Кільце цілих р-адичних чисел. Кільце цілих Розвинена До

Приклади

• Більше загально, для будь-якого вільного від квадратів цілого числа d (\displaystyle d) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d))))буде квадратичним розширенням поля Q (\displaystyle \mathbb (Q) ).
• Кругове поле Q (ζ n) (\displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n)))виходить додаванням до Q (\displaystyle \mathbb (Q) )примітивного кореня n-й ступеня з одиниці. Поле має містити і всі його ступені (тобто всі коріння n-й ступеня з одиниці), його розмірність над Q (\displaystyle \mathbb (Q) )дорівнює функції Ейлера φ (n) (\displaystyle \varphi (n)).
• Дійсні та комплексні числа мають нескінченний ступінь над раціональними, тому вони не є числовими полями. Це випливає з незліченності: будь-яке числове поле є лічильним .
• Поле всіх чисел алгебри A (\displaystyle \mathbb (A) )не є числовим. Хоча розширення A ⊃ Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q) )алгебраїчне, воно не є кінцевим.

Кільце цілих числового поля

Оскільки числове поле є розширенням алгебри поля Q (\displaystyle \mathbb (Q) )будь-який його елемент є коренем деякого многочлена з раціональними коефіцієнтами (тобто є алгебраїчним). Понад те, кожен елемент є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами, оскільки можна примножити все раціональні коефіцієнти добуток знаменників. Якщо цей елемент є коренем деякого унітарного многочлена з цілими коефіцієнтами, він називається цілим елементом (або цілим алгебраїчним числом). Не всі елементи числового поля цілі: наприклад, легко показати, що єдині цілі елементи Q (\displaystyle \mathbb (Q) )- Це звичайні цілі числа.

Можна довести, що сума і добуток двох алгебраїчних цілих чисел - знову ціле число алгебри, тому цілі елементи утворюють підкільце числового поля K (\displaystyle K)зване кільцем цілихполя K (\displaystyle K)і позначається. Поле не містить дільників нуля і ця властивість успадковується при переході до підкільця, тому кільце цілісне; поле приватних кільця O K (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))- це саме поле K (\displaystyle K). Кільце цілих будь-якого числового поля має наступні три властивості: воно цілозамкнуте, нетерово і одномірно. Комутативне кільце з такими властивостями називається дедекіндовим на честь Ріхарда Дедекінда.

Розкладання на прості та група класів

У довільному дедекіндовому кільці існує і єдине розкладання ненульових ідеалів у твір простих. Однак не будь-яке кільце цілих задовольняє властивості факторіальності: вже для кільця цілих квадратичного поля O Q (− 5) = Z [ − 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))])розкладання не єдине:

Ввівши на цьому кільці норму, можна показати, що ці розкладання дійсно різні, тобто одне не можна отримати з іншого множенням на оборотний елемент.

Ступінь порушення якості факторіальності вимірюють за допомогою групи класів ідеалів, ця група для кільця цілих завжди кінцева і її порядок називають числом класів.

Базиси числового поля

Цілий базис

Цілий базисчислового поля Fступеня n- це безліч

з nелементів кільця цілих поля F, таке що будь-який елемент кільця цілих O Fполя Fможна єдиним способом записати як Z-лінійну комбінацію елементів B; тобто для будь-кого xз O Fіснує і єдине розкладання

де m i- Звичайні цілі числа. У цьому випадку будь-який елемент Fможна записати як

де m i- Раціональні числа. Після цього цілі елементи Fвиділяються тим властивістю, що це точно ті елементи, для яких все m iцілі.

Використовуючи такі інструменти як локалізація та ендоморфізм Фробеніуса, можна побудувати такий базис для будь-якого числового поля. Його побудова є вбудованою функцією у багатьох системах комп'ютерної алгебри.

Ступіньний базис

Нехай F- числове поле ступеня n. Серед усіх можливих базисів F(як Q-векторного простору), існують статечні базиси, тобто базиси виду

для деякого x ∈ F. Відповідно до теореми про примітивний елемент , такий xзавжди існує, його називають примітивним елементомданого розширення.

Норма та слід

Алгебраїчне числове поле є кінцевим векторним простором над Q (\displaystyle \mathbb (Q) )(позначимо його розмірність за n (\displaystyle n)), та множення на довільний елемент поля є лінійним перетворенням цього простору. Нехай e 1 , e 2 , … e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- якийсь базис F, тоді перетворенню x ↦ α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x)відповідає матриця A = (a i j) (\displaystyle A = (a_(ij))), що визначається умовою

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)

Елементи цієї матриці залежать від вибору базису, проте від нього не залежать усі інваріанти матриці, такі як визначник та слід. У контексті розширень алгебри, визначник матриці множення на елемент називається нормоюцього елемента (позначається N(x) (\displaystyle N(x))); слід матриці - слідом елемента(позначається Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

Слід елемента є лінійним функціоналом на F:

Норма є мультиплікативною та однорідною функцією:

Як вихідний базис можна вибрати цілий базис , множення на ціле число алгебри (тобто на елемент кільця цілих ) в цьому базисі буде відповідати матриця з цілими елементами. Отже, слід і норма будь-якого елемента кільця цілих є цілими числами.

Приклад використання норми

Нехай d (\displaystyle d)- - цілий елемент, оскільки він є коренем наведеного багаточлена x 2 − d (\displaystyle x^(2)-d)). У цьому базисі множення на a + b d (\displaystyle a+b(\sqrt (d)))відповідає матриця

Отже, N (a + b d) = a 2 − d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). На елементах кільця ця норма набуває цілих значень. Норма є гомоморфізмом мультиплікативної групи Z [d] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))])на мультиплікативну групу Z (\displaystyle \mathbb (Z) )тому норма оборотних елементів кільця може дорівнювати тільки 1 (\displaystyle 1)або − 1 (\displaystyle -1). Для того, щоб вирішити рівняння Пелля a 2 − d b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1)достатньо знайти всі оборотні елементи кільця цілих (також звані одиницями кільця) і виділити серед них такі, що мають норму 1 (\displaystyle 1). Згідно з теоремою Дирихле про одиниці , всі оборотні елементи даного кільця є ступенями одного елемента (з точністю до множення на − 1 (\displaystyle -1)), тому знаходження всіх рішень рівняння Пелля досить знайти одне фундаментальне рішення.

також

Література

• Х. Кох.Алгебраїчна теорія чисел. - М.: ВІНІТІ, 1990. - Т. 62. - 301 с. - (Підсумки науки та техніки. Серія « Сучасні проблемиматематики. Фундаментальні напрямки».).
• Чеботарьов Н.Г.Основи теорії Галлуа. Частина 2. - М.: Едіторіал УРСС, 2004.
• Вейль Г.Алгебраїчна теорія чисел. Пров. з англ. - М.: Едіторіал УРСС, 2011.
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000

Ми бачили, що дії над многочленами зводяться до дій з їх коефіцієнтами. При цьому для додавання, віднімання та множення багаточленів достатньо трьох арифметичних дій - поділ чисел не знадобився. Так як сума, різниця і добуток двох дійсних чисел знову є дійсними числами, то при додаванні, відніманні та множенні багаточленів з дійсними коефіцієнтами в результаті виходять багаточлени з дійсними коефіцієнтами.

Однак не завжди доводиться мати справу з багаточленами, які мають будь-які дійсні коефіцієнти. Можливі випадки, коли по суті справи коефіцієнти повинні мати лише цілі або лише раціональні значення. Залежно від цього, які значення коефіцієнтів вважаються допустимими, змінюються властивості многочленов. Наприклад, якщо розглядати багаточлени з будь-якими дійсними коефіцієнтами, можна розкласти на множники:

Якщо ж обмежитися многочленами з цілими коефіцієнтами, то розкладання (1) немає сенсу ми повинні вважати многочлен нерозкладним на множники.

Звідси видно, що теорія многочленів істотно залежить від цього, які коефіцієнти вважаються допустимими. Далеко не будь-яку сукупність коефіцієнтів можна вважати допустимою. Наприклад, розглянемо всі багаточлени, коефіцієнти яких – непарні цілі числа. Зрозуміло, що сума двох таких багаточленів не буде многочленом тієї самої типу: адже сума непарних чисел - парне число.

Поставимо питання: які «хороші» множини коефіцієнтів? Коли сума, різницю, добуток багаточленів з коефіцієнтами даного типу мають коефіцієнти того самого типу? Для відповіді це запитання введемо поняття числового кільця.

Визначення. Непорожня безліч чисел називається числовим кільцем, якщо разом з будь-якими двома числами а і воно містить їх суму, різницю та добуток. Це виражають також коротше, кажучи, що числове кільце замкнуте щодо операцій складання, віднімання та множення.

1) Безліч цілих чисел є числовим кільцем: сума, різницю і добуток цілих чисел - цілі числа. Багато натуральних чисел числовим кільцем не є, тому що різниця натуральних чисел може бути негативною.

2) Безліч всіх раціональних чисел- числове кільце, оскільки сума, різницю та добуток раціональних чисел раціональні.

3) Утворює числове кільце та безліч усіх дійсних чисел.

4) Числа виду а де і цілі, утворюють числове кільце. Це випливає із співвідношень:

5) Безліч непарних чисел не є числовим кільцем, оскільки сума непарних чисел парна. Безліч парних чисел - числове кільце.

З курсу програмування відомо, що ціле число може бути представлене в пам'яті комп'ютера різними способами, зокрема, це уявлення залежить від того, як воно описано: як величина типу integer або real або string . При цьому більшості мов програмування під цілими числами розуміються числа з дуже обмеженого діапазону: типовий випадок - від -2 15 = -32768 до 2 15 - 1 = 32767 . Системи комп'ютерної алгебримають справу з великими цілими числами, зокрема, будь-яка така система вміє обчислювати та виводити в десятковому записі числа виду 1000! (Більше тисячі знаків).

У цьому курсі ми розглядатимемо уявлення цілих чисел у символьному вигляді і вдаватися у подробиці, яка пам'ять приділяється запису одного символу (біт, байт чи інша). Найбільш поширеним є уявлення цілих чисел в позиційних системах числення. Така система визначається вибором підстави числення, наприклад, 10 . Безліч десяткових цілих чисел зазвичай описується так:

Виписане визначення цілих чисел дає однозначність уявлення кожного такого числа, і аналогічне визначення (тільки, можливо, з іншою основою) використовується в більшості систем комп'ютерної алгебри. Користуючись таким уявленням, зручно реалізувати арифметичні операції над цілими числами. У цьому додавання і віднімання є щодо " дешевими " операціями, а множення і розподіл - " дорогими " . Оцінюючи складності арифметичних операцій слід враховувати як вартість елементарної операції (однорозрядної), і кількість однорозрядних операцій виконання будь-якої дії над багатозначними числами. Складність множення і розподілу обумовлена, насамперед, тим, що зі зростанням довжини числа (його запису у будь-якій системі числення) кількість елементарних операцій збільшується за квадратичним законом, на відміну лінійного додавання і віднімання. До того ж, те, що ми зазвичай називаємо алгоритмом розподілу багатозначних чисел, насправді засноване на переборі (часто дуже значному) можливої ​​чергової цифри частки, і при цьому недостатньо просто скористатися правилами розподілу однозначних чисел. При великій підставі системи числення (часто воно може мати порядок 230) цей спосіб малоефективний.

Нехай – натуральне число (записане в десятковій системі). Щоб отримати його запис в -ічній системі числення, можна скористатися наступним алгоритмом (позначає цілу частину числа):

Дано: A-натуральне число в десятковій системі числення k > 1-натуральне число Потрібно: A-запис числа A в k-ній системі числення Початок i:= 0 цикл поки A > 0 bi:= A (mod k) A:= i:= i + 1 кінець циклу dA:= i - 1 Кінець

Для відновлення десяткового числа за послідовністю його k-їчного запису використовується наступний алгоритм:

Дано: k > 1-натуральне число послідовність цифр, що представляють число A в k-їчній системі Треба: A-запис числа A в десятковій системі числення Початок A:= 0 цикл поки не кінець послідовності b:= черговий елемент послідовності A:= A * k + b кінець циклу Кінець

1.2. ВПРАВА. Поясніть, чому для переведення числа з десяткової системи до k-їчної використовується розподіл, а для переведення з k-їчної системи в десяткову - множення.

Перемножуючи "стовпчиком" два двозначні числа в десятковій системі числення, ми виконуємо наступні операції:

(10a + b) (10c + d) = 100ac + 10 (ad + bc) + bd,

тобто 4 операції множення однорозрядних чисел, 3 операції додавання та 2 операції множення на ступінь підстави числення, які зводяться до зсуву. Оцінюючи складності можна враховувати все елементарні операції, не поділяючи їх за терезами (у цьому прикладі маємо 9 елементарних операцій). Завдання оптимізації алгоритму зводиться при цьому підході до мінімізації загальної кількості елементарних операцій. Можна, проте, вважати, що множення є " дорогою " операцією, ніж додавання, яке, своєю чергою, " дорожче " зсуву. Враховуючи лише найдорожчі операції, ми отримуємо, що мультиплікативнаскладність множення двоцифрових чисел "стовпчиком" дорівнює 4.

У параграфі 5 розглядаються алгоритми обчислення найбільших спільних дільників та оцінюється їхня складність.

Розглянуте уявлення перестав бути єдиним канонічним уявленням цілих чисел. Як зазначалося, для вибору канонічного уявлення можна скористатися єдиністю розкладання натурального числа на прості множники. Таке уявлення цілого числа може бути застосоване в тих завданнях, де використовуються тільки операції множення та поділу, так як вони стають дуже "дешевими", проте незрівнянно зростає вартість операцій складання та віднімання, що перешкоджає використанню такого уявлення. У деяких завданнях відмова від канонічного уявлення дає значний виграш у швидкодії, зокрема може використовуватися часткове розкладання числа на множники. Особливо корисний аналогічний метод під час роботи не з числами, і з многочленами.

Якщо відомо, що при роботі програми всі цілі обчислення цілі числа обмежені по абсолютній величині деякою заданою константою, то можна використовувати для завдання таких чисел їх систему відрахувань по модулях деяких взаємно простих чисел, добуток яких перевершує згадану константу. Обчислення з класами відрахувань виконуються, зазвичай, швидше, ніж арифметика багаторазової точності. А арифметикою багаторазової точності за такого підходу потрібно користуватися лише за введення чи виведення інформації.

Зазначимо, що поряд із канонічними уявленнями в системах комп'ютерної алгебривикористовуються та інші уявлення. Зокрема, бажано, щоб наявність або відсутність знака "+" перед цілим числом не впливало на його сприйняття комп'ютером. Отже, для позитивних чисел виходить неоднозначне уявлення, хоча форму негативних чисел визначено однозначно.

Інша вимога - на сприйняття числа не має впливати наявність нулів перед першою цифрою.

1.3. ВПРАВИ.

1. Оцінити кількість однорозрядних множень, що використовуються при множенні стовпчиком m значного числа на n - значне.
2. Показати, що два двозначні числа можна перемножити, використовуючи лише 3 множення однозначних чисел і збільшивши число додавань.
3. Знайти алгоритм розподілу довгих чисел, який вимагає великого перебору при знаходженні першої цифри часткового.
4. Описати алгоритм перекладу натуральних чисел з m-їчної системи числення в n-ічну.
5. У римської нумераціїдля запису чисел використовуються такі символи: I – одиниця, V – п'ять, X – десять, L – п'ятдесят, C – сто, D – п'ятсот, M – тисяча. Символ вважається негативним, якщо правіше за нього знайдеться символ більшого числа, і позитивним інакше. Наприклад, число 1948 у цій системі запишеться так: MCMXLVIII. Сформулювати алгоритм переведення числа з римського запису до десяткового і назад. Реалізувати отриманий алгоритм однією з алгоритмічних мов (наприклад, C ). Обмеження на вихідні дані: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Сформулювати алгоритм та написати програму складання натуральних чисел у римській нумерації.
7. Будемо говорити, що ми маємо справу з системою числення зі змішаною або векторною основою, якщо нам заданий вектор з n натуральних чисел M = (m 1 , . . .,m n) (основа числення) і запис K = (k 0 , k 1 , . k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· ··+m n ·k n) . . .))). Написати програму, яка за даними (день тижня, годин, хвилин, секунд) визначає, скільки секунд пройшло з початку тижня (понеділок, 0, 0, 0) = 0і виконує зворотне перетворення.

Опр.Кільце K називається кільцем цілих чисел, якщо адитивна група кільця K є адитивною групою цілих чисел і множення в кільці K комутативно і продовжує множення натуральних чисел (у системі N натуральних чисел).

Т1.Нехай - Адитивна група цілих чисел, є природне множення в ній та 1 – одиниця системи N натуральних чисел. Тоді алгебра Z = є кільцем цілих чисел.

Док-во.Покажемо, що алгебра Z є комутативне кільце. За умовою, алгебра - адитивна група кільця – є абелева група, як адитивна група цілих чисел.

Нехай a, b, c – довільні елементи множини Z. Їх можна як радості натуральних чисел. Нехай (1) a = m-n, b = p-q, c = r-s (m, n, p, q, r, N).

Природне множення Z визначається формулою (2) a*b=(m-n)*(p-q)=(mp+nq)-(mq+np).

Природне множення комутативно, так як b * a = (p-q) * (m-n) = (pm + qn) - (pn + qm), і комутативно додавання та множення натуральних чисел.

Природне множення асоціативно. Справді, через (1) і (2) маємо:

a*(b*c)=(m-n)[(p-q)(r-s)]=(m-n)[(pr+qs)-(ps-qr)]=(mpr+mqs+nps+nqr)-(mps+ mqr+npr+nqs);

(a*b)*c=[(m-n)(p-q)](r-s)=[(mp+nq)-(mq+np)](r-s)=(mpr+nqr+mqs+nps)-(mps+ nqs+mqr+npr).

Отже, через комутативність складання натуральних чисел a*(b*c)= (a*b)*c.

Елемент 1 є нейтральним щодо природного множення. Насправді, для будь-якого a з 2 маємо a*1=(m-n)(1-0)=m*1-n*1=m-n=a.

Отже, алгебра є комутативним моноідом.

Опр.Якщо для цілих чисел aі bіснує таке натуральне число k, що a+k=bі k 0, то кажуть, що «a менше або b», і пишуть a b тоді і лише тоді, коли b

Т2.Нехай Z = кільце цілих чисел. Тоді: 1) для будь-яких цілих чисел a і b виконується одне й лише одне із трьох шарів: a

2) для будь-якого цілого числа a виконується одна і лише одна з трьох умов: a<0, a=0, 0

3) відношення< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

a

4) відношення<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

якщо a 0, то ac

Т. про поділ із залишком.Нехай a – ціле число та b – натуральне число, відмінне від нуля. Розділити число a і b із залишком – значить уявити його як a=bq+r, де 0 r

Поділ із залишком завжди можна здійснити, а неповне приватне і залишок однозначно визначаються дільником і дільником.

Т.Для будь-яких цілих чисел a, bпри b>0 існує єдина пара цілих чисел qі r, що задовольняє умовам: (1) a=bq+rі 0 r

Док-во.Доведемо, що є хоча одна пара чисел q, r задовольняє умовам (1). Спочатку розглянемо випадок, коли a – натуральне число. Фіксуємо b та індукцією по a доведемо, що (2) існує пара цілих чисел q, r, що задовольняє (1).

Для a=0 твердження (2) правильне, оскільки 0=b*0+0. Припустимо, що (2) правильно для a=n, тобто. існують цілі q, rтакі, що (3) n=bq+rі 0 r

Найбільший спільний дільник.Ціло число c називається загальним дільником цілих чисел a 1 , …, a n , якщо є дільник кожного з цих чисел.

Опр. Найбільшим спільним дільником цілих чисел a 1 , …, a n називається такий їхній спільний дільник, який ділиться на будь-який спільний дільник цих чисел.

Цілі числа a 1 ..., a n називається взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник чисел дорівнює одиниці.

НОД чисел a 1 , …, a n позначається НОД(a 1 , …, a n), позитивний НОД цих чисел позначається нод (a 1 , …, a n).

След-ие 1. Якщо d є НОД цілих чисел a 1 , …, a n , то множина всіх спільних дільників цих чисел збігається з множиною всіх дільників числа d.

След-ие 2. Будь-які два НОД цілих чисел a 1 , …, a n асоційовані, тобто. можуть відрізнятися лише знаком. Якщо d є НОД чисел a 1 , …, a n , то число (-d) також є НОД цих чисел.

Алгоритм Евкліда.Спосіб знаходження НОД двох цілих чисел.

Пропозиція. Нехай aі b–два цілих числа, b≠0 та (1) a=bq+r (0 r<|b|).

Тоді нод(a,b)=нод(b,r).

Док-во. З (1) випливає, що будь-який спільний дільник чисел aі є дільник числа r=a-bqі будь-який загальний дільник чисел bі є дільник числа a. Тому безліч всіх спільних дільників чисел aі bзбігається з безліччю всіх загальних дільників чисел bi r. Звідси випливає, що позитивний загальний дільник чисел aі bзбігається з позитивним загальним дільником чисел bі r, тобто. нод(a,b)=нод(b,r).

Якщо b|a, де b≥1, очевидно, нод(a,b)=b. Для знаходження нід двох цілих чисел застосовують спосіб «послідовного поділу», який називається алгоритмом Евкліда. Сутність цього способу полягає в тому, що внаслідок доведеної вище пропозиції задача знаходження нід чисел a і bзводиться до більш простого завдання знаходження нід чисел bі r, де 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

Якщо a = 0, то b = 0 * c = 0 і теорема вірна. Якщо ж a≠0, то (1) випливає cd=1. По теоремі, з рівності cd=1 випливає, що d=1. З іншого боку, a=bd; отже, a = b. Доведено.

Найменше загальне кратне.Ціле число називається загальним кратним цілих чисел a 1, ..., a n, якщо воно ділиться на кожне з цих чисел.

Опр. Найменшим загальним кратним цілих чисел a 1 , …, a n називається таке їхнє загальне кратне, яке ділить будь-яке загальне кратне цих чисел. Об-ие: НОК (a 1, ..., a n). Позитивне найменше загальне кратне чисел a 1, …, a n, відмінних від нуля, об-ся через.

Сл-ие. Будь-які два найменших загальних кратних цілих чисел a 1 , …, a n асоційовані Z, тобто. можуть відрізнятися лише знаком. Якщо число має НОК(a 1 , …, a n), то число (-m) є НОК(a 1 , …, a n).

Сл-ие. Якщо m – найменше загальне кратне чисел a 1 , …, a n , то множина всіх загальних кратних цих чисел збігається з множиною всіх кратних числа m.

У різних розділах математики, а також у застосуванні математики в техніці, часто зустрічається ситуація, коли операції алгебри проводяться не над числами, а над об'єктами іншої природи. Наприклад додавання матриць, множення матриць, додавання векторів, операції над многочленами, операції над лінійними перетвореннями і т.д.

Визначення 1. Кільцем називається безліч математичних об'єктів, у якому визначено дві дії - "складання" і "множення", які зіставляють упорядкованим парам елементів їх "суму" і "твір", що є елементами тієї самої множини. Ці дії задовольняють наступним вимогам:

1.a+b=b+a(Комутативність складання).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(Асоціативність складання).

3. Існує нульовий елемент 0 такий, що a+0=a, за будь-якого a.

4. Для будь-кого aіснує протилежний елемент - aтакий, що a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(Ліва дистрибутивність).

5".c(a+b)=ca+cb(Права дистрибутивність).

Вимоги 2, 3, 4 означають, що безліч математичних об'єктів утворює групу, а разом з пунктом 1 ми маємо справу з комутативною (абельною) групою щодо складання.

Як очевидно з визначення, у загальному визначенні кільця на множення не накладається жодних обмежень, крім дистрибутивності зі складанням. Однак за різних ситуацій виникає необхідність розглядати кільця з додатковими вимогами.

6. (ab) c = a (bc)(Асоціативність множення).

7.ab=ba(Комутативність множення).

8. Існування одиничного елемента 1, тобто. такого a· 1 = 1 · a=aдля будь-якого елемента a.

9. Для будь-якого елемента елемента aіснує зворотний елемент a−1 такий, що aa −1 =a −1 a= 1.

У різних кільцях 6, 7, 8, 9 можуть виконуватися як окремо, так і в різних комбінаціях.

Кільце називається асоціативним, якщо виконується умова 6, коммутативним, якщо виконано умову 7, комутативним і асоціативним якщо виконані умови 6 і 7. Кільце називається кільцем з одиницею, якщо виконано умову 8.

Приклади кілець:

1. Безліч квадратних матриць.

Справді. Виконання пунктів 1-5, 5" очевидна. Нульовим елементом є нульова матриця. Крім цього виконується пункт 6 (асоціативність множення), пункт 8 (поодиноким елементом є одинична матриця). Пункти 7 і 9 не виконуються тому що в загальному випадку множення квадратних матриць некомутативна, а також не завжди існує зворотне до квадратної матриці.

2. Безліч всіх комплексних чисел.

3. Безліч всіх дійсних чисел.

4. Безліч всіх раціональних чисел.

5. Безліч всіх цілих чисел.

Визначення 2. Будь-яка система чисел, що містить суму, різницю та добуток будь-яких двох своїх чисел, називається числовим кільцем.

Приклади 2-5 є числовими кільцями. Числовими кільцями є також всі парні числа, а також усі цілі числа, що діляться без залишку, на деяке натуральне число n. Зазначимо, що безліч непарних чисел перестав бути кільцем т.к. сума двох непарних чисел є парним числом.