Головна→З чим носити→Гомоморфізми та ізоморфізми кілець. Кільце ізоморфне кільцю, поле ізоморфне полю Якщо : u  V і : V  w – два гомоморфізми груп або кілець, то їх композиція  ○ : u  w буде гомоморфізмом груп чи кілець

Гомоморфізми та ізоморфізми кілець. Кільце ізоморфне кільцю, поле ізоморфне полю Якщо : u  V і : V  w – два гомоморфізми груп або кілець, то їх композиція  ○ : u  w буде гомоморфізмом груп чи кілець

Визначення 1.7.Нехай ( A, ) і ( B, ) – групи. Відображення  : A  B називається гомоморфізмом груп, якщо зберігає операцію, тобто.  x, y  A  (x  y) =  (x) (y).

Визначення 1.8.Якщо (A, + ,  ) і ( B, , ) – кільця, то відображення  : A  B називається гомоморфізмом кілець, якщо зберігає обидві операції, тобто.

 x,yA (x + y) =  (x)  (y), x, y A (x y) =  (x)   (y).

Визначення 1.9.Ін'єктивні гомоморфізми називають мономорфізмамиабо вкладеннями, сюр'єктивні гомоморфізми – епіморфізмамиабо накладеннями, а бієктивні – ізоморфізмами.

Визначення 1.10.Якщо існує гомоморфізм груп чи кілець  : А B, то групи або кільця А, Уназивають ізоморфними.

Сенс ізоморфізму полягає в тому, що він встановлює таку відповідність між елементами ізоморфних об'єктів, яке показує, що з точки зору алгебраїчних операцій, що зберігаються, ізоморфні об'єкти невиразні.

Приклади: 1.Тотожний ізоморфізм I: A  A , x  A I (x) = x. (A – група чи кільце).

2. Одиничнийабо нульовий епіморфізм: якщо E = {e} – одноелементний об'єкт (одинична група або нульове кільце), то для будь-якої групи ( A, ) або кільця визначено епіморфізм : A  E,  x  A Про (x) = e.

3. Природні вкладення груп та кілець: Z Q  R  C.

Властивості гомоморфізмів

Якщо  : (A,  )  (B,  ) – гомоморфізм груп, то

1 0 .  (e A) = e B , тобто.  переводить одиничний елемент на одиничний.

2 0 .  a  A  (a – 1) =  (a) – 1 , тобто.  переводить зворотний елемент до ау зворотний до  ( а).

3 0 . У разі гомоморфізму кілець  : (A, + ,  )  (B,  ,  ) отримуємо  (0 А) = 0 У ,  (– a) = –  (a).

4 0 . Для гомоморфізму кілець  : (A, +, )  (B, , ) вірно:

 x, y  A  (x – y) =  (x) –  (y).

5 0 . Гомоморфізм полів  : (A, + ,  )  (B,  ,  ) або нульовий, або вкладення.

60. Якщо  : u  V та : V  w – два гомоморфізми груп або кілець, то їх композиція  ○  : u  w буде гомоморфізмом груп чи кілець.

70. Якщо  : V  w – ізоморфізм груп або кілець, то зворотне відображення  –1: w  V також є ізоморфізмом груп чи кілець. Поняття та ідея ізоморфізму в сучасній математиці

Ізоморфізм (або ізоморфність) – одне з основних понять сучасної математики. Два однотипних математичних об'єкта (чи структури) називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення однієї з них іншою, таке, що і зворотне щодо нього зберігають будову об'єктів, тобто. елементи, які перебувають у певному відношенні, перетворюються на елементи, що у відповідному відношенні.

Ізоморфні об'єкти можуть мати різну природу елементів і відносин між ними, але вони абсолютно однаково абстрактно влаштовані, є копіями один одного. Ізоморфізм є «абстрактна рівність» однотипних об'єктів. Наприклад, адитивна група класів відрахувань за модулем n ізоморфна мультиплікативної групи комплексних коренів. n-ой ступеня з 1.

Ставлення ізоморфності будь-якому класі однотипних математичних об'єктів, будучи ставленням еквівалентності, розбиває вихідний клас об'єктів на класи ізоморфності – класи попарно ізоморфних об'єктів. Вибираючи у кожному класі ізоморфності по одному об'єкту, ми отримуємо повний абстрактний огляд класу математичних об'єктів. Ідея ізоморфізму полягає у поданні або описі об'єктів даного класу з точністю до ізоморфізму.

Для кожного даного класу об'єктів існує проблема ізоморфізму. Чи ізоморфні два довільні об'єкти з даного класу? Як це з'ясовується? Для підтвердження ізоморфності двох об'єктів, як правило, будується конкретний ізоморфізм між ними. Або встановлюється, що обидва об'єкти ізоморфні деякому третьому об'єкту. Для перевірки неізоморфності двох об'єктів достатньо вказати абстрактну властивість, якою володіє один з об'єктів, але не має іншої.

МЕТОДИКА 11.Ю.М.Колягін розрізняє два види позакласної роботи з математики.

p align="justify"> Робота з учнями відстають від інших у вивченні програмного матеріалу, тобто. додаткові заняття з математики.

Робота з учнями виявляють інтерес до математики.

Але можна назвати ще й третій вид роботи.

Робота з учнями щодо розвитку інтересу у вивченні математики.

Існують такі форми позакласної роботи:

Математичний гурток.

факультатив.

Олімпіади, конкурси, вікторини.

Математичні олімпіади.

Математичні обговорення.

Тиждень математики.

Шкільний та класний математичний друк.

Виготовлення математичних моделей.

Математичні екскурсії.

Зазначені форми часто перетинаються і тому важко провести між ними різкі межі. Більше того, елементи багатьох форм можуть бути використані при організації роботи за якоюсь однією з них. Наприклад, під час проведення математичного вечора можна використовувати змагання, конкурси, доповіді тощо.

Етапи організації.

Підготовчий

Організаційний

порушити інтерес до позаурочних занять;

залучити до участі у масових заходах та окремих змаганнях;

Дидактичний

допомогти у подоланні труднощів;

підтримувати інтерес до додаткових занять;

бажання займатися математичною самоосвітою

Основний

створити базу для кожного учня для подальших особистих успіхів;

допомогти учням усвідомити соціальну, практичну та особистісну значущість позакласних занять;

формувати позитивну мотивацію участі у позакласних заходах

Заключний

провести діагностику та рефлексію, що проводяться позакласними заняттями;

підбити підсумки та заохотити учнів, які взяли активну участь

Те, що поняття ізоморфізму дійсно виражає однаковість всіх властивостей множин, що розглядаються, можна формулювати у вигляді наступного положення:

Якщо множини Mі M"ізоморфні щодо деякої системи відносин S, то будь-яка властивість множини M, формульоване у термінах відносин системи S(і, отже, і відносин, що визначаються через відносини системи S), переноситься на безліч M", і назад.

Розберемо це становище на конкретному прикладі.

Нехай у множинах Mі M"визначено відношення "більше", і вони ізоморфні щодо цього; тоді, якщо Mвпорядковано, тобто якщо в Mвиконані властивості 1) і 2) з розділу , то вони виконані і в M".

Доведемо властивість 1). Нехай a"і b"- Елементи M"і aі b- Відповідні елементи M. В силу умови 1) Mвиконано одне із співвідношень a = b, a > b, b > a. Відображення Mна M"зберігає відношення "більше". Значить, виконано одне із співвідношень a" = b", a" > b", b" > a". Якби в M"виконувалося більше одного з них, то зі збереження відносин "більше" при відображенні M"на Mслід було б виконання більш одного відношення для aі b, що суперечить умові 1).

Доведемо властивість 2). Якщо a" > b"і b" > c", то також a > bі b > c. Справді, в Mповинно бути a > c. Значить, a" > c".

Займемося тепер ізоморфізмом груп кілець та полів. Зважаючи на те, що тут відносини a + b = cі ab = cзадовольняють додаткові вимоги, що для будь-яких aі bіснує одне і лише одне c, для котрого a + b = cабо ab = c(ці дві вимоги є по суті двома додатковими аксіомами), причому ці вимоги передбачаються виконаними як M, так і в M"визначення ізоморфізму груп кілець і полів можна спростити в порівнянні з визначенням, а саме вимагати збереження основних відносин лише при переході від Mдо M". Обмежуючись нагодою кілець і полів, необхідним надалі щодо числових областей (випадок груп відрізняється від розглянутого лише тим, що є одна операція замість двох), отримуємо таким чином:

Кільце (або поле) Rназивається ізоморфним кільцем(відповідно полю) R"(запис ), якщо існує взаємно однозначне відображення Rна R", при якому сумі та добутку будь-яких елементів Rвідповідають сума та добуток відповідних елементів R".

Покажемо, що це визначення є окремим випадком загального визначення . Для цього треба лише переконатися, що зворотне відображення R"на Rтакож зберігає суму та твір. Нехай у R"маємо: a" + b" = c", та елементам a", b", c"при зворотному відображенні відповідають a, b, cз R. Потрібно довести, що a + b = c. Але якщо a + b = d ≠ c, то з визначення, даного в попередньому абзаці, слід було б a" + b" = d" ≠ c", що суперечить однозначності операції складання R"

Розглянемо дуже коротко питання про гомоморфізм кілець і полів.

Нехай R 1 = (R 1 , +, ⋅, 0, 1 ) та R 2 = (R 2 , +, ⋅, 0, 1 ) - кільця.

Визначення 2.9.Відображення f: R 1 → R 2 називають гомоморфізмом кілець(кільця R 1 у кільце R 1), якщо f(x + y) = f(x) + f(у), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) для будь-яких x, у ∈ R 1 тобто. образ суми та добутку будь-яких двох елементів кільця R 1 при відображенні f дорівнює відповідно сумі та добутку їх образів у кільці R 2 .

Якщо відображення f сюр'єктивно (відповідно бієктивно), то його називають епіморфізмом (відповідно ізоморфізмом ) кілець (кільця R 1 на кільце R 2)

Приклад 2.25.Розглянемо R 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) - кільце цілих чисел - і ℤ k = (ℤ k , ⊕ k , ⨀ k , 0, 1) - кільце відрахувань за модулем k. Задамо відображення f: ℤ → ℤ k так: для будь-якого цілого т образ f(m) дорівнює залишку від поділу m на k. Раніше ми вже довели (див. приклад 2.21), що для будь-яких цілих m і n має місце рівність f(m + n) = f(m) ⊕ k f(n). Розмірковуючи аналогічно, можна показати, що для будь-яких цілих тип також вірна рівність f(m ⋅ n) = f(m) ⨀ k f(n). З урахуванням того, що відображення f сюр'єктивно, приходимо до висновку, що воно є гомоморфізмом кільця цілих чисел на кільце ℤ k відрахувань по модулю k. #

Без доказу сформулюємо деякі теореми про гомоморфізми та ізоморфізми кілець (і полів). Всі ці твердження можуть бути доведені за аналогією з відповідними теоремами про гомоморфізми та ізоморфізми груп.

Теорема 2.20.Нехай R 1 і R 2 - довільні кільця. Якщо f: R 1 → R 2 - гомоморфізм, то

образ нуля кільця R 1 при відображенні f є нуль кільця R 2, тобто. f( 0 ) = 0 ;
образ одиниці кільця R 1 при відображенні f є одиниця кільця R 2, тобто. f( 1 ) = 1 ;
для будь-якого елемента х кільця R 1 образ елемента, протилежного елементу x, дорівнює елементу, протилежному образу елемента x, тобто. f(-x) = -f(x);
якщо кільця R 1 і R 1 є полями, то для будь-якого елемента х кільця R 1 образ елемента, зворотного до елемента х за множенням, дорівнює елементу, зворотному образу елемента x, тобто. f(x -1) = -1

Теорема 2.21. Якщо f - гомоморфізм кільця R у кільце K , a g - гомоморфізм кільця K у кільце L , то композиція відображень f॰g є гомоморфізм кільця R у кільце L .

Теорема 2.22.Якщо f: R 1 → R 2 - ізоморфізм кільця R 1 на кільце R 2 то відображення f -1 є ізоморфізм кільця R 2 на кільце R 1 . #

Як і у разі груп, визначаються поняття гомоморфного образу кільця та ізоморфних кілець. А саме кільце До називають гомоморфним чином кільця R якщо існує гомоморфізм кільця R на кільце K . Два кільця R і K називають ізоморфними та пишуть R ≅ K якщо існує ізоморфізм одного з них на інший.

Так, наприклад, кільце відрахувань по модулю є гомоморфний образ кільця цілих чисел при гомоморфізмі, що задається відображенням, яке кожному цілому т зіставляє залишок від розподілу m на k.

Розглянемо один цікавий приклад ізоморфізму полів.

Приклад 2.26. Як і в прикладі 2.22, поставимо у відповідність комплексному числу а + bi матрицю f(a + bi) = . Отримаємо відображення f , яке, як було доведено, є ін'єкцією, причому а(0) = а(0 + 0 ⋅ i) = 0, де 0 - нульова матриця. Зауважимо, що оскільки визначник матриці зазначеного виду дорівнює а 2 + b 2 серед всіх таких матриць тільки нульова буде мати нульовий визначник.

Далі, легко перевірити, що безліч таких матриць замкнута щодо операцій складання та множення ма- матриць, містить (як уже було відзначено) нульову та одиничну матриці, а також разом з кожною матрицею А матрицю -А і разом з кожною ненульовою матрицею зворотну до неї матрицю. Це означає, що безліч матриць виду , a, b, ∝ ℝ з операціями складання і множення матриць утворює поле. Позначимо його М (a, b) 2 .

З прикладу 2.22 слід, що мультиплікативна група поля комплексних чисел ізоморфна мультиплікативної групи поля М (a,b) 2 . Так як

f[(a+bi) + (c+di)] = f((a+c) + (b+d)i] =

F(a+bi) + f(c+di),

то й адитивна група поля комплексних чисел ізоморфна адитивної групи поля М (a,b) 2 . Отже, ми отримуємо, що поле комплексних чисел ізоморфне полю матриць М (a,b) 2 . Цей ізоморфізм є основою матричного подання алгебри комплексних чисел, що має значення для комп'ютерних реалізацій цієї алгебри.

Визначення 37. Непорожня підмножина Нполя Р, Що містить не менше двох елементів, називається підполемполя Р,якщо Нє полем щодо тих самих операцій, що й поле Р.

Теорема 10(Критерій підполя).

Нехай Р –поле, Н≠ Æ, ∣ Н∣≥2 , Н Í Р. Нє підполем поля Ртоді і лише тоді, коли виконуються умови:

1) для будь-яких h 1, h 2∈H: h 1 – h 2∈H;

2) для будь-яких h 1 , h 2∈H: h 1 h 2∈H;

3) для будь-якого h∈H# ∃ h -1∈H#.

Доведення.Необхідність. Нехай Н- підпілля поля Р. Тоді, за визначенням 37, Н– поле. Отже, Н- Адитивна абелева група. Значить, Нзамкнуто щодо операції складання та для будь-якого h∈H ∃-h∈H, тобто виконується умова 1). Крім того, H# - мультиплікативна абелева група. Отже, виконуються умови 2) та 3).

Достатність. Нехай виконуються умови 1), 2) та 3). Покажемо, що Н- підпілля поля Р. Досить показати, що Н– поле. З умови 1) випливає, що Н– підгрупа адитивної абелевої групи Р. Отже Н- Адитивна абелева група. З умов 2) та 3) маємо, Н# – підгрупа мультиплікативної групи P#. Тому Н# – мультиплікативна абелева група. Крім того, оскільки НÍ Рі в Рвиконуються дистрибутивні закони, то Нтакож виконуються дистрибутивні закони. Таким чином, Н- поле, а, отже, Н- підпілля поля Р.

Теорему доведено.

Визначення 38.Взаємнооднозначне відображення φ поля Рна поле Рназивається ізоморфним відображеннямабо ізоморфізмом, якщо виконуються 2 умови:

1) для будь-яких a, b∈Р φ(a+b)=φ (a)+φ (b);

2) для будь-яких a, b∈Р φ(a⋅b)=φ (a)⋅φ (b).

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Елементи теорії множин Поняття множини. Підмножина. Операції над множинами

У шкільному курсі математики розглядалися операції над числами При цьому були встановлені ряд властивостей цих операцій.. Поряд з операціями над числами в шкільному курсі також розглядалися і.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Діаграми Ейлера-Венна
Як в повсякденному житті, і наукових дослідженнях часто доводиться розглядати сукупності речей, системи об'єктів тощо. При цьому завжди вважають, що розглядається деякий

Властивості операцій над множинами
Згідно з визначенням 1, множини А і В рівні в тому і лише тому випадку, коли А⊆В і В⊆А. Теорема 1. Нехай

Прямий (декартовий) твір множин
Визначення 11. Прямим (декартовим) твором множин A і B називається безліч, що позначається AB (читається

Бінарні відносини між множинами
Визначення 14. Бінарним ставленням називається безліч упорядкованих пар. У математиці під час розгляду зв'язку між об'єктами використовують термін «ставлення». прикладів

Фактормножина
Визначення 27. Бінарне відношення R на множині А називається ставленням еквівалентності, якщо воно рефлексивно, симетрично, транзитивно на множині А. Опр

Впорядковане безліч
Визначення 30. Бінарне відношення R на множині А називається ставленням порядку, якщо воно є антисиметричним і транзитивним на А. Визначення 31. Бі

Функція як бінарне відношення
Визначення 41. Бінарне відношення f між множинами A і B називається функціональним відношенням, якщо з (a,b)

Теорема про асоціативність виконання функцій
Визначення 50. Нехай f: XY, g: YZ – функції. Твором

Оборотне відображення
Визначення 52. Відображення називається тотожним (або одиничним), якщо

Критерій оборотності функції
Теорема 5. Нехай – функція. Функція f оборотна f - бієк

Метод математичної індукції
На будь-яке натуральне число можна дивитися з двох точок зору. Наприклад, 3-три (кількість), 3-третій (порядок). У курсі алгебри вивчають порядкову теорію натуральних чисел. На безлічі ℕ ст

Властивості бінарних операцій
Визначення 1. Бінарною операцією алгебри на непорожній безлічі М називається закон або правило, за яким будь-яким двом елементам безлічі М

Напівгрупа зі скороченням
Визначення 10. Непорожня множина М із заданою на ньому бінарною операцією алгебри «∗» називається групоїдом. Позначається . За

Найпростіші властивості груп
Визначення 14. Непорожня множина G, замкнена щодо бінарної операції алгебри «∗» називається групою, якщо виконуються наступні аксіоми (аксіоми групи):

Підгрупа. Критерій підгрупи
Визначення 20. Непорожнє підмножина Н групи G називається підгрупою групи G, якщо Н є групою щодо тієї ж операції, що і група G і про

Гомоморфізми та ізоморфізми груп
Теорема 8. Нехай (Hi | i∈I) - деяка сукупність підгруп групи G. Тоді A = I

Найпростіші властивості кілець
Визначення 27. Непорожнє безліч K з певними на ньому бінарними операціями алгебри додавання і множення називається кільцем, якщо виконуються наступні аксіоми (ак

Гомоморфізми та ізоморфізми кілець
Визначення 34. Непорожнє підмножина H кільця K називається підкільцем кільця K, якщо H є кільцем щодо тих самих операцій, що і кільце K

Найпростіші властивості полів
Визначення 36. Безліч Р, що містить не менше двох елементів, замкнене щодо операцій «+» та «⋅», називається полем, якщо виконуються умови: 1) Р

Поля комплексних чисел
У полі ℝ рівняння виду x2+1=0 немає рішень. Тому виникає необхідність побудувати поле, яке було б

Комплексного числа
Нехай z=(a, b)∈ℂ, причому (x, 0)=x для будь-якого x∈ℝ. Отримаємо для комплексного числа z = (a, b) іншу форму

Комплексного числа
Нехай z = a + bi - комплексне число, a, b∈ℝ. Зобразимо число z точки площини М(a, b).

У тригонометричній формі
Теорема 4. При множенні комплексних чисел у тригонометричній формі їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. Доведення. Нехай z1

Формула Муавра
Додавання, віднімання, множення та поділ комплексних чисел зручно проводити в алгебраїчній формі. Однак, зведення в ступінь та витяг кореня ступеня n≥3

Формула Муавра
Визначення 11. Нехай n∈ℕ. Коренем n-го ступеняз комплексного числа z називається комплексне число z1 таке, що z1

Первінне коріння
По теоремі 7, корінь n-го ступеня з одиниці має рівно n значень. Оскільки 1=1⋅(cos 0+isin 0), то,

Кільце багаточленів від однієї змінної
Зі шкільного курсу математики та з курсу математичного аналізу відомо, що багаточлен є ціла раціональна функція виду f(x)=a0+a1x+a2

Властивості ступеня багаточлена
Визначення 19. Нехай K - асоціативно-комутативне кільце з одиницею, (

Над областю цілісності
Теорема 13. Якщо K – область цілісності, то K[х] – область цілісності. Доведення. Нехай K – область цілісності. Покажемо, що

Теорема Безу. Коріння багаточлена
Визначення 20. Нехай K – асоціативно-комутативне кільце з одиницею. Говорять, що багаточлен ділиться на багаточлен

Метод послідовного виключення невідомих
(Метод Гаусса). Розглянемо один з основних методів розв'язання систем лінійних рівнянь, який називається методом послідовного виключення невідомих, або інакше

І їхні основні властивості
1. Додавання матриць. Визначення 16. Нехай A = (aij), B = (bij) - матриці розміру m×n над полем Р. Сумою

Матричні рівняння
Визначення 22. Матриця n-го порядку виду називається одиничною матрицею. Примітка 9. Якщо А –

Теорема про парність перестановки
Визначення 27. Нехай М = (1,2, ..., n). Перестановкою на безлічі М або перестановкою n-го ступеня називається безліч М із заданим розташуванням його ел

Визначники другого та третього порядків
Нехай А = - матриця n-го порядку над полем Р. З елементів матриці А будемо складати всілякі вироби

Зв'язок додатків алгебри з мінорами
Нехай Δ = = . Визначення 31. Якщо у визначнику Δ згр

Визначник твору матриць
Теорема 9. Нехай А і У – матриці n-го порядку над полем P. Тоді |AB|=|A|∙|B|, тобто. визначник твору матриць дорівнює твору визначників

Формула для обчислення зворотної матриці
Теорема 10. Нехай A = - матриця n-го порядку над полем P. Якщо визначник

Формули Крамера
Теорема 11. Нехай (1) - система n лінійних рівнянь із n невідомими над полем P, А=

Визначення 34.Непорожня підмножина Hкільця Kназивається підкільцемкільця K, якщо Hє кільцем щодо тих самих операцій, що і кільце K.

Теорема 9(Критерій підкільця).

Нехай K- Кільце, H -непорожня підмножина K. Hє підкільцем кільця Kтоді і лише тоді, коли виконуються умови:

1) для будь-яких h 1, h 2∈H (h 1 -h 2)∈H;

2) для будь-яких h 1, h 2∈H h 1 ⋅h 2∈H.

Доведення.Необхідність. Нехай H -підкільце кільця K.Тоді Н– кільце щодо тих самих операцій, що й K.Значить, Нзамкнуто щодо операцій складання та множення, тобто умова 2) виконується. Крім того, для будь-яких h 1, h 2∈H∃ -h 2∈Hі h 1+(-h 2)=h 1 -h 2∈H.

Достатність. Нехай виконуються умови 1) та 2). Доведемо, що Н -підкільце кільця K.В силу визначення 34, достатньо перевірити, що Н -кільце.

Оскільки виконується умова 1), то, за теоремою 7", Нє підгрупою адитивної групи K. Крім того, так як операція додавання коммутативна на K, то в Ноперація "+" також комутативна. Отже, Н- Адитивна абелева група.

Далі, в Kвиконуються дистрибутивні закони та Н⊆K. Значить, у Нтакож виконуються дистрибутивні закони. Тим самим ми показали, що Н- Кільце, а, отже, Н- підкільце кільця K.

Теорему доведено.

Визначення 35.Відображення φ кільця Kу кільце Kназивається гомоморфним відображеннямабо гомоморфізмом, якщо виконуються 2 умови:

1) для будь-яких a, b∈K φ(a+b)=φ (a)+φ (b);

2) для будь-яких a, b∈K φ(a⋅b)=φ (a)⋅φ (b).

Зауваження 10.Визначення мономорфізму, епіморфізму, ізоморфізму, ендоморфізму, автоморфізму кілець формулюється аналогічно відповідним визначенням груп.

Зауваження 11.Ставлення ізоморфізму на безлічі всіх кілець є ставленням еквівалентності, яке розбиває цю множину на класи, що не перетинаються, - класи еквівалентності. В один клас увійдуть ті й тільки ті обручки, які ізоморфні між собою. Ізоморфні кільця мають ті самі властивості. Тому з точки зору алгебри вони невиразні.

8. Поле.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Елементи теорії множин Поняття множини. Підмножина. Операції над множинами

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Діаграми Ейлера-Венна
Як у повсякденному житті, і наукових дослідженнях часто доводиться розглядати сукупності речей, системи об'єктів тощо. При цьому завжди вважають, що розглядається деякий

Теорема про асоціативність виконання функцій
Визначення 50. Нехай f: XY, g: YZ – функції. Твором

Оборотне відображення
Визначення 52. Відображення називається тотожним (або одиничним), якщо

Критерій оборотності функції
Теорема 5. Нехай – функція. Функція f оборотна f - бієк

Гомоморфізми та ізоморфізми груп
Теорема 8. Нехай (Hi | i∈I) - деяка сукупність підгруп групи G. Тоді A = I

Ізоморфізм полів
Визначення 37. Непорожнє підмножина Н поля Р, що містить не менше двох елементів, називається підполем поля Р, якщо Н є полем щодо т

Комплексного числа
Нехай z = a + bi - комплексне число, a, b∈ℝ. Зобразимо число z точки площини М(a, b).

Формула Муавра
Визначення 11. Нехай n∈ℕ. Коренем n-го ступеня з комплексного числа z називається комплексне число z1 таке, що z1

Первінне коріння
По теоремі 7, корінь n-го ступеня з одиниці має рівно n значень. Оскільки 1=1⋅(cos 0+isin 0), то,

Властивості ступеня багаточлена
Визначення 19. Нехай K - асоціативно-комутативне кільце з одиницею, (

Матриця східчастого вигляду
Визначення 10. Матрицею розміру m×n над полем Р називається прямокутна таблиця, що складається з n рядків та m стовпців, такого вигляду:

Матричні рівняння
Визначення 22. Матриця n-го порядку виду називається одиничною матрицею. Примітка 9. Якщо А –

Зв'язок додатків алгебри з мінорами
Нехай Δ = = . Визначення 31. Якщо у визначнику Δ згр

Формула для обчислення зворотної матриці
Теорема 10. Нехай A = - матриця n-го порядку над полем P. Якщо визначник

Формули Крамера
Теорема 11. Нехай (1) - система n лінійних рівнянь із n невідомими над полем P, А=