Аксіоми кільця. Науковий форум dxdy

Визначення 2.5. Кільцемназивають алгебру

R = (R, +, ⋅, 0 , 1 ),

сигнатура якої складається з двох бінарних та двох нульарних операцій, причому для будь-яких a, b, c ∈ R виконуються рівності:

  1. a+(b+c) = (a+b)+c;
  2. a+b = b+a;
  3. а + 0 = a;
  4. для кожного а ∈ R існує елемент а", такий, що a+a" = 0
  5. а-(b-с) = (а-b)-с;
  6. а ⋅ 1 = 1 ⋅ а = а;
  7. а⋅(b + с) = а⋅b + а⋅с, (b + с) ⋅ а = b⋅ а + с⋅а.

Операцію + називають додаванням кільця , операцію множенням кільця , елемент 0 - нулем кільця , елемент 1 - одиницею кільця .

Рівності 1-7, зазначені у визначенні, називають аксіомами кільця . Розглянемо ці рівності з погляду поняття групиі моноїда.

Аксіоми кільця 1-4 означають, що алгебра (R, +, 0 ), сигнатура якої складається тільки з операцій складання кільця + та нуля кільця 0 , є абелевою групою. Цю групу називають адитивною групою кільця R і кажуть також, що за додаванням кільце є комутативна (абелева) група.

Аксіоми кільця 5 і 6 показують, що алгебра (R, ⋅, 1), сигнатура якої включає тільки множення кільця ⋅ та одиницю кільця 1, є моноід. Цей моноїд називають мультиплікативним моноїдом кільця R і кажуть, що з множення кільце є моноід.

Зв'язок між додаванням кільця і ​​множенням кільця встановлює аксіома 7, згідно з якою операція множення дистрибутивна щодо операції додавання.

Враховуючи сказане вище, відзначимо, що кільце - це алгебра з двома бінарними та двома нульарними операціями R =(R, +, ⋅, 0 , 1 ), така, що:

  1. алгебра (R, +, 0 ) - Комутативна група;
  2. алгебра (R, ⋅, 1 ) - моноід;
  3. операція ⋅ (множення кільця) дистрибутивна щодо операції + (складання кільця).

Зауваження 2.2.У літературі зустрічається інший склад аксіом кільця, які належать до множення. Так, можуть бути відсутніми аксіома 6 (у кільці немає 1 ) та аксіома 5 (множення не асоціативно). У цьому випадку виділяють асоціативні кільця (до аксіом кільця додають вимогу асоціативності множення) і кільця з одиницею. В останньому випадку додаються-додаються вимоги асоціативності множення та існування одиниці.

Визначення 2.6.Кільце називають комутативним якщо його операція множення коммутативна.

Приклад 2.12. а.Алгебра (ℤ, +, ⋅, 0, 1) є комутативне кільце. Зазначимо, що алгебра (ℕ 0 , +, ⋅, 0, 1) кільцем не буде, оскільки (ℕ 0 , +) - комутативний моноід, але не група.

б.Розглянемо алгебру ℤ k = ((0,1,..., k - 1), ⊕ k , ⨀ k , 0,1) (к>1) з операцією ⊕ k додавання по модулю л і ⨀ k (множення по модулю л). Остання аналогічна операції додавання за модулем л: m ⨀ k n дорівнює залишку від поділу на k числа m ⋅ n. Ця алгебра є комутативне кільце, яке називають кільцем відрахувань за модулем k.

в.Алгебра (2 A , Δ, ∩, ∅, А) - комутативне кільце, що випливає з властивостей перетину та симетричної різниці множин.

м.Приклад некоммутативного кільця дає безліч квадратних матриць фіксованого порядку з операціями складання і множення матриць. Одиницею цього кільця є одинична матриця, а нулем – нульова.

буд.Нехай L- Лінійний простір. Розглянемо безліч всіх лінійних операторів, які у цьому просторі.

Нагадаємо, що сумоюдвох лінійних операторів Аі Уназивають оператор А+В, такий, що ( А + У) х = Ах +Вх, х∈ L.

Добутком лінійних операторів Аі Уназивають ліній-лінійний оператор АВ, такий, що ( АВ)х = А(Вх) для будь-якого х ∈ L.

Використовуючи властивості зазначених операцій над лінійними операторами, можна показати, що багато всіх лінійних операторів, що діють у просторі L, разом з операціями додавання та множення операторів утворює кільце. Нулем цього кільця служить нульовий оператор, а одиницею - тотожний оператор.

Це кільце називають кільцем лінійних операторів у лінійному просторі L. #

Аксіоми кільця називають також основними тотожностями кільця . Тотожність кільця - це рівність, лівість якого зберігається при підстановці замість фігурують у ньому змінних будь-яких елементів кільця. Основні тотожності постулюються, і їх потім можна вивести- виведені як наслідки інші тотожності. Розглянемо деякі з них.

Нагадаємо, що адитивна група кільця коммутативна і в ній визначено операцію віднімання.

Теорема 2.8.У будь-якому кільці виконуються такі тотожності:

  1. 0 ⋅ а = a ⋅ 0 = 0 ;
  2. (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
  3. (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀Доведемо тотожність 0 ⋅ а = 0 . Запишемо для довільного а:

a+ 0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = ( 1 +0 ) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

Отже, а + 0 ⋅ а = а. Остання рівність можна розглядати як рівняння в адитивній групі кільця щодо невідомого елемента 0 ⋅ а. Оскільки в адитивної групі будь-яке рівняння виду а + х = b має єдине рішення х=b - а, то 0 ⋅ а = а - а = 0 . Тотожність а⋅ 0 = 0 доводиться аналогічно.

Доведемо тепер тотожність - (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). Маємо

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0 ,

звідки а ⋅ (-b) = -(а ⋅ b). Так само можна довести, що (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b).

Доведемо третю пару тотожностей. Розглянемо перший із них. З урахуванням доведеного вище маємо

а ⋅ (b - с) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) = a ⋅ b - a ⋅ c,

тобто. тотожність справедлива. Друга тотожність цієї пари доводиться аналогічно.

Наслідок 2.1. У будь-якому кільці справедлива тотожність ( -1 ) ⋅ х = x ⋅ ( -1 ) = -x.

◀Вказане слідство випливає з другої тотожності теореми 2.8 при a = 1 та b = x.

Перші два тотожності з доведених у теоремі 2.8 виражають властивість, звану анулюючою властивістю нуля у кільці. Третя пара тотожень зазначеної теореми виражає властивість дистрибутивності операції множення кільця щодо операції віднімання. Таким чином, роблячи обчислення в будь-якому кільці, можна розкривати дужки і змінювати знаки так само, як і при додаванні, відніманні та множенні дійсних чисел.

Ненульові елементи а і b кільця Rназивають дільниками нуля якщо а ⋅ b = 0 або b ⋅ а = 0 . Приклад кільця з дільником нуля дає будь-яке кільце відрахувань по модулю k, якщо k – складове число. У цьому випадку добуток по модулю k будь-який тип, що дають при звичайному перемноженні число, кратне k, дорівнюватиме нулю. Наприклад, у кільці відрахувань за модулем 6 елементи 2 і 3 є дільниками нуля, оскільки 2 ⨀ 6 3 = 0. Інший приклад дає кільце квадратних матриць фіксованого порядку (не менше двох). Наприклад, для матриць другого порядку маємо

При відмінних від нуля а та b наведені матриці є дільниками нуля.

За множенням кільце є лише моноідом. Поставимо питання: у яких випадках кільце з множення буде групою? Насамперед зауважимо, що безліч всіх елементів кільця, в якому 0 ≠ 1 , неспроможна утворювати групи по множенню, оскільки нуль може мати зворотного. Справді, якщо припустити, що такий елемент 0" існує, то, з одного боку, 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 1 , а з іншого - 0 ⋅ 0" = 0" ⋅ 0 = 0 , Звідки 0 = 1. Це суперечить умові 0 ≠ 1 . Таким чином, поставлене вище питання можна уточнити так: у яких випадках множина всіх ненульових елементів кільця утворює групу з множення?

Якщо в кільці є дільники нуля, то підмножина всіх ненульових елементів кільця не утворює групи з множення вже хоча б тому, що це підмножина замкнено щодо операції множення, тобто. існують ненульові елементи, добуток яких дорівнює нулю.

Кільце, в якому множина всіх ненульових елементів за множенням утворює групу, називають тілом , комутативне тіло - полем , а групу ненульових елементів тіла (поля) з множення - мультиплікативною групою цього тіла (поля). Згідно з визначенням, поле є окремий випадок кільця, в якому операції мають додаткові властивості. Випишемо всі властивості, виконання яких потрібне для операцій поля. Їх ще називають аксіомами поля .

Поле є алгебра F = (F, +, ⋅, 0, 1), сигнатура якої складається з двох бінарних та двох нульарних операцій, причому справедливі тотожності:

  1. a+(b+c) = (a+b)+c;
  2. a+b = b+a;
  3. a+0 = a;
  4. для кожного а ∈ F існує елемент -а такий, що a+ (-a) = 0;
  5. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
  6. a ⋅ b = b ⋅ a
  7. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
  8. для кожного а ∈ F, відмінного від 0, існує елемент а -1 такий, що а ⋅ а -1 = 1;
  9. a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

Приклад 2.13. а.Алгебра (ℚ, +, ⋅, 0, 1) є поле, зване полем раціональних чисел .

б. Алгебри (ℝ , +, ⋅, 0, 1) та (ℂ, +, ⋅, 0, 1) є поля, звані полями дійсних та комплексних чисел відповідно.

в. Прикладом тіла, що не є полем, може бути алгебра кватерніонів . #

Отже, бачимо, що відомим законам складання і множення чисел відповідають аксіоми поля. Займаючись числовими розрахунками, ми „працюємо в полях”, а саме маємо справу переважно з полями раціональних та речових чисел, іноді „переселяємось” у поле комплексних чисел.

Поняття кільця, найпростіші властивості кілець.

Алгебра ( K, +, ∙) називається кільцем, якщо виконуються такі аксіоми:

1. (K, +) - Комутативна група;

2.
a (b+c) = ab+ac (b+c)a = ba+ca;

3. a (bc) = (ab) c.

Якщо операція множення у кільці комутативна, то кільце називається комутативним.

приклад.Алгебри (Z, +, ∙), ( Q, +, ∙), (R, + ,∙) є кільцями.

Кільце має такі властивості: має місце

1) a + b = a => b = 0;

2) a+ b = 0 => b = - a;

3) – (- a) = a;

4) 0∙a = a∙0 = 0 (0 – нуль кільця);

5) (-a)∙b = a∙(-b) = -a∙b;

6) (a – b)∙c = a∙c – b∙c, де a- b = a + (-b).

Доведемо властивість 6. ( a – b)∙c = (a + (-b))∙c = a∙c+ (-b)∙c = a∙c +(-b∙c)= =a∙c – b∙c.

Нехай ( K A Kназивається підкільцем кільця ( K,+,∙), якщо воно є кільцем щодо операцій у кільці ( K, +, ∙).

Теорема.Нехай ( K, +, ∙) – кільце. Непорожня підмножина A K, є підкільцем кільця Дотоді і лише тоді, коли
a- b, a∙b
.

приклад.Кільце (Q, +, ∙) є підкільцем кільця ( А, +, ∙), де A = ={a+ b | a, b Q).

Концепція поля. Найпростіші властивості полів.

Визначення.Комутативне кільце ( Р, +, ∙) з одиницею, де нуль кільця не збігається з одиницею кільця, називається полем, якщо
a≠0 існує йому зворотний елемент а -1 , а∙ а -1 = е, е- Одиниця кільця.

Усі властивості кілець справедливі для полів. Для поля ( Р,+,∙) справедливі також такі властивості:

1)
a≠0 рівняння ах =bмає рішення і до того ж єдине;

2) ab = e |=> a≠0 b =а -1 ;

3)

c≠0 ac = bc => a=b;

4)ab = 0
a = 0 b = 0;

5) ad = bc (b≠0, d≠0);

6)
;

.

приклад.Алгебри (Q, +, ∙), ( А, +, ∙), де А = {a+b | a, b Q), ( R, +, ∙) – поля.

Нехай ( Р,+,∙) – поле. Непорожня підмножина F P, що є полем щодо операції у полі ( Р,+,∙) називається підполем поля Р.

приклад.Поле (Q,+,∙) є підполем поля дійсних чисел (R,+,∙).

Завдання для самостійного вирішення

1. Покажіть, що множина щодо операції множення є абелевою групою.

2. На множині Q\(0) визначено операцію аb =
. Доведіть, що алгебра (Q(0),) є групою.

3. На безлічі Z задана бінарна операція алгебри, визначена за правилом, аb = а+b – 2. З'ясуйте, чи є алгебра (Z,) групою.

4. На безлічі А = {(a, b)
) визначено операцію ( а,b) (c, d) = (ac– bd, ad+ bc). Доведіть, що алгебра ( А,) - Група.

5. Нехай Т- безліч всіх відображень
заданих правилом
, де а,bQ, a
Доведіть, що Тє групою щодо композиції відображень.

6. Нехай А={1,2,…,n). Взаємнооднозначне відображення f:
називається підстановкою n- ой ступеня. Підстановку n- ой ступеня зручно записувати вигляді таблиці
, де Твір двох підстановок
безлічі Авизначається як композиція відображень. За визначенням

Довести, що багато всіх підстановок n- ой ступеня є групою щодо створення підстановок.

7. З'ясуйте, чи утворює кільце щодо додавання, множення:

a) N; b) безліч всіх непарних цілих чисел; c) безліч всіх парних цілих чисел; d) безліч чисел виду
де а,b

8. Чи є кільцем безліч До={а+b
) щодо операцій складання та множення.

9. Покажіть, що безліч А={a+b) щодо операцій складання та множення є кільце.

10. На безлічі Zвизначено дві операції: ab=a+b+1, ab= ab+ a+ b. Довести, що алгебра

11. На безлічі класів відрахувань за модулем mзадані дві бінарні операції: Довести, що алгебра
комутативне кільце з одиницею.

12 . Опишіть усі підкільця кільця
.

13. З'ясуйте, які з наступних множин дійсних чисел є полями щодо операцій складання та множення:

a) раціональні числаз непарними знаменниками;

b) числа виду
з раціональними а,b;

c) числа виду
з раціональними а, b;

d) числа виду
з раціональними a, b, c.

§5. Поле комплексних чисел. Операції над комплексними

числами в формі алгебри

Поле комплексних чисел.

Нехай задані дві алгебри ( А,+,∙), (Ā , , ◦). Відображення f: A в на) >Ā , що задовольняє умовам:
f(a+b) = f(a) f(b) f(a◦b) = f(a) ◦ f(b), називається гомоморфізмом алгебри ( А, +, ∙) в(на) алгебру ( Ā , , ◦).

Визначення.Гомоморфне відображення fалгебри ( А, +, ∙) на алгебру ( Ā , , ◦) називається ізоморфним відображенням, якщо відображення fбезлічі Ана Ā ін'єктивно. З погляду алгебри ізоморфні алгебри невиразні, тобто. мають однакові властивості.

Над полем Rрівняння виду x 2 +1 = 0 немає рішень. Побудуємо поле, яке містить підполе, ізоморфне поле (R,+,∙), і в якому рівняння виду x 2+1 = 0 має рішення.

На множині C = R× R = {(a, b) | a, b R) введемо операції складання та множення наступним чином: ( a, b) (c, d) = (a+ c, b+ d), (a, b) ◦ (c, d) = (ac-bd, ad+bc). Неважко довести, що алгебра (C, ,◦) комутативне кільце з одиницею. Пара (0,0) – нуль кільця, (1,0) – одиниця кільця. Покажемо, що кільце ( З, ,◦) – поле. Нехай ( a, b) C, ( a, b) ≠ (0,0) та ( x,y) C така пара чисел, що ( a, b)◦(x, y) = (1,0). (a, b)◦(x, y) = (1,0) (ax– by, ay+ bx) = (1,0)

(1)

З (1) =>
,
(a, b) -1 =
. Отже (С, +, ∙) – поле. Розглянемо безліч R 0 = {(a,0) | a R). Так як ( a,0) (b,0) = (a- b,0)R 0 , (a,0)◦(b,0) = (ab,0) R 0 ,
(a,0) ≠ (0,0) (a,0) -1 = (,0) R 0 , то алгебра ( R 0, ,◦) – поле.

Побудуємо відображення f: R
R 0 , визначена умовою f(a)=(a,0). Так як f - Бієктивне відображення та f(a+ b)= (a+ b,0) = =(a,0)(b,0) = f(a)f(b), f(a∙b) = (a∙ b,0) = (a,0)◦(b,0) =f(a)◦f(b), то f- Ізоморфне відображення. Отже, ( R , +,∙)
(R 0, ,◦). (R 0, ,◦) – поле дійсних чисел.

Покажемо, що рівняння виду х 2 +1 = 0 у полі (C, , ◦) має рішення. ( х,у) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - y 2 +1, 2xy) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) – рішення системи (2).

Побудоване поле (C , ,◦) називається полем комплексних чисел, яке елементи комплексними числами.

Алгебраїчна форма комплексного числа. Операції над комплексними числами в формі алгебри.

Нехай (С, +, ∙) поле комплексних чисел,
C,
=(a, b). Так як ( R 0 ,+, ∙) (R, +, ∙), то будь-яку пару ( a,0) ототожнити з дійсним числом a. Позначимо через ί = (0,1). Так як ί 2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, то ί називається уявною одиницею. Представимо комплексне число
=(a,b) у вигляді: =( a,b)=(a,0) +(b,0) ◦(0,1)=a+b∙ί. Подання комплексного числа у вигляді = а + bί називається алгебраїчною формою запису числа. aназивається дійсною частиною комплексного числа і позначається Re, b- уявна частина комплексного числа і позначається Im.

Додавання комплексних чисел:

α = а+bί, β = з+dί , α +β = (а,b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) = a+ c+ (b+ d)ί.

Розмноження комплексних чисел:

α∙β = (a, b)(c, d) = (a∙ c– b∙ d, a∙ d+ b∙ c) = a∙ c - b∙ d + (a∙ d + b∙ c)ί.

Щоб знайти добуток комплексних чисел а+bί і з+dί потрібно помножити а+bίна з+dί як двочлен на двочлен, враховуючи, що ί 2 = -1.

Приватним від поділу на β , β ≠ 0 називається таке комплексне число γ, що = γ∙ β .

= γ∙ β => γ = ∙ β -1. Так як
, то = ∙β -1 = =(a, b)∙
Таким чином

Цю формулу можна одержати, якщо чисельник і знаменник дробу помножити комплексне число, пов'язане знаменнику, тобто. на

с –dί.

приклад.Знайти суму, твір, приватний комплексних чисел

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

Рішення. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. Вилучення кореняn-ого ступеня з комплексного числа в тригонометричній формі

Тригонометрична форма комплексного числа.

На площині прямокутної системи координат комплексне число

z = a + bίзображатимемо точкою А(а,b) або радіусом вектором
.

Зобразимо комплексне число z = 2 – 3ί .

Визначення.Число
називається модулем комплексного числа z = a + bίта позначається | z |.

Кут, утворений між позитивним напрямом осі хі радіусом вектором, що зображує комплексне число z= a+ bί, називається аргументом числа zі позначається Argz.

Argzвизначено з точністю до доданок 2π k, .

Аргумент комплексного числа z, що відповідає умові 0≤< 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа zі позначається arg z.

З OAA 1 => a=
cos , b= sin
. Подання комплексного числа z= a+ bίу вигляді z= r(cos + ί sin) називається тригонометричною формою запису числа z (r=). Щоб записати комплексне число z = a + bίу тригонометричній формі, необхідно знати | z| і Arg z, які визначаються з формул
, cos =
sin =

Нехай z 1 = r 1 (cos φ 1 + ί sin φ 1), z 2 = r 2 (cos φ 2 + ί sin φ 2). Тоді z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(cos φ 1∙cos φ 2 – sin φ 1∙ sin φ 2)+i]= r 1∙ r 2 [(cos (φ 1+ φ 2) + i sin ( φ 1+ φ 2)]. Звідси випливає, що | z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg - Arg .

Вилучення кореняn- ой ступеня з комплексного числа в тригонометричній формі.

Нехай zC, nN. n - ой ступенем комплексного числа z називається твір
позначається воно z n. Нехай m=- n. За визначенням припустимо, що
z≠0, z 0 = 1, z m = . Якщо z =r(cos φ + ί sin φ ) , то z n =

= r n(cos nφ + ί sin nφ). При r = 1 маємо z n = cos nφ + ί sin nφ - Формула Муавра. Формула Муавра має місце
.

Коренем n zназивається таке комплексне число ω , що ω n = z. Справедливе твердження.

Теорема.Існує nрізних значень кореня nступеня з комплексного числа z = r(cos φ + ί sin φ ). Всі вони виходять з формули при k = 0, 1, … , n-1. У цій формулі
- Арифметичний корінь.

Позначимо через, ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 – значення кореня n-ого ступеня з z, які виходять за k = 0, 1, ... , n-1. Оскільки | ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

arg ω 0 = , ω 1 = arg ω 0 +
, … , arg ω n -1 = arg ω n - 2 + , то комплексні числа ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 на площині зображуються точками кола з рівним радіусом
і ділять це коло на nрівних частин.

Анотація: У цій лекції розглядаються поняття кілець. Наведено основні визначення та властивості елементів кільця, розглянуто асоціативні кільця. Розглянуто низку характерних завдань, доведено основні теореми, а також наведено завдання для самостійного розгляду

Кільця

Безліч R з двома бінарними операціями (додаванням + і множенням) називається асоціативним кільцем з одиницею, якщо:

Якщо операція множення коммутативна, то кільце називається комутативнимкільцем. Комутативні кільця є одним із головних об'єктів вивчення в комутативної алгебри та алгебраїчної геометрії.

Зауваження 1.10.1.

Приклади 1.10.2 (приклади асоціативних кілець).

Ми вже переконалися, що група відрахувань (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, за модулем n з операцією додавання є комутативною групою (див. приклад 1.9.4, 2)).

Визначимо операцію множення, вважаючи . Перевіримо коректність цієї операції. Якщо C k = C k ", C l = C l", то k "= k + nu, l" = l + nv,, і тому C k "l" = C kl.

Так як (C k C l) C m = C (kl) m = C k (lm) = C k (C l C m), C k C l = C kl = C lk = C l C k, C 1 C k = C k = C k C 1 , (C k + C l)є асоціативним комутативним кільцем з одиницею C 1 кільцем відрахувань по модулю n ).

Властивості кілець (R,+,.)

Лемма 1.10.3 (біном Ньютона). Нехай R - кільце з 1 , , . Тоді:

Доведення.

Визначення 1.10.4. Підмножина S кільця R називається підкільцем, якщо:

а) S - підгрупа щодо складання групи (R,+) ;

б)для маємо;

в) для кільця R з 1 передбачається, що .

Приклади 1.10.5 (приклади підколець).

Завдання 1.10.6. Описати всі підкільця у кільці відрахувань Z n за модулем n .

Зауваження 1.10.7. У кільці Z 10 елементи, кратні 5 , утворюють кільце з 1 , що не є підкільцем Z 10 (у цих кілець різні одиничні елементи).

Визначення 1.10.8. Якщо R - кільце, і , , ab=0 , то елемент a називається лівим дільником нуля R , елемент b називається правим дільником нуля R .

Зауваження 1.10.9. У комутативних кільцях, природно, немає відмінностей між лівими та правими дільниками нуля.

Приклад 1.10.10. У Z, Q, R немає дільників нуля.

Приклад 1.10.11. Кільце безперервних функцій C має дільники нуля. Справді, якщо


то , fg = 0 .

Приклад 1.10.12. Якщо n = kl , 1

Лемма 1.10.13. Якщо кільці R немає (лівих) дільників нуля, то з ab=ac , де , , слід, що b=c (т. е. можливість скорочувати на ненульовий елемент ліворуч, якщо немає лівих дільників нуля; справа, якщо немає правих дільників нуля).

Доведення. Якщо ab = ac, то a (b-c) = 0. Так як a не є лівим дільником нуля, то b-c = 0, тобто b = c.

Визначення 1.10.14. Елемент називається нільпотентнимякщо x n =0 для деякого . Найменше таке натуральне число n називається ступенем нільпотентності елемента .

Ясно, що нільпотентний елемент є дільником нуля (якщо n>1 , то , ). Зворотне твердження неправильне (у Z 6 немає нільпотентних елементів, проте 2 , 3 , 4 - ненульові дільники нуля).

Вправа 1.10.15. Кільце Z n містить нільпотентні елементи тоді і тільки тоді, коли n ділиться на m 2 де , .

Визначення 1.10.16. Елемент x кільця R називається ідемопотентомякщо x 2 = x . Ясно, що 02 = 0, 12 = 1 . Якщо x 2 =x і , то x(x-1)=x 2 -x=0 , і тому нетривіальні ідепотенти є дільниками нуля.

Через U(R) позначимо безліч оборотних елементів асоціативного кільця R, тобто тих, для яких існує зворотний елемент s = r -1 (тобто rr -1 = 1 = r -1 r).

ВИЗНАЧЕННЯ І ПРИКЛАДИ ГРУПИ.

Опр1.Нехай G не порожня безліч елементів довільної природи. G називається групою

1) На множині G задана бао°.

2) бао° асоціативна.

3) Існує нейтральний елемент nG.

4) Для будь-якого елемента G симетричний йому елемент завжди існує і належить також G.

приклад.Безліч Z – чисел із операцією +.

Опр2.Група називається абельовийякщо вона комутативна щодо заданої бао°.

Приклади груп:

1) Z, R, Q "+" (Z +)

Найпростіші властивості груп

У групі існує єдиний нейтральний елемент

У групі кожного елемента існує єдиний симетричний йому елемент

Нехай G – група з бао°, тоді рівняння виду:

a°x=b і x°a=b (1) - можна розв'язати і мають єдине рішення.

Доведення. Розглянемо рівняння (1) щодо x. Очевидно, що для $! а". Оскільки операція ° - асоціативна, то очевидно x = b ° a" - єдине рішення.

34. ПАРНІСТЬ ПІДСТАНОВКИ*

Визначення 1. Підстановка називається парної, якщо вона розкладається на твір парного числа транспозицій, і непарна інакше.

Пропозиція 1.Підстановка

Є парною<=>- парна перестановка. Отже, кількість парних підстановок

із n чисел дорівнює n!\2.

Пропозиція 2. Підстановки f та f - 1 мають один характер парності.

> Досить перевірити, що й - твір транспозицій, то<

Приклад:

ПІДГРУПА. КРИТЕРІЙ ПІДГРУПИ.

Опр.Нехай G - група c бао ° і не пусте підмножина HÌG, тоді H називають підгрупою групи G, якщо H - підгрупа щодо бао ° (тобто ° - бао на Н. І Н з цією операцією група).

Теорема (критерій підгрупи).Нехай G - група щодо операції °, ƹHÎG. H є підгрупою<=>"h 1 , h 2 ÎH виконується умова h 1 °h 2 " ÎH (де h 2 " - симетричний елемент до h 2).

Док-во. =>:Нехай H - підгрупа (потрібно довести, що h 1 °h 2 "ÎH). 2).

<=: (Треба довести, що H - підгрупа).



Якщо H¹Æ , то там є хоча б один елемент. Візьмемо hÎH, n=h°h"ÎH, тобто. нейтральний елемент nÎH. Як h 1 беремо n, а як h 2 візьмемо h тоді h"ÎH Þ " hÎH симетричний елемент до h також належить H.

Доведемо, що композиція будь-яких елементів Н належить М.

Візьмемо h 1 , а як h 2 візьмемо h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.

приклад. G=S n , n>2, α - деякий елемент із Х=(1,…,n). Як H візьмемо не порожню множину H = S α n =(f S n ,f(α)=α), при дії відображення з S α n α залишається на місці. Перевіряємо за критерієм. Візьмемо будь-які h 1 ,h 2 ÎH. Добуток h 1 . h 2 "H, тобто H - підгрупа, яка називається стаціонарною підгрупою елемента α.

КІЛЬЦЕ, ПОЛЕ. ПРИКЛАДИ.

Опр.Нехай Донепорожня безліч з двома операціями алгебри: додаванням і множенням. Доназивається кільцем, якщо виконуються такі умови:

1) До - абелевагрупа (коммутативна щодо заданої бао °) щодо додавання;

2) множення асоціативно;

3) множення дистрибутивне щодо складання ().

Якщо множення комутативно, то Доназивають комутативним кільцем. Якщо щодо множення є нейтральний елемент, то Доназивають кільцем з одиницею.

приклади.

1) Множина Z цілих чисел утворює кільце щодо звичайних операцій складання та множення. Це кільце комутативно, асоціативно і має одиницю.

2) Безліч Q раціональних чисел і R дійсних чисел є полями

щодо звичайних операцій складання та множення чисел.

Найпростіші властивості кілець.

1. Оскільки Доабелева група щодо складання, то на Допереносяться найпростіші властивості груп.

2. Множення дистрибутивно щодо різниці: a(b-c)=ab-ac.

Доведення. Т.к. ab-ac+ac=ab і a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, a(b-c)=ab-ac.

3. У кільці може бути дільники нуля, тобто. ab = 0, але звідси не випливає, що a = 0 b = 0.

Наприклад, в кільці матриць розміру 2'2, існують елементи не рівні нулю такі, що їх добуток буде нуль: де - відіграє роль нульового елемента.

4. a · 0 = 0 · а = 0.

Доведення. Нехай 0 = b-b. Тоді a(b-b)=ab-ab=0. Аналогічно 0 · а = 0.

5. a(-b)=(-a)·b=-ab.

Доказ: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Якщо у кільці Доіснує одиниця і воно складається більш ніж з одного елемента, то одиниця не дорівнює нулю, де 1 нейтральний елемент при множенні; 0 ─ нейтральний елемент під час додавання.

7. Нехай Докільце з одиницею, тоді безліч оборотних елементів кільця утворюють групу щодо множення, яку називають мультиплікативною групою кільця Kі позначають K*.

Опр.Комутативне кільце з одиницею, що містить не менше двох елементів, в якому будь-який відмінний від нуля елемент звернемо, називається полем.

Найпростіші властивості поля

1. Т.к. поле - кільце, всі властивості кілець переносяться і на полі.

2. У полі немає дільників нуля, тобто. якщо ab = 0, то a = 0 або b = 0.

Доведення.

Якщо a 0, то $ a -1. Розглянемо a -1 (ab) = (a -1 a) b = 0, а якщо a 0, то b = 0, аналогічно якщо b 0

3. Рівняння виду a x = b, a 0, b - будь-яке, в полі має єдине рішення x = a -1 b, або х = b / a.

Вирішення цього рівняння називається приватним.

приклади. 1) PÌC, P - числове поле. 2) P = (0; 1);

Непорожня безліч До,на якому задані дві бінарні операції-складання (+) та множення ( ), що задовольняють умовам:

1) щодо операції складання До- Комутативна трупа;

2) щодо операції множення До- Напівгрупа;

3) операції складання та множення пов'язані законом дистрибутивності, тобто . (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cbдля всіх а, b, c K, називається кільцем (К,+, ).

Структура (До,+) називається адитивною групоюкільця. Якщо операція множення коммутативна, тобто. ab = ba.для всіх а, b, то кільце називається комутативним.

Якщо щодо операції множення існує одиничний елемент, який у кільці прийнято позначати одиницею 1,. то кажуть, що Доє кільце з одиницею.

Підмножина L кільця називається підкільцем,якщо L- підгрупа адитивної групи кільця та Lзамкнуто щодо операції множення, тобто для всіх a, b L виконується а+b Lі ab L.

Перетин підколець буде підкільцем. Тоді, як і у випадку груп, підкільцем, породженимбезліччю S K,називається перетин всіх підколець До,містять S.

1. Безліч цілих чисел щодо операцій множення та додавання (Z, +, )-комутативне кільце. Безліч nZцілих чисел, що діляться на п,буде підкільцем без одиниці при п>1.

Аналогічно безліч раціональних та дійсних чисел – комутативні кільця з одиницею.

2. Безліч квадратних матриць порядку пвідносно-операцій складання та множення матриць є кільце з одиницею Е- Поодинокою матрицею. При п>1воно некомутативне.

3. Нехай K-довільне комутативне кільце. Розглянемо всілякі багаточлени

зі змінною хта коефіцієнтами а 0, а 1, а 2,..., а n,з До.Щодо алгебраїчних операцій складання та множення багаточленів-це комутативне кільце. Воно називається кільцем багаточленів Квід змінної хнад кільцем До(Наприклад, над кільцем цілих, раціональних, дійсних чисел). Аналогічно визначається кільце багаточленів Kвід тзмінних як кільце багаточленів від однієї змінної х тнад кільцем K.



4. Нехай X- довільна множина, До-довільне кільце. Розглянемо безліч усіх функцій f: Х К,визначених на безлічі Xзі значеннями в ДоВизначимо суму та добуток функцій, як завжди, рівностями

(f + g) (x) = f (x) + g (x); (fg) (x) = f (x) g (x),

де + і - операції у кільці До.

Неважко перевірити, що всі умови, що входять у визначення кільця, виконуються, і побудоване кільце буде комутативним, якщо комутативно вихідне кільце K. Воно називається кільцем функційна безлічі Xзі значеннями в кільці До.

Багато властивостей кілець - це переформульовані відповідні властивості груп і напівгруп, наприклад: a m a n = a m + n, (а т) п = а тпдля всіх m, nі всіх a.

Інші специфічні властивості кілець моделюють властивості чисел:

1) для всіх a a 0 = 0 a = 0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab);

3) - a=(-1)a.

Дійсно:

2) 0=a(аналогічно (-a)b=-(ab));

3) використовуючи другу властивість, маємо- a=(-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Поле

У кільцях цілих, раціональних та дійсних чисел з того, що твір ab=0,слід, що або а=0, або b=0. Але в кільці квадратних матриць порядку n>1 це властивість не виконується, оскільки, наприклад, = .

Якщо у кільці До ab=0при а 0, b, то аназивається лівим, а b -правим дільником нуля.Якщо в Донемає дільників нуля (крім елемента 0, який є тривіальним дільником нуля), то Kназивається кільцем без дільників нуля.

1. У кільці функції f: R R на безлічі дійсних чисел R розглянемо функції f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x.Для них f 1 (x)=0 при xі f 2(x)=0 при x, а тому твір f 1 (x) f 2 (x)- нульова функція, хоча f 1 (x)і f 2(x).Отже, у цьому кільці є дільники нуля.

2. Розглянемо безліч пар цілих чисел ( а, b),в якому задані операції складання та множення:

(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);

(a 1, b 1) (a 2, b 2) = (a 1 a 2, b 1 b 2).

Ця множина утворює комутативне кільце з одиницею (1,1) і дільниками нуля, оскільки (1,0)(0,1)=(0,0).

Якщо кільці немає дільників нуля, то ньому виконується закон скорочення, тобто. ab = ac, а = с.Справді, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Нехай До- Кільце, з одиницею. Елемент аназивається оборотним,якщо існує такий елемент а -1 ,для котрого aa -1 =a -1 a=1.

Оборотний елемент може бути дільником нуля, оскільки. якщо ab=0 , то a -1 (ab) = 0 (a -1 a) b = 0 1b = 0 b = 0(аналогічно ba=0 ).

Теорема. Всі оборотні елементи кільця з одиницею утворюють групу щодо множення.

Справді, множення у Доасоціативно, одиниця міститься в безлічі оборотних елементів і твір не виводить з множини оборотних елементів, оскільки якщо аі bоборотні, то
(аb) -1 = b -1 a -1.

Важливу структуру алгебри утворюють комутативні кільця До,в яких кожен ненульовий елемент звернемо, тобто щодо операції множення безліч K\(0) утворює групу. У таких кільцях визначено три операції: додавання, множення та поділ.

Комутативне кільце Рз одиницею 1 0, у якому кожен ненульовий елемент звернемо, називається полем.

Щодо множення всі відмінні від нуля елементи поля утворюють групу, яка називається мультиплікативною групоюполя.

твір аb -1записується у вигляді дробу і має сенс лише за b 0. Елемент є єдиним рішенням рівняння bx=a.Дії з дробами підкоряються звичним нам правилам:

Доведемо, наприклад, друге з них. Нехай х=і у=- вирішення рівнянь bx = a, dy = c.З цих рівнянь випливає dbx = da, bdy = bc bd (x + y) = da + bc t =- єдине рішення рівняння bdt = da + bc.

1. Кільце цілих чисел не утворює поля. Полем є безліч раціональних та безліч дійсних чисел.

8.7. Завдання для самостійної роботи за розділом 8

8.1. Визначити, чи є операція знаходження скалярного твору векторів n-вимірного евклідового простору комутативної та асоціативної. Обґрунтувати відповідь.

8.2. Визначити, чи є безліч квадратних матриць порядку n щодо операції множення матриць, групою або моноідом.

8.3. Вказати, які з таких множин утворюють групу щодо операції множення:

а) безліч цілих чисел;

б) безліч раціональних чисел;

в) безліч дійсних чисел, відмінних від нуля.

8.4. Визначити, які з наступних структур утворює безліч квадратних матриць порядку n з визначником, що дорівнює одиниці: щодо звичайних операцій складання та множення матриць:

а) групу;

б) кільце;

8.5. Вказати, яку структуру утворює безліч цілих чисел щодо операції множення та додавання:

а) некомутативне кільце;

б) комутативне кільце;

8.6. Яку з наведених нижче структур утворює безліч матриць виду з дійсними a і b щодо звичайних операцій складання та множення матриць:

а) кільце;

8.7. Яке число потрібно виключити з безлічі дійсних чисел, щоб числа, що залишилися, утворювали групу щодо звичайної операції множення:

8.8. З'ясувати, яку з наступних структур утворює безліч, що складається з двох елементів a та e, з бінарною операцією, визначеною таким чином:

ee = e, ea = a, ae = a, aa = e.

а) групу;

б) абелеву групу.

8.9. Чи є кільцем парні числа щодо звичайних операцій складання та множення? Обґрунтувати відповідь.

8.10. Чи є кільцем сукупність чисел виду a+b , де a і b – будь-які раціональні числа щодо операцій складання та множення? Відповідь обґрунтувати.