
Окремі випадки обертального руху
Рівномірне обертання (кутова швидкість постійна): ω =const Рівняння (закон) рівномірного обертання в даному випадку має вигляд:
Швидкості і прискорення точок тіла, що обертається
Тіло обертається навколо точки О. Визначимо параметри руху точки A розташованої на відстані RA від осі обертання (рис. 11.6, 11.7). Шлях
Рішення
1. Ділянка 1 - нерівномірний прискорений рух, ω = φ ; ε = ω' 2. Ділянка 2 - швидкість постійна - рух рівномірний, . ω = const 3.
Основні визначення
Складним рухом вважають рух, який можна розкласти на кілька простих. Простими рухами вважають поступальне та обертальне. Для розгляду складного руху точ
Плоскопаралельний рух твердого тіла
Плоскопаралельним, або плоским, називається такий рух твердого тіла, при якому всі точки тіла переміщаються паралельно деякою нерухомою в системі відліку, що розглядається.
Поступальне та обертальне
Плоскопаралельний рух розкладають на два рухи: поступальний разом з деяким полюсом і обертальний щодо цього полюса. Розкладання використовують для опред
Центру швидкостей
Швидкість будь-якої точки тіла можна визначити за допомогою миттєвого центру швидкостей. У цьому складне рух представляють як ланцюга обертань навколо різних центрів. Завдання
Аксіоми динаміки
Закони динаміки узагальнюють результати численних дослідів та спостережень. Закони динаміки, які прийнято розглядати як аксіоми, були сформульовані Ньютоном, але перший і четвертий закони були і
Концепція тертя. Види тертя
Тертя - опір, що виникає при русі одного шорсткого тіла поверхнею іншого. При ковзанні тіл виникає тертя ковзання, при коченні – тертя кочення. Природа спро
Тертя кочення
Опір при коченні пов'язаний із взаємною деформацією ґрунту та колеса та значно менше тертя ковзання. Зазвичай вважають грунт м'якшим за колеса, тоді в основному деформується грунт, і
Вільна та невільна точки
Матеріальна точка, рух якої у просторі не обмежена будь-якими зв'язками, називається вільною. Завдання вирішуються з допомогою основного закону динаміки. Матеріальні то
Сила інерції
Інертність - здатність зберігати свій стан незмінним, це внутрішнє властивість всіх матеріальних тел. Сила інерції - сила, що виникає при розгоні чи гальмуванні тіл
Рішення
Активні сили: рушійна сила, сила тертя, сила тяжіння. Реакція в опорі R. Прикладаємо силу інерції у зворотний від прискорення бік. За принципом Даламбера система сил, що діють на платформу
Робота рівнодіючої сили
Під дією системи сил точка масою т переміщається із положення М1 у положення M2 (рис. 15.7). У разі руху під дією системи сил користуються
Потужність
Для характеристики працездатності та швидкості виконання роботи введено поняття потужності. Потужність – робота, виконана в одиницю часу:
Потужність при обертанні
Мал. 16.2 Тіло рухається дугою радіуса з точки М1 в точку М2 М1М2 = φr Робота сили
Коефіцієнт корисної дії
Кожна машина та механізм, роблячи роботу, витрачає частину енергії на подолання шкідливих опорів. Таким чином, машина (механізм), крім корисної роботи, здійснює ще й додаток.
Теорема про зміну кількості руху
Кількість руху матеріальної точки називається векторна величина, що дорівнює добутку маси точки на її швидкість mv. Вектор кількості руху збігається за
Теорема про зміну кінетичної енергії
Енергією називається здатність тіла виконувати механічну роботу. Існують дві форми механічної енергії: потенційна енергія, або енергія становища, та кінетична енергія,
Основи динаміки системи матеріальних точок
Сукупність матеріальних точок, пов'язаних між собою силами взаємодії, називається механічною системою. Будь-яке матеріальне тіло в механіці сприймається як механічна
Основне рівняння динаміки обертового тіла
Нехай тверде тіло під дією зовнішніх сил обертається навколо осі Оz із кутовою швидкістю
Напруги
Метод перерізів дозволяє визначити величину внутрішнього силового фактора у перерізі, але не дає можливості встановити закон розподілу внутрішніх сил за перерізом. Для оцінки міцності н
Внутрішні силові фактори, напруження. Побудова епюр
Мати уявлення про поздовжні сили, про нормальні напруги в поперечних перерізах. Знати правила побудови епюр поздовжніх сил та нормальних напруг, закон розподілу
Поздовжніх сил
Розглянемо брус, навантажений зовнішніми силами вздовж осі. Брус закріплений у стіні (закріплення «закладення») (рис. 20.2а). Ділимо брус на ділянки навантаження. Ділянкою навантаження з
Геометричні характеристики плоских перерізів
Мати уявлення про фізичному сенсіта порядку визначення осьових, відцентрових та полярних моментів інерції, про головні центральні осі та головні центральні моменти інерції.
Статичний момент площі перерізу
Розглянемо довільний перетин (рис. 25.1). Якщо розбити перетин на нескінченно малі майданчики dA і помножити кожен майданчик на відстань до осі координат і проінтегрувати отримані
Відцентровий момент інерції
Відцентровим моментом інерції перерізу називається взята ковсею площі сума творів елементарних майданчиків на обидві координати:
Осьові моменти інерції
Осьовим моментом інерції перерізу відносно деякої реї, що лежить у цій площині, називається взята по всій площі сума творів елементарних майданчиків на квадрат їх відстані
Полярний момент інерції перерізу
Полярним моментом інерції перерізу щодо деякої точки (полюса) називається взята по всій площі сума творів елементарних майданчиків на квадрат їх відстані до цієї точки:
Моменти інерції найпростіших перерізів
Осьові моменти інерції прямокутника (рис. 25.2) Подаємо прямо
Полярний момент інерції кола
Для кола спочатку обчислюють полярний момент інерції, потім – осьові. Подаємо коло у вигляді сукупності нескінченно тонких кілець (рис. 25.3).
Деформації під час кручення
Кручення круглого бруса відбувається при навантаженні його парами сил з моментами в площинах перпендикулярних до поздовжньої осі. При цьому утворюють бруса викривляються і розвертаються на кут γ,
Гіпотези під час кручення
1. Виконується гіпотеза плоских перерізів: поперечний переріз бруса, плоский і перпендикулярний до поздовжньої осі, після деформації залишається плоским і перпендикулярним до поздовжньої осі.
Внутрішні силові фактори під час кручення
Крученням називається навантаження, при якому в поперечному перерізі бруса виникає тільки один внутрішній силовий фактор - момент, що крутить. Зовнішніми навантаженнями також є дві про
Епюри крутних моментів
Моменти, що крутять, можуть змінюватися вздовж осі бруса. Після визначення величин моментів по перерізах будуємо графік-епюру моментів, що крутять, уздовж осі бруса.
Напруги при крученні
Проводимо на поверхні бруса сітку з поздовжніх та поперечних ліній та розглянемо малюнок, що утворився на поверхні після Мал. 27.1а деформації (рис. 27.1а). Піп
Максимальна напруга при крученні
З формули для визначення напруги і епюри розподілу дотичних напруг при крученні видно, що максимальна напруга виникає на поверхні. Визначимо максимальне напруження
Види розрахунків на міцність
Існує два види розрахунку на міцність 1. Проектувальний розрахунок - визначається діаметр бруса (валу) у небезпечному перерізі:
Розрахунок на жорсткість
При розрахунку жорсткість визначається деформація і порівнюється з допускаемой. Розглянемо деформацію круглого бруса над дією зовнішньої пари сил із моментом т (рис. 27.4).
Основні визначення
Вигином називається такий вид навантаження, при якому в поперечному перерізі бруса виникає внутрішній силовий фактор-згинальний момент. Брус, що працює на
Внутрішні силові фактори при згинанні
Приклад 1.Розглянемо балку, на яку діє пара сил з моментом т і зовнішня сила F (рис. 29.3а). Для визначення внутрішніх силових факторів користуємося методом
згинальних моментів
Поперечна сила в перерізі вважається позитивною, якщо вона прагне розгорнути її
Диференціальні залежності при прямому поперечному згині
Побудова епюр поперечних сил і згинальних моментів істотно спрощується при використанні диференціальних залежностей між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю рівномірно.
Методом перерізу Отриманий вираз можна узагальнити
Поперечна сила в аналізованому перерізі дорівнює алгебраїчній сумі всіх сил, що діють на балку до перерізу, що розглядається: Q = ΣFi Оскільки мова йде
Напруги
Розглянемо вигин балки, защемленої праворуч та навантаженої зосередженою силою F (рис. 33.1).
Напружений стан у точці
Напружений стан у точці характеризується нормальними і дотичними напругами, що виникають на всіх майданчиках (перетинах), що проходять через цю точку. Зазвичай достатньо визначити напр.
Поняття про складний деформований стан
Сукупність деформацій, що виникають за різними напрямками та в різних площинах, що проходять через точку, визначають деформований стан у цій точці. Складне деформування
Розрахунок круглого бруса на вигин із крученням
У разі розрахунку круглого бруса при дії вигину та кручення (рис. 34.3) необхідно враховувати нормальні та дотичні напруги, тому що максимальні значення напруг в обох випадках виникають
Поняття про стійку та нестійку рівновагу
Відносно короткі та потужні стрижні розраховують на стиск, т.к. вони виходять з ладу внаслідок руйнування чи залишкових деформацій. Довгі стрижні невеликого поперечного перерізу під дією
Розрахунок на стійкість
Розрахунок на стійкість полягає у визначенні стискаючої сили, що допускається, і в порівнянні з нею сили чинної:
Розрахунок за формулою Ейлера
Завдання визначення критичної сили математично вирішив Л. Ейлер у 1744 р. Для шарнірно закріпленого з обох боків стрижня (рис. 36.2) формула Ейлера має вигляд
Критичні напруження
Критична напруга - напруга стиснення, що відповідає критичній силі. Напруга від стискаючої сили визначається за формулою
Межі застосування формули Ейлера
Формула Ейлера виконується лише в межах пружних деформацій. Таким чином, критичне напруження має бути менше межі пружності матеріалу. Перед
Пара сил. Момент пари.
Парою сил (або просто парою) називаються дві сили, рівні за величиною, паралельні та спрямовані у протилежні сторони (рис.22). Очевидно, і .
Рис.22
Незважаючи на те, що сума сил дорівнює нулю, ці сили не врівноважуються. Під дією цих сил, пари сил тіло почне обертатися. І обертальний ефект визначатиметься моментом пари:
.
Відстань aміж лініями дії сил називається плечем пари.
Якщо пара обертає тіло проти годинникової стрілки, момент її вважається позитивним (як у рис.22), якщо за годинниковою стрілкою – негативним.
Для того щоб момент пари вказував і площину, в якій відбувається обертання, його представляють вектором.
Вектор моменту пари спрямовується перпендикулярно до площини, в якій розташована пара, в такий бік, що якщо подивитися звідти, побачимо обертання тіла проти годинникової стрілки (рис. 23).
Неважко довести, що вектор моменту пари є вектором цього векторного твору (рис. 23). І зауважимо, що він дорівнює вектору моменту сили щодо точки А, точки докладання другої сили:
Про точку програми вектора буде сказано нижче. Поки докладемо його до точки А.
Рис.23
Властивості пар
1) Проекція пари на будь-яку вісь дорівнює нулю. Це випливає із визначення пари сил.
2) Знайдемо суму моментів сил і складових пару, щодо будь-якої точки Про(Рис.24).
Рис.24
Покажемо радіуси-вектори крапок А 1 і А 2 та вектор , що з'єднує ці точки. Тоді момент пари сил щодо точки Про
Але. Тому.
Значить 
.
Момент пари сил щодо будь-якої точки дорівнює моменту цієї пари.
Звідси випливає, що, по-перше, де б не була точка Проі, по-друге, де б не розташовувалася ця пара в тілі і як би вона не була повернута у своїй площині, дія її на тіло буде однаково. Оскільки момент сил, що становлять пару, у випадках один і той самий, рівний моменту цієї пари .
Тому можна сформулювати ще дві властивості.
3) Пару можна переміщати в межах тіла по площині дії та переносити в будь-яку іншу паралельну площину.
4) Оскільки дію на тіло сил, що становлять пару, визначається лише її моментом, добутком однієї з сил на плече, то у пари можна змінювати сили та плече, але так, щоб момент пари залишився тим самим. Наприклад, при силах F 1 =F 2 = 5 H і плече а= 4 см момент пари m= 20 H×див. Можна зробити сили рівними 2 Н, а плече а= 10 см. При цьому момент залишиться тим самим 20 Нсм і дія пари на тіло не зміниться.
Всі ці властивості можна об'єднати і, як наслідок, дійти невтішного висновку, що пари з однаковим вектором моменту і неважливо де розташовані на тілі, надають на нього однакову дію. Тобто такі пари еквівалентні.
Виходячи з цього, на розрахункових схемах пару зображують у вигляді дуги зі стрілкою, що вказує напрямок обертання, і поруч пишуть величину моменту m. Або якщо це просторова конструкція, показують тільки вектор моменту цієї пари. І вектор моменту пари можна прикладати до будь-якої точки тіла. Отже вектор моменту пари – вільний вектор.
І ще одне додаткове зауваження. Оскільки момент пари дорівнює вектору моменту однієї з її сил щодо точки докладання другої сили, то момент пари сил щодо будь-якої осі zє проекція вектора моменту пари на цю вісь:
де – кут між вектором та віссю z.