Кільце раціональних чисел є полем. Поняття кільця, найпростіші властивості кілець

Непорожня безліч До,на якому задані дві бінарні операції-складання (+) та множення ( ), що задовольняють умовам:

1) щодо операції складання До- Комутативна трупа;

2) щодо операції множення До- Напівгрупа;

3) операції складання та множення пов'язані законом дистрибутивності, тобто . (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cbдля всіх а, b, c K, називається кільцем (К,+, ).

Структура (До,+) називається адитивною групоюкільця. Якщо операція множення коммутативна, тобто. ab = ba.для всіх а, b, то кільце називається комутативним.

Якщо щодо операції множення існує одиничний елемент, який у кільці прийнято позначати одиницею 1,. то кажуть, що Доє кільце з одиницею.

Підмножина L кільця називається підкільцем,якщо L- підгрупа адитивної групи кільця та Lзамкнуто щодо операції множення, тобто для всіх a, b L виконується а+b Lі ab L.

Перетин підколець буде підкільцем. Тоді, як і у випадку груп, підкільцем, породженимбезліччю S K,називається перетин всіх підколець До,містять S.

1. Безліч цілих чисел щодо операцій множення та додавання (Z, +, )-комутативне кільце. Безліч nZцілих чисел, що діляться на п,буде підкільцем без одиниці при п>1.

Аналогічно безліч раціональних та дійсних чисел – комутативні кільця з одиницею.

2. Безліч квадратних матриць порядку пвідносно-операцій складання та множення матриць є кільце з одиницею Е- Поодинокою матрицею. При п>1воно некомутативне.

3. Нехай K-довільне комутативне кільце. Розглянемо всілякі багаточлени

зі змінною хта коефіцієнтами а 0, а 1, а 2,..., а n,з До.Щодо алгебраїчних операцій складання та множення багаточленів-це комутативне кільце. Воно називається кільцем багаточленів Квід змінної хнад кільцем До(Наприклад, над кільцем цілих, раціональних, дійсних чисел). Аналогічно визначається кільце багаточленів Kвід тзмінних як кільце багаточленів від однієї змінної х тнад кільцем K.

4. Нехай X- довільна множина, До-довільне кільце. Розглянемо безліч усіх функцій f: Х К,визначених на безлічі Xзі значеннями в ДоВизначимо суму та добуток функцій, як завжди, рівностями

(f + g) (x) = f (x) + g (x); (fg) (x) = f (x) g (x),

де + і - операції у кільці До.

Неважко перевірити, що всі умови, що входять у визначення кільця, виконуються, і побудоване кільце буде комутативним, якщо комутативно вихідне кільце K. Воно називається кільцем функційна безлічі Xзі значеннями в кільці До.

Багато властивостей кілець - це переформульовані відповідні властивості груп і напівгруп, наприклад: a m a n = a m + n, (а т) п = а тпдля всіх m, nі всіх a.

Інші специфічні властивості кілець моделюють властивості чисел:

1) для всіх a a 0 = 0 a = 0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab);

3) - a=(-1)a.

Дійсно:

2) 0=a(аналогічно (-a)b=-(ab));

3) використовуючи другу властивість, маємо- a=(-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Поле

У кільцях цілих, раціональних та дійсних чисел з того, що твір ab=0,слід, що або а=0, або b=0. Але в кільці квадратних матриць порядку n>1 це властивість не виконується, оскільки, наприклад, = .

Якщо у кільці До ab=0при а 0, b, то аназивається лівим, а b -правим дільником нуля.Якщо в Донемає дільників нуля (крім елемента 0, який є тривіальним дільником нуля), то Kназивається кільцем без дільників нуля.

1. У кільці функції f: R R на безлічі дійсних чисел R розглянемо функції f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x.Для них f 1 (x)=0 при xі f 2(x)=0 при x, а тому твір f 1 (x) f 2 (x)- нульова функція, хоча f 1 (x)і f 2(x).Отже, у цьому кільці є дільники нуля.

2. Розглянемо безліч пар цілих чисел ( а, b),в якому задані операції складання та множення:

(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);

(a 1, b 1) (a 2, b 2) = (a 1 a 2, b 1 b 2).

Ця множина утворює комутативне кільце з одиницею (1,1) і дільниками нуля, оскільки (1,0)(0,1)=(0,0).

Якщо кільці немає дільників нуля, то ньому виконується закон скорочення, тобто. ab = ac, а = с.Справді, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Нехай До- Кільце, з одиницею. Елемент аназивається оборотним,якщо існує такий елемент а -1 ,для котрого aa -1 =a -1 a=1.

Оборотний елемент може бути дільником нуля, оскільки. якщо ab=0 , то a -1 (ab) = 0 (a -1 a) b = 0 1b = 0 b = 0(аналогічно ba=0 ).

Теорема. Всі оборотні елементи кільця з одиницею утворюють групу щодо множення.

Справді, множення у Доасоціативно, одиниця міститься в множині оборотних елементів і твір не виводить з множини оборотних елементів, тому що якщо аі bоборотні, то
(аb) -1 = b -1 a -1.

Важливу структуру алгебри утворюють комутативні кільця До,в яких кожен ненульовий елемент звернемо, тобто щодо операції множення безліч K\(0) утворює групу. У таких кільцях визначено три операції: додавання, множення та поділ.

Комутативне кільце Рз одиницею 1 0, у якому кожен ненульовий елемент звернемо, називається полем.

Щодо множення всі відмінні від нуля елементи поля утворюють групу, яка називається мультиплікативною групоюполя.

твір аb -1записується у вигляді дробу і має сенс лише за b 0. Елемент є єдиним рішенням рівняння bx=a.Дії з дробами підкоряються звичним нам правилам:

Доведемо, наприклад, друге з них. Нехай х=і у=- вирішення рівнянь bx = a, dy = c.З цих рівнянь випливає dbx = da, bdy = bc bd (x + y) = da + bc t =- єдине рішення рівняння bdt = da + bc.

1. Кільце цілих чисел не утворює поля. Полем є безліч раціональних та безліч дійсних чисел.

8.7. Завдання для самостійної роботи за розділом 8

8.1. Визначити, чи є операція знаходження скалярного твору векторів n-вимірного евклідового простору комутативної та асоціативної. Обґрунтувати відповідь.

8.2. Визначити, чи є безліч квадратних матриць порядку n щодо операції множення матриць, групою або моноідом.

8.3. Вказати, які з таких множин утворюють групу щодо операції множення:

а) безліч цілих чисел;

б) безліч раціональних чисел;

в) безліч дійсних чисел, відмінних від нуля.

8.4. Визначити, які з наступних структур утворює безліч квадратних матриць порядку n з визначником, що дорівнює одиниці: щодо звичайних операцій складання та множення матриць:

а) групу;

б) кільце;

8.5. Вказати, яку структуру утворює безліч цілих чисел щодо операції множення та додавання:

а) некомутативне кільце;

б) комутативне кільце;

8.6. Яку з наведених нижче структур утворює безліч матриць виду з дійсними a і b щодо звичайних операцій складання та множення матриць:

а) кільце;

8.7. Яке число потрібно виключити з безлічі дійсних чисел, щоб числа, що залишилися, утворювали групу щодо звичайної операції множення:

8.8. З'ясувати, яку з наступних структур утворює безліч, що складається з двох елементів a та e, з бінарною операцією, визначеною таким чином:

ee = e, ea = a, ae = a, aa = e.

а) групу;

б) абелеву групу.

8.9. Чи є кільцем парні числа щодо звичайних операцій складання та множення? Обґрунтувати відповідь.

8.10. Чи є кільцем сукупність чисел виду a+b , де a і b – будь-які раціональні числа щодо операцій складання та множення? Відповідь обґрунтувати.

FSB4000писав(ла):

2. а) поділена абелева група не має максимальних підгруп

Думаю, чи вистачить уже повних рішень, так? Адже модератори закопають за те, що я Вам вже два завдання повністю розписав!!! Тому, щоб їх не злити, обмежимося ідеями.

Нижче ми скрізь вважаємо, що натуральний ряд починається з одиниці.

Припустіть, що --- група і --- максимальнапідгрупа в. Розгляньте

Доведіть, що --- підгрупа , що містить . В силу максимальності можливі лише два випадки: або .

Розгляньте кожен із випадків окремо і прийдіть до суперечності. У разі візьміть і доведіть, що

є власна підгрупа, що містить і не рівна. У разі зафіксуйте і , такі як і покажіть, що

є власною підгрупою , що містить і не збігається з .

Додано через 10 хвилин 17 секунд:

FSB4000писав(ла):

б) навести приклади ділених абелевих груп, чи можуть бути кінцевими?

Найпростіший приклад -- це . Ну чи, --- що Вам більше подобається.

Щодо кінцівки... звичайно ж група, що ділиться, не може бути кінцевою (за винятком тривіального випадку, коли група складається з одного нуля). Припустіть, що -- кінцева група. Доведіть, що для деяких і всіх . Потім візьміть таке і побачите, що рівняння нерозв'язне при ненульовому .

Додано через 9 хвилин 56 секунд:

FSB4000писав(ла):

4. Побудувати приклад комутативного та асоціативного кільця R()(), у якому немає максимальних ідеалів.

Візьміть абелеву групу. Покажіть, що вона поділена. Умноження задайте наступним чином:

Покажіть, що для виконується все, що треба.

Упс!.. А помилився ж я тут, схоже. Максимальний ідеал є, він дорівнює. Так, треба ще подумати... Але не буду зараз нічого думати, а поїду краще на роботу, в універ. Потрібно ж Вам хоч щось для самостійного рішення залишити!

Додано через 10 хвилин 29 секунд:

FSB4000писав(ла):

1.Довести, що довільне кільце з одиницею містить максимальний ідеал.

по решению: 1. По лемі Цорна виберемо мінімальний позитивний елемент, і буде породжувати ідеал.

Ну... не знаю, що Ви там за мінімальний позитивний елемент такий вигадали. На мою думку, це повна нісенітниця. Який Ви там у довільному кільці "позитивний елемент" знайдете, якщо в цьому кільці порядок не заданий і незрозуміло, що там "позитивне", а що "негативне"...

Але щодо того, що треба застосовувати лему Цорна - це правильна ідея. Тільки використовувати її треба до безлічі своїх ідеалів кільця. Берете це безліч, упорядковуєте його звичайним ставленням включення і показуєте, що це впорядкування індуктивно. Потім, по лемі Цорна, укладаєте, що у цій множині є максимальний елемент. Цей максимальний елемент буде максимальним ідеалом!

Коли показуватимете індуктивність, то як верхню грань для ланцюга власних ідеалів беріть їх об'єднання. Воно також буде ідеалом, а власним воно виявиться тому, що одиниця до нього не ввійде. І ось, до речі, в кільці без одиниці доказ через лему Цорна не проходить, а вся справа саме в цьому моменті

Додано через 34 хвилини 54 секунди:

Alexiiiписав(ла):

Будь-яке кільце за визначенням має одиницю, так що немислимо писати "кільце з одиницею". Будь-яке кільце саме собою ідеал кільця і ​​до того ж, очевидно, максимальний...

Нас вчили, що наявність одиниці визначення кільця не входить. Так що довільне кільце не повинно утримувати одиницю, а якщо вона в ньому все-таки є, то сказати про таке кільце, що воно є "кільцем з одиницею", більш ніж доречно!

Думаю, що порившись у бібліотеці, я знайду купу дуже солідних підручників з алгебри, які підтверджують мою думку. І на матенциклопедії написано, що кільце має одиницю мати. Так що все за умови завдання у автора теми правильно, нема чого на нього гнати!

Максимальним ідеалом кільця, за визначенням, називається ідеал, максимальний за включенням серед власних ідеалів. Про це не те що в багатьох, а просто в усіх підручниках з алгебри написано, в яких теорія кілець є. Так що щодо максимальності у Вас ще один гон зовсім не по темі!

Додано через 6 хвилин 5 секунд:

Alexiiiписав(ла):

Взагалі, як я зрозумів із ваших коментів, "кільця з одиницею" пишуть лише для того, щоб виключити одноелементний випадок.

Цілком неправильно зрозуміли! "Кільця з одиницею" пишуть для того, щоб позначити наявність одиниці в кільці

А кілець без одиниці повно. Наприклад, безліч парних цілих чисел зі звичайними додаванням і множенням утворюють таке кільце.

Поняття кільця, найпростіші властивості кілець.

Алгебра ( K, +, ∙) називається кільцем, якщо виконуються такі аксіоми:

1. (K, +) - Комутативна група;

2.
a (b+c) = ab+ac (b+c)a = ba+ca;

3. a (bc) = (ab) c.

Якщо операція множення у кільці комутативна, то кільце називається комутативним.

приклад.Алгебри (Z, +, ∙), ( Q, +, ∙), (R, + ,∙) є кільцями.

Кільце має такі властивості: має місце

1) a + b = a => b = 0;

2) a+ b = 0 => b = - a;

3) – (- a) = a;

4) 0∙a = a∙0 = 0 (0 – нуль кільця);

5) (-a)∙b = a∙(-b) = -a∙b;

6) (a – b)∙c = a∙c – b∙c, де a- b = a + (-b).

Доведемо властивість 6. ( a – b)∙c = (a + (-b))∙c = a∙c+ (-b)∙c = a∙c +(-b∙c)= =a∙c – b∙c.

Нехай ( K A Kназивається підкільцем кільця ( K,+,∙), якщо воно є кільцем щодо операцій у кільці ( K, +, ∙).

Теорема.Нехай ( K, +, ∙) – кільце. Непорожня підмножина A K, є підкільцем кільця Дотоді і лише тоді, коли
a- b, a∙b
.

приклад.Кільце (Q, +, ∙) є підкільцем кільця ( А, +, ∙), де A = ={a+ b | a, b Q).

Концепція поля. Найпростіші властивості полів.

Визначення.Комутативне кільце ( Р, +, ∙) з одиницею, де нуль кільця не збігається з одиницею кільця, називається полем, якщо
a≠0 існує йому зворотний елемент а -1 , а∙ а -1 = е, е- Одиниця кільця.

Усі властивості кілець справедливі для полів. Для поля ( Р,+,∙) справедливі також такі властивості:

1)
a≠0 рівняння ах =bмає рішення і до того ж єдине;

2) ab = e |=> a≠0 b =а -1 ;

3)

c≠0 ac = bc => a=b;

4)ab = 0
a = 0 b = 0;

5) ad = bc (b≠0, d≠0);

6)
;

.

приклад.Алгебри (Q, +, ∙), ( А, +, ∙), де А = {a+b | a, b Q), ( R, +, ∙) – поля.

Нехай ( Р,+,∙) – поле. Непорожня підмножина F P, що є полем щодо операції у полі ( Р,+,∙) називається підполем поля Р.

приклад.Поле (Q,+,∙) є підполем поля дійсних чисел (R,+,∙).

Завдання для самостійного вирішення

1. Покажіть, що множина щодо операції множення є абелевою групою.

2. На множині Q\(0) визначено операцію аb =
. Доведіть, що алгебра (Q(0),) є групою.

3. На безлічі Z задана бінарна операція алгебри, визначена за правилом, аb = а+b – 2. З'ясуйте, чи є алгебра (Z,) групою.

4. На безлічі А = {(a, b)
) визначено операцію ( а,b) (c, d) = (ac– bd, ad+ bc). Доведіть, що алгебра ( А,) - Група.

5. Нехай Т- безліч всіх відображень
заданих правилом
, де а,bQ, a
Доведіть, що Тє групою щодо композиції відображень.

6. Нехай А={1,2,…,n). Взаємнооднозначне відображення f:
називається підстановкою n- ой ступеня. Підстановку n- ой ступеня зручно записувати вигляді таблиці
, де Твір двох підстановок
безлічі Авизначається як композиція відображень. За визначенням

Довести, що багато всіх підстановок n- ой ступеня є групою щодо створення підстановок.

7. З'ясуйте, чи утворює кільце щодо додавання, множення:

a) N; b) безліч всіх непарних цілих чисел; c) безліч всіх парних цілих чисел; d) безліч чисел виду
де а,b

8. Чи є кільцем безліч До={а+b
) щодо операцій складання та множення.

9. Покажіть, що безліч А={a+b) щодо операцій складання та множення є кільце.

10. На безлічі Zвизначено дві операції: ab=a+b+1, ab= ab+ a+ b. Довести, що алгебра

11. На безлічі класів відрахувань за модулем mзадані дві бінарні операції: Довести, що алгебра
комутативне кільце з одиницею.

12 . Опишіть усі підкільця кільця
.

13. З'ясуйте, які з таких множин дійсних чисел є полями щодо операцій складання та множення:

a) раціональні числа з непарними знаменниками;

b) числа виду
з раціональними а,b;

c) числа виду
з раціональними а, b;

d) числа виду
з раціональними a, b, c.

§5. Поле комплексних чисел. Операції над комплексними

числами в формі алгебри

Поле комплексних чисел.

Нехай задані дві алгебри ( А,+,∙), (Ā , , ◦). Відображення f: A в на) >Ā , що задовольняє умовам:
f(a+b) = f(a) f(b) f(a◦b) = f(a) ◦ f(b), називається гомоморфізмом алгебри ( А, +, ∙) в(на) алгебру ( Ā , , ◦).

Визначення.Гомоморфне відображення fалгебри ( А, +, ∙) на алгебру ( Ā , , ◦) називається ізоморфним відображенням, якщо відображення fбезлічі Ана Ā ін'єктивно. З погляду алгебри ізоморфні алгебри невиразні, тобто. мають однакові властивості.

Над полем Rрівняння виду x 2 +1 = 0 немає рішень. Побудуємо поле, яке містить підполе, ізоморфне поле (R,+,∙), і в якому рівняння виду x 2+1 = 0 має рішення.

На множині C = R× R = {(a, b) | a, b R) введемо операції складання та множення наступним чином: ( a, b) (c, d) = (a+ c, b+ d), (a, b) ◦ (c, d) = (ac-bd, ad+bc). Неважко довести, що алгебра (C, ,◦) комутативне кільце з одиницею. Пара (0,0) – нуль кільця, (1,0) – одиниця кільця. Покажемо, що кільце ( З, ,◦) – поле. Нехай ( a, b) C, ( a, b) ≠ (0,0) та ( x,y) C така пара чисел, що ( a, b)◦(x, y) = (1,0). (a, b)◦(x, y) = (1,0) (ax– by, ay+ bx) = (1,0)

(1)

З (1) =>
,
(a, b) -1 =
. Отже (С, +, ∙) – поле. Розглянемо безліч R 0 = {(a,0) | a R). Так як ( a,0) (b,0) = (a- b,0)R 0 , (a,0)◦(b,0) = (ab,0) R 0 ,
(a,0) ≠ (0,0) (a,0) -1 = (,0) R 0 , то алгебра ( R 0, ,◦) – поле.

Побудуємо відображення f: R
R 0 , визначена умовою f(a)=(a,0). Так як f - Бієктивне відображення та f(a+ b)= (a+ b,0) = =(a,0)(b,0) = f(a)f(b), f(a∙b) = (a∙ b,0) = (a,0)◦(b,0) =f(a)◦f(b), то f- Ізоморфне відображення. Отже, ( R , +,∙)
(R 0, ,◦). (R 0, ,◦) – поле дійсних чисел.

Покажемо, що рівняння виду х 2 +1 = 0 у полі (C, , ◦) має рішення. ( х,у) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - y 2 +1, 2xy) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) – рішення системи (2).

Побудоване поле (C , ,◦) називається полем комплексних чисел, яке елементи комплексними числами.

Алгебраїчна форма комплексного числа. Операції над комплексними числами в формі алгебри.

Нехай (С, +, ∙) поле комплексних чисел,
C,
=(a, b). Так як ( R 0 ,+, ∙) (R, +, ∙), то будь-яку пару ( a,0) ототожнити з дійсним числом a. Позначимо через ί = (0,1). Так як ί 2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, то ί називається уявною одиницею. Представимо комплексне число
=(a,b) у вигляді: =( a,b)=(a,0) +(b,0) ◦(0,1)=a+b∙ί. Подання комплексного числа у вигляді = а + bί називається алгебраїчною формою запису числа. aназивається дійсною частиною комплексного числа і позначається Re, b- уявна частина комплексного числа і позначається Im.

Додавання комплексних чисел:

α = а+bί, β = з+dί , α +β = (а,b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) = a+ c+ (b+ d)ί.

Розмноження комплексних чисел:

α∙β = (a, b)(c, d) = (a∙ c– b∙ d, a∙ d+ b∙ c) = a∙ c - b∙ d + (a∙ d + b∙ c)ί.

Щоб знайти добуток комплексних чисел а+bί і з+dί потрібно помножити а+bίна з+dί як двочлен на двочлен, враховуючи, що ί 2 = -1.

Приватним від поділу на β , β ≠ 0 називається таке комплексне число γ, що = γ∙ β .

= γ∙ β => γ = ∙ β -1. Так як
, то = ∙β -1 = =(a, b)∙
Таким чином

Цю формулу можна одержати, якщо чисельник і знаменник дробу помножити комплексне число, пов'язане знаменнику, тобто. на

с –dί.

приклад.Знайти суму, твір, приватний комплексних чисел

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

Рішення. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. Вилучення кореняn-ого ступеня з комплексного числа в тригонометричній формі

Тригонометрична форма комплексного числа.

На площині прямокутної системи координат комплексне число

z = a + bίзображатимемо точкою А(а,b) або радіусом вектором
.

Зобразимо комплексне число z = 2 – 3ί .

Визначення.Число
називається модулем комплексного числа z = a + bίта позначається | z |.

Кут, утворений між позитивним напрямом осі хі радіусом вектором, що зображує комплексне число z= a+ bί, називається аргументом числа zі позначається Argz.

Argzвизначено з точністю до доданок 2π k, .

Аргумент комплексного числа z, що відповідає умові 0≤< 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа zі позначається arg z.

З OAA 1 => a=
cos , b= sin
. Подання комплексного числа z= a+ bίу вигляді z= r(cos + ί sin) називається тригонометричною формою запису числа z (r=). Щоб записати комплексне число z = a + bίу тригонометричній формі, необхідно знати | z| і Arg z, які визначаються з формул
, cos =
sin =

Нехай z 1 = r 1 (cos φ 1 + ί sin φ 1), z 2 = r 2 (cos φ 2 + ί sin φ 2). Тоді z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(cos φ 1∙cos φ 2 – sin φ 1∙ sin φ 2)+i]= r 1∙ r 2 [(cos (φ 1+ φ 2) + i sin ( φ 1+ φ 2)]. Звідси випливає, що | z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg - Arg .

Вилучення кореняn- ой ступеня з комплексного числа в тригонометричній формі.

Нехай zC, nN. n - ой ступенем комплексного числа z називається твір
позначається воно z n. Нехай m=- n. За визначенням припустимо, що
z≠0, z 0 = 1, z m = . Якщо z =r(cos φ + ί sin φ ) , то z n =

= r n(cos nφ + ί sin nφ). При r = 1 маємо z n = cos nφ + ί sin nφ - Формула Муавра. Формула Муавра має місце
.

Коренем n zназивається таке комплексне число ω , що ω n = z. Справедливе твердження.

Теорема.Існує nрізних значень кореня nступеня з комплексного числа z = r(cos φ + ί sin φ ). Всі вони виходять з формули при k = 0, 1, … , n-1. У цій формулі
- Арифметичний корінь.

Позначимо через, ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 – значення кореня n-ого ступеня з z, які виходять за k = 0, 1, ... , n-1. Оскільки | ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

arg ω 0 = , ω 1 = arg ω 0 +
, … , arg ω n -1 = arg ω n - 2 + , то комплексні числа ω 0 , ω 1 ,…, ω n-1 на площині зображуються точками кола з рівним радіусом
і ділять це коло на nрівних частин.

У різних розділах математики, а також у застосуванні математики в техніці, часто зустрічається ситуація, коли операції алгебри проводяться не над числами, а над об'єктами іншої природи. Наприклад додавання матриць, множення матриць, додавання векторів, операції над многочленами, операції над лінійними перетвореннями і т.д.

Визначення 1. Кільцем називається безліч математичних об'єктів, у якому визначено дві дії - "складання" і "множення", які зіставляють упорядкованим парам елементів їх "суму" і "твір", що є елементами тієї самої множини. Ці дії задовольняють наступним вимогам:

1.a+b=b+a(Комутативність складання).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(Асоціативність складання).

3. Існує нульовий елемент 0 такий, що a+0=a, за будь-якого a.

4. Для будь-кого aіснує протилежний елемент - aтакий, що a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(Ліва дистрибутивність).

5".c(a+b)=ca+cb(Права дистрибутивність).

Вимоги 2, 3, 4 означають, що безліч математичних об'єктів утворює групу, а разом з пунктом 1 ми маємо справу з комутативною (абельною) групою щодо складання.

Як очевидно з визначення, у загальному визначенні кільця на множення не накладається жодних обмежень, крім дистрибутивності зі складанням. Однак за різних ситуацій виникає необхідність розглядати кільця з додатковими вимогами.

6. (ab) c = a (bc)(Асоціативність множення).

7.ab=ba(Комутативність множення).

8. Існування одиничного елемента 1, тобто. такого a· 1 = 1 · a=aдля будь-якого елемента a.

9. Для будь-якого елемента елемента aіснує зворотний елемент a−1 такий, що aa −1 =a −1 a= 1.

У різних кільцях 6, 7, 8, 9 можуть виконуватися як окремо, так і в різних комбінаціях.

Кільце називається асоціативним, якщо виконується умова 6, комутативним, якщо виконано умову 7, комутативним і асоціативним якщо виконані умови 6 і 7. Кільце називається кільцем з одиницею, якщо виконано умову 8.

Приклади кілець:

1. Безліч квадратних матриць.

Справді. Виконання пунктів 1-5, 5" очевидна. Нульовим елементом є нульова матриця. Крім цього виконується пункт 6 (асоціативність множення), пункт 8 (поодиноким елементом є одинична матриця). Пункти 7 і 9 не виконуються тому що в загальному випадку множення квадратних матриць некомутативна, а також не завжди існує зворотне до квадратної матриці.

2. Безліч всіх комплексних чисел.

3. Безліч всіх дійсних чисел.

4. Безліч всіх раціональних чисел.

5. Безліч всіх цілих чисел.

Визначення 2. Будь-яка система чисел, що містить суму, різницю та добуток будь-яких двох своїх чисел, називається числовим кільцем.

Приклади 2-5 є числовими кільцями. Числовими кільцями є також всі парні числа, а також усі цілі числа, що діляться без залишку, на деяке натуральне число n. Зазначимо, що безліч непарних чисел перестав бути кільцем т.к. сума двох непарних чисел є парним числом.

Нехай (K, +, ·) - Кільце. Так як (K, +) - абелева група, враховуючи властивості груп отримаємо

СВ-ВО 1 . У кожному кільці (K,+, ·) є єдиний нульовий елемент 0 й у всякого a ∈ K є єдиний протилежний йому елемент −a.

СВ-ВО 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

СВ-ВО 3. Для будь-яких a, b ∈ K у кільці K існує єдина різниця a − b, причому a − b = a + (−b). Таким чином, в кільці K визначено операцію віднімання, при цьому вона має властивості 1'-8'.

СВ-ВО 4 . Операція множення K дистрибутивна щодо операції віднімання, тобто. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).

Док-во. Нехай a, b, c ∈ K. Враховуючи дистрибутивність операції в K щодо операції + та визначення різниці елементів кільця, отримаємо (a − b)c + bc = ((a − b) + b)c = ac, звідки за визначенням різниці слід, що (a − b)c = ac − bc.

Аналогічно доводиться правий закон дистрибутивності операції множення щодо операції віднімання.

СВ-В 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

Доведення. Нехай a ∈ K та b-довільний елемент із K. Тоді b − b = 0 і тому, враховуючи попередню властивість, отримаємо a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.

Аналогічно доводиться, що 0a = 0.

СВ-ВО 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).

Доведення. Нехай a, b ∈ K. Тоді (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. Отже, (−a)b = −(ab).

Аналогічно доводиться рівність a(−b) = −(ab).

СВ-ВО 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.

Доведення. Насправді, застосовуючи двічі попередню властивість, отримаємо (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.

ЗАУВАЖЕННЯ. Властивості 6 та 7 називають правилами знаків у кільці.

З дистрибутивності операції множення в кільці K щодо операції додавання та властивостей 6 і 7 випливає наступне

СВ-ВО 8. Нехай k, l-довільні цілі числа. Тоді ∀a, b∈K(ka)(lb) = (kl)ab.

Підкільце

Підкільцем кільця (K,+, ·) називається підмножина H множини K, яка замкнута щодо операцій + і ·, визначених K, і саме є кільцем щодо цих операцій.

Приклади підколець:

Так, Z-підкільце кільця (Q,+, ·), Q-підкільце кільця (R,+, ·), Rn×n-підкільце кільця (Cn×n,+, ·), Z[x]-підкільце кільця ( R [x], +, ·), D -підкільце кільця (C, +, ·).

У кожному кільці (K,+, ·) саме безліч K, і навіть одноелементне підмножина (0) є підкільцями кільця (K,+, ·). Це звані тривіальні підкільця кільця (K,+, ·).

Найпростіші властивості підкілець.

Нехай H - підкільце кільця (K, +, ·), тобто. (H,+, ·) саме є кільцем. Отже, (H, +)-група, тобто. H-підгрупа групи (K, +). Тому справедливі такі твердження.

СВ-ВО 1. Нульовий елемент підкільця H кільця K збігається з нульовим елементом кільця K.

СВ-ВО 2 . Для будь-якого елемента a підкільця H кільця K протилежний йому елемент H збігається з −a, тобто. з протилежним йому елементом K.

СВ-ВО 3. Для будь-яких елементів a і b підкільця H їх різниця H збігається з елементом a - b, тобто. з різницею цих елементів K.

Ознаки підкільця.

ТЕОРЕМА 1 (перша ознака підкільця).

Непусте підмножина H кільця K з операціями + і є підкільцем кільця K тоді і тільки тоді, коли воно задовольняє наступним умовам:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

Необхідність.Нехай H - підкільце кільця (K, +, ·). Тоді H-підгрупа групи (K, +). Тому за першою ознакою підгрупи (в адитивному формулюванні), H задовольняє умовам (1) та (2). З іншого боку, H замкнуто щодо операції множення, визначеної K, тобто. H

задовольняє і умови (3).

Достатність.Нехай H ⊂ K, H 6= ∅ та H задовольняє умовам (1) − (3). p align="justify"> З умов (1) і (2) за першою ознакою підгрупи випливає, що H -підгрупа групи (K, +), тобто. (H, +)-група. У цьому, оскільки (K, +)-абелева група, (H, +) також абелева. Крім того, з умови (3) випливає, що множення є бінарною операцією на множині H. Асоціативність операції в H і її дистрибутивність щодо операції + випливають з того, що такими властивостями володіють операції + і K.

ТЕОРЕМА 2 (друга ознака підкільця).

Непорожнє підмножина H кільця K з операціями + і є

підкільцем кільця K т. і т. т, коли воно задовольняє наступним умовам:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

Доказ цієї теореми аналогічний доказу теореми 1.

При цьому використовується теорема 2′ (друга ознака підгрупи в адитивному формулюванні) та зауваження до неї.

7.Поле (визначення, види, властивості, ознаки).

Полем називається комутативне кільце з одиницею e не дорівнює 0 , В якому кожен елемент, відмінний від нуля має зворотний.

Класичними прикладами числових полів є поля (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·).

ВЛАСТИВОСТІ 1 . У кожному полі F справедливий закон скорочення

загальний множник, відмінний від нуля, тобто.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a не дорівнює 0 ⇒ b = c).

ВЛАСТИВОСТІ 2 . У кожному полі F немає дільників нуля.

ВЛАСТИВОСТІ 3 . Кільце(K, +, ·) є полем тоді і тільки

тоді, коли безліч K \ (0) є комутативна група щодо операції множення.

ВЛАСТИВОСТІ 4 . Кінцеве ненульове комутативне кільце(K, +, ·) без дільників нуля є полем.

Приватне поле елементів.

Нехай (F, +, ·)-поле.

Приватних елементів a і b поля F , де b не дорівнює 0 ,

називається такий елемент c ∈ F , що a = bc .

ВЛАСТИВОСТІ 1 . Для будь-яких елементів a і b поля F , де b не дорівнює 0 , існує єдине приватне a/b , причому a/b= ab−1.

ВЛАСТИВОСТІ 2 . ∀ a ∈ F \ (0)

a/a= e і∀ a ∈ F a/e= a.

ВЛАСТИВОСТІ 3 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

ВЛАСТИВОСТІ 4 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

ВЛАСТИВОСТІ 5 . ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ (0)

(a/b)/(c/d)=ad/bc

ВЛАСТИВОСТІ 6 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

ВЛАСТИВОСТІ 7 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

ВЛАСТИВОСТІ 8 . ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ (0)

Поле F , одиниця якого має кінцевий порядок p у групі(F, +) p .

Поле F одиниця, якого має нескінченний порядок у групі(F, +) , називається полем характеристики 0.

8. Підполе (визначення, види, властивості, ознаки)

Підполем поля(F,+, ·) називається підмножина S безлічі F , яке замкнуте щодо операцій+ і· , визначених у F і саме є полем щодо цих операцій.

Наведемо деякі приклади підполів Q-підпілля поля (R, +, ·);

R-підпілля поля (C, +, ·);

справедливі такі твердження.

ВЛАСТИВОСТІ 1 . Нульовий елемент підполя S поля F співпадає з

нульовим елементом поля F .

ВЛАСТИВОСТІ 2 . Для будь-якого елемента a підполя S поля F протилежний йому елемент у S співпадає з−a , тобто. з протилежним йому елементом F .

ВЛАСТИВОСТІ 3 . Для будь-яких елементів a і b підполя S поля F їх

різниця в S співпадає з a−b тобто. з різницею цих елементів у F .

ВЛАСТИВОСТІ 4 . Одиниця підполя S поля F збігається з одиницею

e поля F .

ВЛАСТИВОСТІ 5 . Для будь-якого елемента a підполя S поля F , від-

особистого від нуля, зворотний до нього елемент S співпадає з a−1 , тобто. з елементом, зворотним до a в F .

Ознаки підполя.

ТЕОРЕМА 1 (Перша ознака підполя).

Підмножина H поля F з операціями+, · , що містить ненульовий

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

ТЕОРЕМА2 (Друга ознака підполя).

Підмножина H поля F з операціями+, · , що містить ненульовий

елемент, є підполем поля(F,+, ·) тоді і лише тоді, коли воно задовольняє наступним умовам:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H(0) a/b ∈ H. (6)

10. Відношення подільності в кільці Z

Твердження: для будь-яких елементів a, b, cкомутативного кільця на множині R, справедливі такі імплікації:

1) а|b, b|c => a|c

2) a | b, a | c => a | (b c)

3) a|b => a|bc

для будь-якого a, b Z справедливо:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b і b|a ó |a|=|b|

Розділити із залишком ціле число а на ціле число b означає знайти такі цілі числа q і r, що можна уявити a=b*q + r, 0≤r≥|b|, де q – неповне приватне, r- залишок

Теорема: Якщо a і b Z , b≠0, то можна розділити на b з залишком, причому неповне приватне і залишок визначаються однозначно.

Наслідок,якщо a і b Z , b≠0, то b|a ó

11. НОД та НОК

Найбільший загальний дільник (НОД) чисел Z називається деяке число d, яке задовольняє наступним умовам

1) d є спільним дільником, тобто. d| , d | …d|

2) d ділиться будь-який загальний дільник чисел тобто. d| , d | …d| => d | , d | …d|