Вектор нормального прискорення. Нормальна та тангенціальна складові прискорення

.Тангенціальне прискорення - Векторна фізична величина, що характеризує зміну швидкості тіла за абсолютним значенням, чисельно дорівнює першій похідній від модуля швидкості за часом і спрямована по дотичній до траєкторії в той же бік, що і швидкість, якщо швидкість зростає, і протилежно швидкості, якщо вона зменшується.

4

Нормальне прискорення

.

Т

, (1.2.9)

5.Кутове прискорення - Векторна фізична величина, що характеризує зміна кутової швидкості, чисельно рівна першої похідної кутової швидкості за часом і спрямована вздовж осі обертання в ту ж сторону, що і кутова швидкість, якщо швидкість зростає, і протилежно їй, якщо вона зменшується.

Формулу вставити (1.2.10)

СІ:

Кутове прискорення

Зв'язок між кутовими характеристиками

тіла, що обертається і лінійними

характеристиками руху його окремих точок

Р

СІ:

Після закінчення часу
точка А переміститься в положення А 1 , пройшовши відстань
, радіус-вектор повернеться на кут
. Центральний кут, що спирається на дугу
, у радіанній мірі дорівнює відношенню довжини дуги до радіусу кривизни цієї дуги:

.

Це залишається справедливим і для нескінченно малого інтервалу часу
:
. Далі, використовуючи визначення, легко отримати:

; (1.2.11)

Зв'язок між лінійними та кутовими характеристиками

. (1.2.13)

1.1.2. Класифікація рухів. Кінематичні закони

Кінематичними законами називатимемо закони, що виражають зміну кінематичних характеристик руху з часом:

Закон шляху
або
;

Закон швидкості
або
;

Закон прискорення
або
.

Н

Прискорення

Прискорення гоночного автомобіля на старті 4-5 м/с 2

Прискорення реактивного літака під час посадки

6-8 м/c 2

Прискорення вільного падіння поблизу поверхні Сонця 274 м/c 2

Прискорення снаряда у стволі зброї 10 5 м/c 2

Нормальне прискорення несе інформацію про зміну напрямку швидкості, тобто про особливості траєкторії руху:

- рух прямолінійний (напрямок швидкості не змінюється);

- Рух криволінійний.

Тангенціальне прискорення визначає характер зміни модуля швидкості з часом. За цією ознакою прийнято виділяти такі види руху:

- рівномірний рух (абсолютне значення швидкості не змінюється);

- прискорений рух

- нерівномір-(швидкість зростає)

ное движе-
-уповільнене рух

ня ня (швидкість зменшується).

Найбільш простими окремими випадками нерівномірного руху є рухи, при яких

- тангенціальне прискорення не залежить від часу, залишається постійним під час руху – рівнозмінний рух (рівноприскорений або рівноуповільнений);

або
- тангенціальне прискорення змінюється з часом за законом синуса чи косинуса – гармонійний коливальний рух (наприклад, вантаж на пружині).

Аналогічно для обертального руху:

- рівномірне обертання;

- нерівномірне обертання

Типи руху записати компактніше

-рівноприскорене

обертання

- уповільнений-

ное обертання;

- рівнопе-

ремінне обертання

Крутильні коливання (наприклад, трифілярний підвіс – диск, підвішений на трьох пружних нитках, і коливання в горизонтальній площині).

Якщо відомий один із кінематичних законів в аналітичній формі, то можна знайти інші, при цьому можливі два типи завдань:

I тип - за заданим законом шляху
або
знайти закон швидкості
або
та закон прискорення
або
;

ІІ тип – за заданим законом прискорення
або
знайти закон швидкості
або
і закон шляху
або
.

Ці завдання є взаємно оберненими і вирішуються на основі застосування зворотних математичних операцій. Перший тип завдань вирішується з урахуванням визначень, тобто шляхом застосування операції диференціювання.

- Задано

- ?

- ?
.

Другий тип завдань вирішується шляхом інтегрування. Якщо швидкість є першою похідною від шляху за часом, то шлях по відношенню до швидкості можна знайти як первісну. Аналогічно: прискорення є похідною від швидкості за часом, тоді швидкість по відношенню до прискорення – первісна. Математично ці дії виглядають так:

- Збільшення шляху за нескінченно малий проміжок часу
. Для кінцевого інтервалу від до інтегруємо:
. За правилами інтегрування
. Щоб узяти інтеграл у правій частині, потрібно знати вид закону швидкості, тобто
. Остаточно, знаходження становища тіла на траєкторії у довільний час отримуємо:

, де (1.2.14)

- Зміна швидкості за нескінченно малий проміжок часу
.

Для кінцевого інтервалу від до :

Швидкість. Шлях.

Нехай матеріальна точка здійснює рух у вибраній СО. Вектор, проведений з початкового положення крапки в кінцеве називається переміщенням(). Тоді векторна величина називається середньою швидкістю переміщення. Довжина ділянки траєкторії, пройденої точкою за проміжок, називається шляхом S(). Середня швидкість характеризує швидкість та напрямок руху частинок. Середню швидкість руху тіла траєкторією характеризує середня шляхова швидкість. Як швидко і в якому напрямку рухається тіло даний момент t характеризує миттєва швидкість . Миттєва колійна швидкість. При Модуль миттєвої швидкості дорівнює миттєвій колійній швидкості Миттєва швидкість завжди спрямована по траєкторії. Для нескінченно малого переміщення. Для невеликих проміжків виконується приблизно.

Швидкість – векторна величина, отже, її можна записати як . З іншого боку. Отже, проекція швидкості… Величина (модуль) швидкості.

Вираз швидкості в полярних координатах (): , . Напрямок задається кутом або одиничним вектором. Радіус-вектор точки , , - Поодинокий вектор, перпендикулярний . .

Пройдений шлях частинки від до.

Прискорення. Нормальне та тангенціальне прискорення.

При русі матеріальної точки її швидкість змінюється як у величині, і за напрямом. Як швидко це відбувається у довільний момент часу, характеризує векторна величина прискорення. . Проекція вектор прискорення …

Розглянемо рух частинки, що відбувається у площині. Швидкість спрямована щодо дотичної траєкторії, тому можна записати . Тут одиничний вектор ставить напрям дотичної, .

Прискорення , спрямоване по дотичній до траєкторії, що визначається швидкістю зміна величини швидкості, або модуля, називається тангенціальним прискоренням.

– нормальне прискорення(характеризує швидкість зміни напрямку швидкості) - одиничний вектор, перпендикулярний і спрямований всередину кривої, R - радіус кривизни лінії.

Третій закон Ньютона. Принцип відносності Галілея.

Третій закон Ньютона:сили, з якими 2 тіла діють один на одного, рівні за величиною, протилежні за напрямом, лежать на одній прямій, що проходить через тіла і мають однакову фізичну природу.

Три закони Ньютона дозволяють вирішити основне завдання динаміки:за заданими силами, початковим положенням і початковими швидкостями тіл можна визначити подальший рух механічної системи. Перший закондає критерій відшукання ІСО; Другий закондає динамічне рівняння руху; третій закондозволяє ввести до розгляду всі сили, що діють у системі. При переході однієї ІСО на іншу ІСО швидкості перетворюються за законом , а прискорення - , тобто. прискорення тіл не змінюється, як і сили, отже, залишається постійним рівняння другого закону. Отже, за однакових початкових умов (координати та швидкості) ми отримаємо в обох випадках однакове рішення. Отже, ISO – еквівалентні.

Принцип відносності Галілея:всі механічні явища в різних ІСО протікають однаковим чином за однакових початкових умов, внаслідок чого не можна виділити будь-яку ІСО як абсолютно спокій.

Закон збереження імпульсу.

У механіці існують 3 фундаментальні закону збереження(це деяка функція координат швидкостей частинок і часу, яка залишається постійною при русі). Закони збереження дозволяють вирішувати завдання, використовуючи рівняння диференціалів 1-го порядку. Векторна величина називається імпульсомматеріальної точки (імпульс – кількість руху). З другого закону Ньютона випливає, що швидкість зміни імпульсу механічної системи дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на систему. N – кількість матеріальних точок. Система, яку не діють зовнішні сили, називається замкненою, або ізольовані. Для замкнутої системи права частина рівняння дорівнює 0. Значить, . Отримуємо закон збереження імпульсу:імпульс замкнутої системи зберігається (не змінюється) з часом.

Закон збереження імпульсу є наслідком однорідності простору. Зауваження: 1) Імпульс незамкнутої системи буде зберігатися, якщо зовнішні сили компенсують одна одну, та їх результуюча = 0; 2) якщо результуюча зовнішніх сил, але = 0 її проекція на деякий напрямок (пр. ОХ), то проекція імпульсу на цей напрямок буде збережуться; 3)если зовнішні сили присутні, але розглядається короткочасний процес (удар, вибух), то діючими зовнішніми силами можна знехтувати і використовувати закон збереження імпульсу , , т.к. dt мало, то імпульс зовнішніх сил малий, і їх можна знехтувати.

Нехай задана система матеріальних точок, масами, радіус-вектори яких щодо деякого початку. Точка С, радіус-вектор якої визначається виразом, називається центром мас, або центром системи інерції. Її положення щодо тіл, залежить від вибору Про. Швидкість центру мас . ІСО, пов'язану з центром мас, називають системою центру мас.

Консервативна сила.

Взаємодія між тілами, що знаходяться на певній відстані один від одного, здійснюється за допомогою силових полів, що створюються у всьому навколишньому просторі. Якщо поле не змінюється, то таке поле називається стаціонарним. Нехай існує точка О (центр силового поля), така в будь-якій точці простору сила, що діє на частинку, лежить на прямій, що проходить через дану точку простору і силовий центр. Якщо модуль сил залежить лише від відстані між цими точками, ми маємо центральне силове поле(Пр. Кулонівське поле). Якщо у всіх точках простору сила однакова за величиною та напрямком, то говорять про однорідне силове поле. Якщо робота, що здійснюється над часткою силами стаціонарного поля, не залежить від вибору траєкторії руху, визначається лише початковим та кінцевим положеннями тіл, то таке поле називають консервативним.

1) поле сили тяжіння називають стаціонарним однорідним. . Значить, поле сили тяжіння – консервативне.

2) поле сили пружності. . Значить, поле сили пружності – консервативне.

3) Покажемо, що будь-яке центральне силове поле є консервативним. , . . Тут робота визначається початковим та кінцевим положенням точок, а не видом траєкторії. Отже, центральне силове поле є консервативним. Центральними силами є:

1) кулонівська сила взаємодії, .

2) гравітаційна сила взаємодії, .

Еквівалентним визначенням консервативних сил є сила називається консервативноїякщо її робота на довільній замкнутій траєкторії = 0.

Завдання 2-ох тел.

Завдання двох тіл за рухом ізольованої системи двох матеріальних точок, що взаємодіють один з одним. У силу ізольованості системи її імпульс зберігається, а центр мас рухається з постійною швидкістю, щодо системи відліку К'. Це дозволяє перейти до системи центру мас (вона буде інерційна, як і К'). - Радіус-вектор щодо . - радіус-вектори та щодо С. Складаємо систему: . Вирішуючи систему, отримуємо: , . Рух тіл визначається силами, . Врахували третій закон Ньютона і ізотропність простору(якщо поворот СО на довільний кут не призведе до зміни результатів вимірів). Отримуємо рівняння: , . Вирішуємо, в результаті отримуємо: .

Центр мас твердого тіла рухається так само, як рухалася б матеріальна точка маси m під дією всіх зовнішніх сил, що діють на тверде тіло.

Гіроскопи.

Гіроскоп(або дзига) – масивне тверде тіло, симетричне деякої осі, що здійснює обертання навколо неї з великою кутовою швидкістю. У силу симетрії гіроскопа виконується. При спробі повернути гіроскоп, що обертається, навколо деякої осі спостерігається гіроскопічний ефект- під дією сил, які, здавалося б, повинні були викликати поворот осі гіроскопа ГО навколо прямої О'O', вісь гіроскопа повертається навколо прямої О''О'' а пряма О''О'' і сили f1 і f2 перпендикулярними до цієї площини). Пояснення ефекту грунтується використання рівняння моменту . Момент імпульсу повертається навколо осі ОХ через співвідношення . Разом із навколо ОХ повертається і гіроскоп. Внаслідок гіроскопічного ефекту на підшипнику, на якому обертається гіроскоп, починають діяти гіроскопічні сили. Під впливом гіроскопічних сил вісь гіроскопа прагнути зайняти становище, паралельне кутовий швидкості обертання Землі.

Описана поведінка гіроскопа покладена в основу гіроскопічного компасу. Переваги гіроскопа: вказує точний напрямок на географічний північний полюс, його робота не піддається впливу металевих предметів.

Прецесія гіроскопа- особливий вид руху гіроскопа має місце в тому випадку, якщо момент зовнішніх сил, що діють на гіроскоп, залишаючись постійним за величиною, повертається одночасно з віссю гіроскопа, утворюючи з нею весь час прямий кут. Розглянемо рух гіроскопа з однією закріпленою точкою на осі під дією сили тяжіння - відстань від закріпленої точки до центру інерції гіроскопа - кут між гіроскопом і вертикаллю. спрямований момент перпендикулярно вертикальній площині, що проходить через вісь гіроскопа. Рівняння руху: збільшення імпульсу = Отже, змінює своє положення в просторі таким чином, що його кінець описує коло в горизонтальній площині. За проміжок часу гіроскоп повернувся на кут вісь гіроскопа описує конус навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю - Кутова швидкість прецесії.

Гармонійні коливання.

Коливання- процеси, що характеризуються тим чи іншим ступенем повторюваності за часом. Залежно від фізичної природи процесу, що повторюється, розрізняють коливання: механічні, електромагнітні, електромеханічні та інші. Всі ці процеси, незважаючи на різну фізичну природу, описуються однаковими математичними рівняннями та мають низку загальних властивостей. Розглянемо невелику кульку маси m, підвішену на легкій пружній пружині жорсткості k. У положенні рівноваги (х=0) сума сил, що діють кулю, дорівнює 0, тобто. . При відхиленні кульки від положення рівноваги його рух описуватиметься рівнянням: . Рівняння запишемо в такому вигляді: . Положення тіла описується через функцію косинуса (або синуса), яка називається гармонійною, тому такі коливання називаються гармонійними. – амплітуда коливань- Дає максимальне відхилення від положення рівноваги. - Фаза коливання - визначається зміщенням тіла в даний момент часу. - початкова фаза. Функція косинуса має період. Отже, стан тіла, що коливається, повторюється при зміні фази на . Проміжок часу, протягом якого фаза змінюється на , називається періодом коливань . Період- Час, за який відбувається одне повне коливання. Частота коливань– кількість коливань за одиницю часу, . – кругова (циклічна) частота, тобто. кількість коливань за секунди. Знаючи початкове положення та швидкість тіла, можна визначити амплітуду та початкову фазу: .Рух тіла при гармонійному коливанні відбувається під дією квазіпружної сили: , яка є консервативною, отже, виконується закон збереження енергії , . Середнє значення кінетичної та потенційної енергіїза часом: .

Загасні коливання.

У реальних фізичних системах завжди діють сили опору, внаслідок дії яких амплітуда коливань з часом зменшується. розглянемо рух тіла у в'язкому середовищі, коли сили опору протилежні швидкості руху тіла: , - Коефіцієнт опору. . Підставимо замість - диференціальне рівняння 2-го порядку зводиться до квадратного рівня алгебри . Коливальний процес можливий, якщо сили опору досить малі. Це означає, що має виконуватися умова . У цьому випадку. Отже, загальним рішенням нашого рівняння буде функція – кінематичний закон загасаючих коливань.Можна сказати, що спостерігаються гармонійні коливання з частотою, амплітуда ж коливань зменшується за експоненційним законом. Швидкість загасання визначається величиною коефіцієнта згасання. Згасання характеризується також декрементом згасання, що показує у скільки разів зменшилася амплітуда коливань за час, що дорівнює періоду: . Логарифм цього виразу називають логарифмічним декрементом згасання: . У загасаючих системах використовується також така величина як добротність: .

Хвильове рівняння.

Рівняння будь-якої хвилі є рішенням деякого диференціального рівняння, званого хвильовим. Виходячи з фізичних властивостей середовища та основних законів механіки ми отримуємо хвильове рівняння з явного виразу для рівняння плоскої хвилі.

Можна записати: – хвильове рівняння. Хвильовому рівнянню задовольнятиме будь-яка хвиля довільної частоти, що поширюється зі швидкістю. визначається фізичними властивостями середовища. У разі плоскої хвилі, що розповсюджується в напрямку х, хвильове рівняння записується у вигляді: .

Енергія пружної хвилі.

Нехай плоска поздовжня хвиля поширюється у бік ОХ деякою пружною середовищі. Її рівняння: . Частинки середовища, відхиляючись від рівноваги, рухаються з деякими швидкостями. Отже, вони мають кінетичну і потенційною енергіями. Виділимо в середовищі циліндричний об'єм V з площею основи S та висотою x. Його величина така, що можемо вважати швидкості частинокі про відносне зміщенняоднаковими. Енергія,укладена у цьому обсязі. Таким чином, щільність енергії пружної хвилі . Підставимо до нього рівняння плоскої хвилі, перетворимо і скористаємося тим, що: . Потім знайдемо з редню за періодом щільність енергії: . З виразу для щільності енергії видно, що її величина змінюється з часом від 0 до деякого максимального значення, отже, енергія від джерел коливання переноситься хвилею з місця простору до іншого зі швидкістю Хвиля здійснює процес перенесення енергії, але з речовини. Перенесення енергії здійснюється за допомогою сил пружної взаємодії між частинками середовища. Кількість енергії, що переноситься через деяку поверхню за одиницю часу, називається потоком енергіїЧерез цю поверхню: . Для більш детальної характеристики процесу переносу енергії використовується вектор густини потоку енергії. За величиною він дорівнює потоку енергії, що переноситься через майданчик, перпендикулярну напрямку поширення хвилі, поділеному на площу цього майданчика: – останнє – вектор Умова. У напрямку він збігається із напрямом поширення хвилі. Середнє . Модуль цього виразу називається інтенсивністю хвилі.

Складання швидкостей у СТО.

У ХІХ столітті класична механіка зіткнулася з проблемою поширення цього правила складання швидкостей на оптичні (електромагнітні) процеси. Фактично стався конфлікт між двома ідеями класичної механіки, перенесеними на нову область електромагнітних процесів. Наприклад, якщо розглянути приклад з хвилями на поверхні води з попереднього розділу і спробувати узагальнити електромагнітні хвилі, то вийде протиріччя зі спостереженнями (див., наприклад, досвід Майкельсона). Класичне правило складання швидкостей відповідає перетворенню координат від однієї системи осей до іншої системи, що рухаються щодо першої без прискорення. Якщо при такому перетворенні ми зберігаємо поняття одночасності, тобто зможемо вважати одночасними дві події не тільки при їх реєстрації в одній системі координат, а й у будь-якій іншій системі, то перетворення називаються галілеєвими. Крім того, при галілеєвих перетвореннях просторова відстань між двома точками - різниця між їх координатами в одній ІСО - завжди дорівнює їх відстані в іншій інерційній системі. Друга ідея – принцип відносності. Перебуваючи на кораблі, що рухається рівномірно та прямолінійно, не можна виявити його рух якимись внутрішніми механічними ефектами. Чи цей принцип поширюється на оптичні ефекти? Чи не можна виявити абсолютний рух системи за оптичними цим рухом або, що ж саме електродинамічними ефектами? Інтуїція (досить явно пов'язана з класичним принципом відносності) говорить, що абсолютний рух не можна виявити будь-якими спостереженнями. Але якщо світло поширюється з певною швидкістю щодо кожної з інерційних систем, що рухаються, то ця швидкість зміниться при переході від однієї системи до іншої. Це випливає із класичного правила складання швидкостей. Говорячи математичною мовою, величина швидкості світла нічого очікувати інваріантна щодо галлилеевых перетворенням. Це порушує принцип відносності, вірніше не дозволяє поширити принцип відносності на оптичні процеси. Таким чином, електродинаміка зруйнувала зв'язок двох, здавалося б, очевидних положень класичної фізики - правила складання швидкостей та принципу відносності. Більше того, ці два положення стосовно електродинаміки виявилися несумісними. Теорія відносності дає відповідь це питання. Вона розширює поняття принципу відносності, поширюючи його і оптичні процеси. Правило складання швидкостей у своїй не скасовується зовсім, лише уточнюється для високих швидкостей з допомогою перетворення Лоренца.

Якщо деякий об'єкт має компоненти швидкості щодо системи S і щодо S", то між ними існує наступний зв'язок:

У цих співвідношеннях відносна швидкість руху систем відліку спрямована вздовж осі x. Релятивістське складання швидкостей, як і перетворення Лоренца, при малих швидкостях () перетворюється на класичний закон складання швидкостей.

Якщо об'єкт рухається зі швидкістю світла вздовж осі x щодо системи S, то така ж швидкість у нього буде і щодо S": Це означає, що швидкість є інваріантною (однаковою) у всіх ІСО.

Барометричні формули.

Барометрична формула дає залежність атмосферного тиску від висоти, відрахованої від Землі. Передбачається, що температура атмосфери із висотою не змінюється. Для виведення формули виділимо вертикальний циліндр: поперечний переріз S. У ньому виділяється невеликий циліндричний об'єм заввишки dh. Він знаходиться в рівновазі: на нього діють сила тяжіння mg, вертикально спрямована вгору сила тиску газу F1 і вертикально спрямована вниз сила тиску F2. Їхня сума = 0. У проекції: -mg+ F1-. F2=0. З рівняння Клапейрона-Менделєєва . Інтегруємо в межах від 0 до та отримуємо: – барометрична формула, що використовується для визначення висоти. Зміни в температурі можна знехтувати.

Тиск газу стінку.

Розподіл Максвелла.

Нехай є n тотожних молекул, що у стані безладного теплового руху за певної температури. Після кожного акта зіткнення між молекулами їх швидкості змінюються випадковим чином. В результаті неймовірно великої кількості зіткнень встановлюється стаціонарний рівноважний стан, коли число молекул у заданому інтервалі швидкостей зберігається постійним.

Через війну кожного зіткнення проекції швидкості молекули відчувають випадкове зміна на , , , причому зміни кожної проекції швидкості незалежні друг від друга. Припускатимемо, що силові поля на частинки не діють. Знайдемо у умовах, яке число частинок dn із загальної кількості n має швидкість інтервалі від υ до υ+Δυ. При цьому ми не можемо нічого певного сказати про точне значення швидкості тієї чи іншої частинки υi, оскільки за зіткненнями та рухами кожної молекули неможливо простежити ні в досвіді, ні в теорії. Така детальна інформація навряд чи мала б практичну цінність.

Швидкість – векторний розмір. Для проекції швидкості на вісь х (x-ї складової швидкості) маємо тоді де А1 - постійна, рівна

Графічне зображення функції показано малюнку. Видно, частка молекул зі швидкістю не дорівнює нулю. При , (у цьому фізичний зміст постійної А1).

Наведений вираз та графік справедливі для розподілу молекул газу за x-компонентами швидкості. Очевидно, що і по y- і z-компонентам швидкості також можна отримати:

Імовірність того, що швидкість молекули одночасно задовольняє трьома умовами: x-компонента швидкості лежить в інтервалі від , до + ,; y-компонента, в інтервалі від + ; z-компонента, в інтервалі від до +d дорівнюватиме добутку ймовірностей кожної з умов (подій) окремо: де , або ) – це число молекул у паралелепіпеді зі сторонами , , d , тобто обсягом dV= d , що знаходиться на відстані від початку координат у просторі швидкостей. Ця величина () не може залежати від напрямку вектора швидкості. Тому треба отримати функцію розподілу молекул за швидкостями незалежно від їхнього напрямку, тобто за абсолютним значенням швидкості. Якщо зібрати разом всі молекули в одиниці об'єму, швидкості яких укладені в інтервалі від υ до υ+dυ за всіма напрямками, і випустити їх, то вони виявляться через одну секунду в шаровому шарі товщиною dυ і радіусом υ. Цей шаровий шар складається з тих паралелепіпедів, про які говорилося вище.

Об'єм цього шарового шару. Загальна кількість молекул у шарі: Звідси випливає закон розподілу молекул за абсолютними значеннями швидкостей Максвелла: де – частка всіх частинок у шаровому шарі об'єму dV, швидкості яких лежать в інтервалі від υ до υ+dυ. При dυ = 1 отримуємо щільність імовірності, або функцію розподілу молекул за швидкостями: Ця функція означає частку молекул одиничного обсягу газу, абсолютні швидкості яких укладені в одиничному інтервалі швидкостей, що включає цю швидкість. Позначимо: та отримаємо: Графік цієї функції показаний малюнку. Це і є розподіл Максвелла. Або по-іншому

.

Ентропія.

Термодинамічна ентропія S, часто просто названа ентропія, у хімії та термодинаміці є функцією стану термодинамічної системи. Поняття ентропії було вперше запроваджено Рудольфом Клаузіусом, який визначив зміна ентропії термодинамічної системи при оборотному процесіяк відношення зміни загальної кількості тепла ΔQ до величини абсолютної температури T (тобто зміна тепла за постійної температури): . Наприклад, при температурі 0 °C вода може перебувати в рідкому стані і при незначному зовнішньому впливі починає швидко перетворюватися на лід, виділяючи при цьому деяку кількість теплоти. При цьому температура речовини залишається 0 °C. Змінюється стан речовини, що супроводжується зміною тепла внаслідок зміни структури.

Ця формула застосовна тільки для ізотермічного процесу (що відбувається за постійної температури). Її узагальнення на випадок довільного квазістатичного процесу виглядає так: де dS - збільшення (диференціал) ентропії, а Q - нескінченно мале збільшення кількості теплоти. Необхідно звернути увагу на те, що розглядається термодинамічний визначення застосовно тільки до квазістатичним процесам(що складається з станів рівноваги, що безперервно наступають один за одним).

Ентропія – адитивна величина, тобто. Ентропія системи дорівнює сумі ентропій окремих її елементів.

Больцман встановив зв'язок ентропії з ймовірністю цього стану. Пізніше цей зв'язок представив у вигляді формули Планк: , де константа k = 1,38×10-23 Дж/К названа Планком постійної Больцмана, а Ω - (термодинамічна ймовірність) статистична вага стану, є числом можливих мікростанів (способів) за допомогою яких можна перейти в даний макроскопічний стан. Цей постулат, названий Альберт Ейнштейном принципом Больцмана, започаткував статистичну механіку, яка описує термодинамічні системи, використовуючи статистичну поведінку складових їх компонентів. Принцип Больцмана пов'язує мікроскопічні властивості системи (Ω) з одним із її термодинамічних властивостей (S). Згідно з визначенням, ентропія є функцією стану, тобто залежить від способу досягнення цього стану, а визначається параметрами цього стану. Так як ?

Ентропія у відкритих системах:

В силу другого початку термодинаміки, ентропія Si замкнутої системи не може зменшуватись ( закон невтрати ентропії). Математично це можна записати так: індекс i позначає так звану внутрішню ентропію, що відповідає замкнутій системі. У відкритій системі можливі потоки тепла як із системи, так і всередину неї. У разі наявності потоку тепла в систему приходить кількість тепла Q1 при температурі T1 і йде кількість тепла Q2 при температурі T2. Приріст ентропії, пов'язаний з даними тепловими потоками, дорівнює:

У стаціонарних системах зазвичай Q1 = Q2, T1 > T2, так що dSo< 0. Поскольку здесь изменение энтропии отрицательно, то часто употребляют выражение «приток негэнтропии», вместо оттока энтропии из системы. Негентропіявизначається таким чином як обернена величина ентропії.

Сумарна зміна ентропії відкритої системи дорівнюватиме: dS = dSi + dSo.

Тангенціальне прискоренняхарактеризує зміну швидкості за модулем (величиною) і спрямовано по дотичній до траєкторії:

,

де  похідна модуля швидкості,  одиничний вектор дотичної, що збігається у напрямку зі швидкістю.

Нормальне прискоренняхарактеризує зміну швидкості за напрямом та спрямовано по радіусу кривизни до центру кривизни траєкторії в даній точці:

,

де R - радіус кривизни траєкторії,  одиничний вектор нормалі.

Модуль вектора прискорення може бути знайдений за формулою

.

1.3. Основне завдання кінематики

Основне завдання кінематики полягає у знаходженні закону руху матеріальної точки. Для цього використовуються такі співвідношення:

;
;
;
;

.

Окремі випадки прямолінійного руху:

1) рівномірний прямолінійний рух: ;

2) рівнозмінний прямолінійний рух:
.

1.4. Обертальний рух та його кінематичні характеристики

При обертальному русі всі точки тіла рухаються по колам, центри яких лежать на одній і тій же прямій, що називається віссю обертання. Для характеристики обертального руху запроваджуються такі кінематичні характеристики (рис. 3).

Кутове переміщення
 вектор, чисельно рівний куту повороту тіла
за час
і спрямований уздовж осі обертання так, що, дивлячись вздовж нього, поворот тіла спостерігається за годинниковою стрілкою.

Кутова швидкість  характеризує швидкість та напрямок обертання тіла, що дорівнює похідній кута повороту за часом і спрямована вздовж осі обертання як кутове переміщення.

П ри обертальний рух справедливі наступні формули:

;
;
.

Кутове прискорення характеризує швидкість зміни кутової швидкості з плином часу, так само першої похідної кутової швидкості і спрямовано вздовж осі обертання:

;
;
.

Залежність
виражає закон обертання тіла.

При рівномірному обертанні:  = 0,  = const,  = t.

При рівнозмінному обертанні:  = const,
,
.

Для характеристики рівномірного обертального руху використовуються період обертання та частота обертання.

Період обертанняТ - час одного обороту тіла, що обертається з постійною кутовою швидкістю.

Частота обертання – кількість обертів, які здійснюють тіло за одиницю часу.

Кутова швидкість може бути виражена таким чином:

.

Зв'язок між кутовими та лінійними кінематичними характеристиками (рис. 4):

2. Динаміка поступального та обертального рухів

1. Закони Ньютона Перший закон Ньютона: всяке тіло перебуває у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху, доки вплив із боку інших тіл не виведе його з цього стану.

Тіла, не схильні до зовнішніх впливів, називаються вільними тілами. Система відліку, пов'язана з вільним тілом, називається інерційною системою відліку (ІСО). По відношенню до неї будь-яке вільне тіло рухатиметься рівномірно і прямолінійно або перебуватиме у стані спокою. З відносності руху випливає, що система відліку, що рухається рівномірно і прямолінійно по відношенню до ISO, також є ISO. ІСО відіграють важливу роль у всіх розділах фізики. Це з принципом відносності Ейнштейна, згідно з яким математична форма будь-якого фізичного закону повинна мати той самий вид у всіх інерційних системах відліку.

До основних понять, що використовуються в динаміці поступального руху, належать сила, маса тіла, імпульс тіла (системи тіл).

Силоюназивається векторна фізична величина, що є мірою механічної дії одного тіла інше. Механічна дія виникає як при безпосередньому контакті тіл, що взаємодіють (тертя, реакція опори, вага і т.д.), так і за допомогою силового поля, що існує в просторі (сила тяжіння, кулонівські сили і т.д.). Сила характеризується модулем, напрямом та точкою програми.

Одночасна дія на тіло кількох сил ,,...,може бути замінено дією результуючої (рівнодіючої) сили :

=++...+=.

Масоютіла називається скалярна величина, що є мірою інертностітіла. Під інертністюрозуміється властивість матеріальних тіл зберігати свою швидкість незмінною відсутність зовнішніх впливів і змінювати її поступово (тобто з кінцевим прискоренням) під дією сили.

Імпульсомтіла (матеріальної точки) називається векторна фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість:
.

Імпульс системи матеріальних точок дорівнює векторній сумі імпульсів точок, що становлять систему:
.

Другий закон Ньютона: швидкість зміни імпульсу тіла дорівнює силі, що діє на нього:

.

Якщо маса тіла залишається постійною, то прискорення, яке набуває тіло щодо інерційної системи відліку, прямо пропорційно діє на нього силі і обернено пропорційно масі тіла:

.

Дотичне прискорення точки дорівнює першій похідній від модуля швидкості або другої похідної від відстані за часом. Дотичне прискорення позначається – .

.

Дотичне прискорення в даній точці спрямоване щодо до траєкторії руху точки; якщо прискорене рух, то напрям вектора дотичного прискорення збігається з напрямом вектора швидкості; якщо рух уповільнений – то напрям вектора дотичного прискорення протилежний напрямку вектора швидкості. (Рис. 8.5.)

Нормальним прискореннямточки називається величина, що дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус кривизни.

Вектор нормального прискорення спрямований від цієї точки до центру кривизни (рис.8.6.). Нормальне прискорення позначається.

– нормаль до цієї точки на траєкторії руху.

Повне прискорення точки визначається з векторного рівняння:

Знаючи напрям і модулі і , за правилом паралелограма визначимо прискорення, що відповідає даній точці траєкторії руху. Тоді модуль прискорення визначимо:

.

Характер - це таке виконання рухів, при якому у спостерігачів залишається враження про легкість або вантажність, округлість або незграбність, силу або розслабленість, свободу або скутість рухів і т. п. Всі ці відтінки створюються завдяки своєрідному підбору рухів, що здійснюють дію

8.поступальний рух твердого тіла. траєкторія, швидкості та прискорення точок твердого тіла при поступальному русі.

Поступальним рухом твердого тіланазивається такий рух, при якому відрізок прямий, що з'єднує дві будь-які точки тіла, весь час руху залишається собі паралельним (наприклад, АВ).

Теорема. При поступальному русі твердого тіла траєкторії, швидкості та прискорення всіх його точок однакові.

Доказ. Нехай відрізок АВТіла за час переміщається поступально. Візьмемо довільну точку Oі визначимо у просторі положення відрізка АВрадіусами-векторами та. Позначимо: - Радіус-вектор, що визначає положення точки Ущодо точки А:

Вектор не змінюється ні за величиною, ні за напрямом, оскільки (за визначенням поступального руху). Зі співвідношення (1) видно, що траєкторія точки Увиходить з траєкторії точки Апаралельним усуненням точок цієї траєкторії на постійний вектор. Таким чином, траєкторії точок Аі Убудуть однаковими.

Візьмемо похідну за часом рівності (1). Тоді

Отже, при поступальному русі твердого тіла швидкості та прискорення всіх його точок на даний момент часу однакові.

Зазначимо, що сам факт поступального руху не визначає ні закону руху, ні виду траєкторії. При поступальному русі точки тіла можуть описувати будь-які траєкторії(наприклад, кола). Але всі вони будуть однакові.

Диференціюючи ліву та праву частини наведеного вище векторного співвідношення та враховуючи, що dAB/dt=0, отримуємо drB/dt =drA/dt, або VB = VA. Диференціюючи за часом ліву та праву частини отриманого співвідношення для швидкостей, знаходимо dVB/dt=dVA/dt або аB = аА. На підставі вищевикладеного можна зробити наступний висновок: щоб задати рух і визначити кінематичні характеристики тіла, що здійснює поступальний рух, достатньо задати рух однієї його будь-якої точки (по-
люса) та знайти її кінематичні характеристики.

Як і матеріальна точка, тіло при його поступальному русі матиме один ступінь свободи під час руху по напрямній, що задає траєкторію його точкам; два ступені свободи у разі руху на площині (при постійному контакті з нею хоча б однією точкою) та три ступені свободи в загальному випадку руху у просторі.

9. обертання твердого тіла довкола нерухомої осі. Завдання руху, кутова швидкість та кутова прискорення, швидкість та прискорення точок тіла .

Лінійне рух, лінійна швидкість, лінійне прискорення.

Переміщення(У кінематиці) - Зміна розташування фізичного тіла в просторі щодо обраної системи відліку. Також переміщенням називають вектор, що характеризує цю зміну. Має властивість адитивності. Довжина відрізка - це модуль переміщення, що вимірюється в метрах (СІ).

Можна визначити переміщення як зміна радіус-вектора точки: .

Модуль переміщення збігається з пройденим шляхом у тому лише у тому разі, якщо під час руху напрям переміщення не змінюється. При цьому траєкторією буде прямий відрізок. У будь-якому іншому випадку, наприклад, при криволінійному русі, з нерівності трикутника випливає, що шлях більший.

Вектор D r = r -r 0 , проведений з початкового положення точки, що рухається в положення її в даний момент часу (прирощення радіуса-вектора точки за аналізований проміжок часу), називається переміщенням.

При прямолінійному русі вектор переміщення збігається з відповідною ділянкою траєкторії та модуль переміщення |D r| дорівнює пройденому шляху D s.
Лінійна швидкість тіла у механіці

Швидкість

Для характеристики руху матеріальної точки вводиться векторна величина – швидкість, якою визначається як швидкістьруху, так і його напрямокна даний момент часу.

Нехай матеріальна точка рухається якою-небудь криволінійною траєкторією так, що в момент часу tїй відповідає радіус-вектор r0 (рис. 3). Протягом малого проміжку часу D tточка пройде шлях D sта отримає елементарне (нескінченно мале) переміщення Dr.

Вектор середньої швидкості називається відношення збільшення Dr радіуса-вектора точки до проміжку часу D t:

Напрямок вектора середньої швидкості збігається із напрямком Dr. При необмеженому зменшенні D tсередня швидкість прагне граничного значення, яке називається миттєвою швидкістю v:

Миттєва швидкість v, таким чином, є векторна величина, що дорівнює першій похідній радіусу-вектора точки, що рухається за часом. Оскільки січуча межі збігається з дотичною, то вектор швидкості v спрямований по дотичній до траєкторії у бік руху (рис. 3). У міру зменшення D tшлях D sдедалі більше наближатися до |Dr|, тому модуль миттєвої швидкості

Таким чином, модуль миттєвої швидкості дорівнює першій похідній шляху за часом:

При нерівномірному русі -модуль миттєвої швидкості з часом змінюється. У цьому випадку користуються скалярною величиною á vñ - середньою швидкістюнерівномірного руху:

З рис. 3 випливає, що á vñ> |ávñ|, оскільки D s> |Dr|, і у разі прямолінійного руху

Якщо вираз d s = v d t(див. формулу (2.2)) проінтегрувати за часом у межах від tдо t+ D t, то знайдемо довжину шляху, пройденого точкою за час D t:

У випадку рівномірного рухучислове значення миттєвої швидкості постійно; тоді вираз (2.3) набуде вигляду

Довжина шляху, пройденого точкою за проміжок часу від t 1 до t 2 , дається інтегралом

Прискорення та його складові

У разі нерівномірного руху важливо знати, як швидко змінюється швидкість з часом. Фізичною величиною, що характеризує швидкість зміни швидкості за модулем і напрямом, є прискорення.

Розглянемо плоский рух,тобто. рух, коли всі ділянки траєкторії точки лежать у одній площині. Нехай вектор v задає швидкість точки Ау момент часу t.За час D tточка, що рухається, перейшла в положення Уі придбала швидкість, відмінну від v як за модулем, так і напрямком і рівну v 1 = v + Dv. Перенесемо вектор v 1 до точки Ата знайдемо Dv (рис. 4).

Середнім прискореннямнерівномірного руху в інтервалі від tдо t+ D tназивається векторна величина, що дорівнює відношенню зміни швидкості Dv до інтервалу часу D t

Миттєвим прискоренняма (прискоренням) матеріальної точки на момент часу tбуде межа середнього прискорення:

Таким чином, прискорення a є векторною величиною, що дорівнює першій похідній швидкості за часом.

Розкладемо вектор Dv на дві складові. Для цього з точки А(рис. 4) у напрямку швидкості v відкладемо вектор , по модулю рівний v 1 . Очевидно, що вектор , рівний визначає зміну швидкості за час D t за модулем: . Друга складова вектора Dv характеризує зміну швидкості за час D t у напрямку.

Тангенціальне та нормальне прискорення.

Тангенціальне прискорення- компонента прискорення, спрямована щодо траєкторії руху. Збігається з напрямом вектора швидкості при прискореному русі та протилежно спрямовано при уповільненому. Характеризує зміну модуля швидкості. Позначається зазвичай або (, ітд відповідно до того, яка літера обрана для позначення прискорення взагалі в даному тексті).

Іноді під тангенціальним прискоренням розуміють проекцію вектора тангенціального прискорення - як визначено вище - на одиничний вектор дотичної до траєкторії, що збігається з проекцією (повного) вектора прискорення на одиничний вектор дотичної тобто відповідний коефіцієнт розкладання по супутньому базису. І тут використовується не векторне позначення, а «скалярне» - як завжди для проекції чи координати вектора - .

Величину тангенціального прискорення - у сенсі проекції вектора прискорення на одиничний вектор векторної траєкторії - можна виразити так:

де - колійна швидкість вздовж траєкторії, що збігається з абсолютною величиною миттєвої швидкості в даний момент.

Якщо використовувати для одиничного дотичного вектора позначення , можна записати тангенціальне прискорення у векторному вигляді:

Висновок

Вираз для тангенціального прискорення можна знайти, продиференціювавши за часом вектор швидкості, представлений у вигляді одиничного вектора дотичної :

де перше доданок - тангенціальне прискорення, а друге - нормальне прискорення.

Тут використано позначення для одиничного вектора нормалі до траєкторії та - для поточної довжини траєкторії (); в останньому переході також використано очевидне

і, з геометричних міркувань,

Центрошвидке прискорення (нормальне)- частина повного прискорення точки, обумовленого кривизною траєкторії та швидкістю руху по ній матеріальної точки. Таке прискорення спрямоване до центру кривизни траєкторії, чим обумовлений термін. Формально і сутнісно термін доцентрове прискорення загалом збігається з терміном нормальне прискорення, відрізняючись скоріш лише стилістично (іноді історично).

Особливо часто про доцентрове прискорення говорять, коли йдеться про рівномірний рух по колу або при русі, більш-менш наближеному до цього окремого випадку.

Елементарна формула

де - нормальне (відцентрове) прискорення, - (миттєва) лінійна швидкість руху по траєкторії, - (миттєва) кутова швидкість цього руху щодо центру кривизни траєкторії, - радіус кривизни траєкторії в даній точці. (Связь між першою формулою та другою очевидна, враховуючи).

Вирази вище включають абсолютні величини. Їх легко записати у векторному вигляді, домноживши на одиничний вектор від центру кривизни траєкторії до даної її точки:

Ці формули однаково застосовні до випадку руху з постійною (за абсолютною величиною) швидкістю, і до довільного випадку. Однак у другому треба мати на увазі, що доцентрове прискорення не є повний вектор прискорення, а лише його складова, перпендикулярна траєкторії (або, що те ж, перпендикулярна вектору миттєвої швидкості); в повний вектор прискорення тоді входить ще й тангенціальна складова (тангенціальне прискорення) , за напрямом збігається з дотичної до траєкторії (або, що те ж, з миттєвою швидкістю).

Висновок

Те, що розкладання вектора прискорення на компоненти - одну вздовж дотичного до траєкторії вектора (тангенціальне прискорення) та іншу ортогональну йому (нормальне прискорення) - може бути зручним і корисним, досить очевидно саме собою. Це погіршується тим, що при русі з постійною за величиною швидкістю тангенціальна складова дорівнює нулю, тобто в цьому важливому окремому випадку залишається тільки нормальна складова. Крім того, як можна побачити нижче, кожна з цих складових має яскраво виражені власні властивості та структуру, і нормальне прискорення містить у структурі своєї формули досить важливе та нетривіальне геометричне наповнення. Не кажучи вже про важливий окремий випадок руху по колу (який, до того ж, практично без зміни може бути узагальнений і на загальний випадок).