Кільце цілих чисел його властивості. Проблема представлення даних
Приклади
a + bi (\displaystyle a+bi)де a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b)раціональні числа, i (\displaystyle i)- Уявна одиниця. Такі вирази можна складати і перемножувати за звичайними правилами дій з комплексними числами , і в кожного ненульового елемента існує зворотний, як видно з рівності (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. (\displaystyle (a+bi)\left(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.)З цього випливає, що раціональні гаусові числа утворюють поле, що є двовимірним простором (тобто квадратичним полем).- Більше загально, для будь-якого вільного від квадратів цілого числа d (\displaystyle d) Q (d) (\displaystyle \mathbb (Q) ((\sqrt (d))))буде квадратичним розширенням поля Q (\displaystyle \mathbb (Q) ).
- Кругове поле Q (ζ n) (\displaystyle \mathbb (Q) (\zeta _(n)))виходить додаванням Q (\displaystyle \mathbb (Q) )примітивного кореня n-й ступеня з одиниці. Поле має містити і всі його ступені (тобто всі коріння n-й ступеня з одиниці), його розмірність над Q (\displaystyle \mathbb (Q) )дорівнює функції Ейлера φ (n) (\displaystyle \varphi (n)).
- Дійсні та комплексні числа мають нескінченний ступінь над раціональними, тому вони не є числовими полями. Це випливає з незліченності: будь-яке числове поле є лічильним .
- Поле всіх чисел алгебри A (\displaystyle \mathbb (A) )не є числовим. Хоча розширення A ⊃ Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q) )алгебраїчне, воно не є кінцевим.
Кільце цілих числового поля
Оскільки числове поле є розширенням алгебри поля Q (\displaystyle \mathbb (Q) )будь-який його елемент є коренем деякого многочлена з раціональними коефіцієнтами (тобто є алгебраїчним). Понад те, кожен елемент є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами, оскільки можна примножити все раціональні коефіцієнти добуток знаменників. Якщо цей елемент є коренем деякого унітарного многочлена з цілими коефіцієнтами, він називається цілим елементом (або цілим алгебраїчним числом). Не всі елементи числового поля цілі: наприклад, легко показати, що єдині цілі елементи Q (\displaystyle \mathbb (Q) )- Це звичайні цілі числа.
Можна довести, що сума і добуток двох алгебраїчних цілих чисел - знову ціле число алгебри, тому цілі елементи утворюють підкільце числового поля K (\displaystyle K)зване кільцем цілихполя K (\displaystyle K)і позначається. Поле не містить дільників нуля і ця властивість успадковується при переході до підкільця, тому кільце цілісне; поле приватних кільця O K (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))- це саме поле K (\displaystyle K). Кільце цілих будь-якого числового поля має наступні три властивості: воно цілозамкнуте, нетерово і одномірно. Комутативне кільце з такими властивостями називається дедекіндовим на честь Ріхарда Дедекінда.
Розкладання на прості та група класів
У довільному дедекіндовому кільці існує і єдине розкладання ненульових ідеалів у твір простих. Однак не будь-яке кільце цілих задовольняє властивості факторіальності: вже для кільця цілих квадратичного поля O Q (− 5) = Z [ − 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))])розкладання не єдине:
6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) (\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5))))(1-(\sqrt (-5)) )))Ввівши на цьому кільці норму, можна показати, що ці розкладання дійсно різні, тобто одне не можна отримати з іншого множенням на оборотний елемент.
Ступінь порушення якості факторіальності вимірюють за допомогою групи класів ідеалів, ця група для кільця цілих завжди кінцева і її порядок називають числом класів.
Базиси числового поля
Цілий базис
Цілий базисчислового поля Fступеня n- це безліч
B = {b 1 , …, b n}з nелементів кільця цілих поля F, таке що будь-який елемент кільця цілих O Fполя Fможна єдиним способом записати як Z-лінійну комбінацію елементів B; тобто для будь-кого xз O Fіснує і єдине розкладання
x = m 1 b 1 + … + m n b n,де m i- Звичайні цілі числа. У цьому випадку будь-який елемент Fможна записати як
m 1 b 1 + … + m n b n,де m i- Раціональні числа. Після цього цілі елементи Fвиділяються тим властивістю, що це точно ті елементи, для яких все m iцілі.
Використовуючи такі інструменти як локалізація та ендоморфізм Фробеніуса, можна побудувати такий базис для будь-якого числового поля. Його побудова є вбудованою функцією у багатьох системах комп'ютерної алгебри.
Ступіньний базис
Нехай F- числове поле ступеня n. Серед усіх можливих базисів F(як Q-векторного простору), існують статечні базиси, тобто базиси виду
B x = {1, x, x 2 , …, x n−1 }для деякого x ∈ F. Відповідно до теореми про примітивний елемент , такий xзавжди існує, його називають примітивним елементомданого розширення.
Норма та слід
Алгебраїчне числове поле є кінцевим векторним простором над Q (\displaystyle \mathbb (Q) )(позначимо його розмірність за n (\displaystyle n)), та множення на довільний елемент поля є лінійним перетворенням цього простору. Нехай e 1 , e 2 , … e n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- якийсь базис F, тоді перетворенню x ↦ α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x)відповідає матриця A = (a i j) (\displaystyle A = (a_(ij))), що визначається умовою
α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) .)
Елементи цієї матриці залежать від вибору базису, проте від нього не залежать усі інваріанти матриці, такі як визначник та слід. У контексті розширень алгебри, визначник матриці множення на елемент називається нормоюцього елемента (позначається N(x) (\displaystyle N(x))); слід матриці - слідом елемента(позначається Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).
Слід елемента є лінійним функціоналом на F:
Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (text(Tr))(x+y)=(text(Tr)) (y))і Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).Норма є мультиплікативною та однорідною функцією:
N (x y) = N (x) ⋅ N (y) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y))і N (λ x) = λ n N (x) , λ Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q).Як вихідний базис можна вибрати цілий базис , множення на ціле число алгебри (тобто на елемент кільця цілих ) в цьому базисі буде відповідати матриця з цілими елементами. Отже, слід і норма будь-якого елемента кільця цілих є цілими числами.
Приклад використання норми
Нехай d (\displaystyle d)- - цілий елемент, оскільки він є коренем наведеного багаточлена x 2 − d (\displaystyle x^(2)-d)). У цьому базисі множення на a + b d (\displaystyle a+b(\sqrt (d)))відповідає матриця
(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\b&a\end(pmatrix))))Отже, N (a + b d) = a 2 − d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). На елементах кільця ця норма набуває цілих значень. Норма є гомоморфізмом мультиплікативної групи Z [d] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))])на мультиплікативну групу Z (\displaystyle \mathbb (Z) )тому норма оборотних елементів кільця може дорівнювати тільки 1 (\displaystyle 1)або − 1 (\displaystyle -1). Для того, щоб вирішити рівняння Пелля a 2 − d b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1)достатньо знайти всі оборотні елементи кільця цілих (також звані одиницями кільця) і виділити серед них такі, що мають норму 1 (\displaystyle 1). Відповідно до теореми Дирихле про одиницях , всі оборотні елементи даного кільця є ступенями одного елемента (з точністю до множення на − 1 (\displaystyle -1)), тому знаходження всіх рішень рівняння Пелля досить знайти одне фундаментальне рішення.
Див. також
Література
- Х. Кох.Алгебраїчна теорія чисел. - М.: ВІНІТІ, 1990. - Т. 62. - 301 с. - (Підсумки науки та техніки. Серія «Сучасні проблеми математики. Фундаментальні напрямки».).
- Чеботарьов Н.Г.Основи теорії Галлуа. Частина 2. - М.: Едіторіал УРСС, 2004.
- Вейль Г.Алгебраїчна теорія чисел. Пров. з англ. - М.: Едіторіал УРСС, 2011.
- Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
Ми бачили, що дії над многочленами зводяться до дій з їх коефіцієнтами. При цьому для додавання, віднімання та множення багаточленів достатньо трьох арифметичних дій - поділ чисел не знадобився. Так як сума, різниця і добуток двох дійсних чисел знову є дійсними числами, то при складанні, відніманні та множенні багаточленів з дійсними коефіцієнтами в результаті виходять багаточлени з дійсними коефіцієнтами.
Однак не завжди доводиться мати справу з багаточленами, які мають будь-які дійсні коефіцієнти. Можливі випадки, коли по суті справи коефіцієнти повинні мати лише цілі або лише раціональні значення. Залежно від цього, які значення коефіцієнтів вважаються допустимими, змінюються властивості многочленов. Наприклад, якщо розглядати багаточлени з будь-якими дійсними коефіцієнтами, можна розкласти на множники:
Якщо ж обмежитися багаточленами з цілими коефіцієнтами, то розкладання (1) немає сенсу ми повинні вважати многочлен нерозкладним на множники.
Звідси видно, що теорія многочленів істотно залежить від цього, які коефіцієнти вважаються допустимими. Далеко не будь-яку сукупність коефіцієнтів можна вважати допустимою. Наприклад, розглянемо всі багаточлени, коефіцієнти яких – непарні цілі числа. Зрозуміло, що сума двох таких багаточленів не буде многочленом тієї самої типу: адже сума непарних чисел - парне число.
Поставимо питання: які «хороші» множини коефіцієнтів? Коли сума, різницю, добуток багаточленів з коефіцієнтами даного типу мають коефіцієнти того самого типу? Для відповіді це запитання введемо поняття числового кільця.
Визначення. Непорожня безліч чисел називається числовим кільцем, якщо разом з будь-якими двома числами а і воно містить їх суму, різницю та добуток. Це виражають також коротше, кажучи, що числове кільце замкнуте щодо операцій складання, віднімання та множення.
1) Безліч цілих чисел є числовим кільцем: сума, різницю і добуток цілих чисел - цілі числа. Багато натуральних чисел числовим кільцем не є, тому що різниця натуральних чисел може бути негативною.
2) Безліч всіх раціональних чисел- числове кільце, оскільки сума, різницю та добуток раціональних чисел раціональні.
3) Утворює числове кільце та безліч усіх дійсних чисел.
4) Числа виду а де і цілі, утворюють числове кільце. Це випливає із співвідношень:
5) Безліч непарних чисел не є числовим кільцем, оскільки сума непарних чисел парна. Безліч парних чисел - числове кільце.
Натуральні числа не є кільцем, тому що 0 не є натуральним числом, а також для натуральних чисел немає протилежних їм натуральних. Структура, що утворюється натуральними числами, називається півкільцем.Більш точно,
Півкільцемназивається комутативна напівгрупа за додаванням і напівгрупа з множення, в якій операції складання та множення пов'язані дистрибутивними законами.
Введемо тепер суворі визначення цілих чисел і доведемо їхню еквівалентність. Виходячи з уявлень про структури алгебри і того факту, що безліч натуральних числа є півкільцем, але не є кільцем, можна ввести наступне визначення:
Визначення 1.Кільцем цілих чисел називається мінімальне кільце, що містить у собі півкільце натуральних чисел.
Дане визначення нічого не повідомляє про зовнішній вигляд таких чисел. У шкільному курсі цілі числа визначаються як натуральні числа, протилежні їм і 0. Дане визначення також можна взяти за основу для побудови суворого визначення.
Визначення 2.Кільцем цілих чисел називається кільце, елементами якого є натуральні числа, протилежні їм і 0 (і тільки вони).
Теорема 1. Визначення 1 та 2 еквівалентні.
Доведення: Позначимо через Z 1 кільце цілих чисел у сенсі визначення 1, а через Z 2 – кільце цілих чисел у сенсі визначення 2. На початку доведемо, що Z 2 включається до Z 1 . Дійсно, всі елементи Z 2 це або натуральні числа (вони належать Z 1 , так як Z 1 містить у собі півкільце натуральних чисел), або їм протилежні (вони теж належать Z 1 , так як Z 1 кільце, а значить для кожного елемента цього кільця існує протилежний, і для кожного натурального n Î Z 1 , –n також належить Z 1), або 0 (0 Î Z 1 , так як Z 1 кільце, а в будь-якому кільці є 0), таким чином, будь-який елемент Z 2 належить також і Z 1 , отже Z 2 Í Z 1 . З іншого боку, Z 2 містить у собі півкільце натуральних чисел, а Z 1 є мінімальним кільцем, що містить у собі натуральні числа, тобто не може містити в собі ніякого іншогокільця, що задовольняє цю умову. Але ми показали, що воно містить у собі Z 2 , отже Z 1 = Z 2 . Теорему доведено.
Визначення 3.Кільцем цілих чисел називається кільце, елементами якого є всі можливі елементи, які у вигляді різниці b – а (всі можливі рішення рівняння a + x = b), де а і b – довільні натуральні числа.
Теорема 2. Визначення 3 еквівалентне двом попереднім.
Доведення: Позначимо через Z 3 кільце цілих чисел у значенні визначення 3, а через Z 1 = Z 2, як і раніше, - кільце цілих чисел у сенсі визначення 1 і 2 (їх рівність вже встановлено). Спочатку доведемо, що Z 3 включається до Z 2 . Справді, всі елементи Z 3 можна як деяких різниць натуральних чисел b – а. Для будь-яких двох натуральних чисел за теоремою трихотомії можливо три варіанти:
І тут різниця b – і навіть є числом натуральним і тому належить Z 2 .
У цьому випадку різницю двох рівних між собою елементів позначимо символом 0. Доведемо, що це дійсно нуль кільця, тобто нейтральний елемент щодо додавання. Для цього скористаємося визначенням різниці a – a = x o a = a + x і доведемо, що b + x = b для будь-якого натурального b. Для доказу достатньо додати до правої та лівої частини рівності a = a + x елемент b, а потім скористатися законом скорочення (всі ці дії можна виконувати, виходячи з відомих властивостей кілець). Нуль належить Z 2 .
У цьому випадку різницю a – b є число натуральне, позначимо
b – a = – (a – b). Доведемо, що елементи a – b та b – a справді є протилежними, тобто у сумі дають нуль. Справді, якщо позначити a – b = x, b – a = y, то отримаємо, що a = b + x, b = y + a. Складаючи почленно отримані рівності та скорочуючи b, отримаємо a = х + у + a, тобто х + у = а – а = 0. Таким чином a – b = – (b – a) є числом протилежним натуральному, тобто знову належить Z 2 . Таким чином, Z 3 і Z 2 .
З іншого боку Z 3 містить півкільце натуральних чисел, так як будь-яке натуральне число n завжди можна представити як
n = n / – 1 Î Z 3 ,
а значить Z 1 Í Z 3 , так як Z 1 є мінімальним кільцем, що містить у собі натуральні числа. Користуючись вже доведеним фактом, що Z 2 = Z 1 отримуємо Z 1 = Z 2 = Z 3 . Теорему доведено.
Хоча на перший погляд може здатися, що ніяких аксіом у перерахованих визначеннях цілих чисел немає, дані визначення є аксіоматичними, так як у всіх трьох визначеннях говориться, що безліч цілих чисел є кільцем. Тому аксіомами в аксіоматичній теорії цілих чисел служать умови визначення кільця.
Доведемо, що аксіоматична теорія цілих чисел несуперечлива. Для доказу необхідно побудувати модель кільця цілих чисел, користуючись свідомо несуперечливою теорією (у разі це може бути лише аксіоматична теорія натуральних чисел).
Згідно з визначенням 3, кожне ціле число є у вигляді різниці двох натуральних z = b – а. Порівняємо кожному цілому числу z відповідну пару
Введене ставлення є рефлексивним, симетричним та транзитивним (доказ надається читачеві).
Як і будь-яке відношення еквівалентності, дане відношення породжує розбиття безлічі різних пар натуральних чисел на класи еквівалентності, які ми позначатимемо як [
1) [
2) [
Покажемо, що введені визначення є коректними, тобто не залежать від вибору конкретних представників із класів пар. Іншими словами, якщо еквівалентні пари
Доведення: Застосуємо визначення еквівалентності пар:
Почленно склавши рівності (1) та (2), отримаємо:
а + b 1 + c + d 1 = b + a 1 + d + c 1 .
Усі складові в останній рівності – натуральні числа, тому ми маємо право застосувати комутативний та асоціативний закони додавання, що призводить нас до рівності
(а + с) + (b 1 + d 1) = (b + d) + (a 1 + c 1),
Для доказу коректності множення, рівність (1) помножимо на с, отримаємо:
ас + b 1 с = bс + a 1 с.
Потім перепишемо рівність (1) у вигляді b + a 1 = а + b 1 і помножимо на d:
bd + a 1 d = ad + b 1 d.
Почленно складемо отримані рівності:
ас + bd + a 1 d + b 1 с = bс + аd + b 1 d + a 1 с,
що означає, що
Потім ту ж процедуру проробимо з рівністю (2), тільки множити його на а 1 і b 1 . Отримаємо:
а 1 с + а 1 d 1 = а 1 d + а 1 c 1
b 1 d + b 1 c 1 = b 1 с + b 1 d 1 ,
а 1 с + b 1 d + b 1 c 1 + а 1 d 1 = а 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + а 1 c 1 ó
ó @
(тут ми довели, що ×
Таким чином, коректність запроваджених визначень доведена.
Далі безпосередньо перевіряються всі властивості кілець: асоціативний закон додавання та множення для класів пар, комутативний закон додавання, дистрибутивні закони. Наведемо як приклад доказ асоціативного закону складання:
Оскільки всі компоненти пар числа натуральні
= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =
= <(a + c), (b + d)> +
Інші закони перевіряються аналогічно (зауважимо, що корисним прийомом може бути окреме перетворення лівої і правої частини необхідної рівності одного й тому виду).
Необхідно також довести наявність нейтрального елемента додавання. Їм може бути клас пар виду [<с, с>]. Справді,
[
а + c + b = b + c + a (справедливо будь-яких натуральних чисел).
Крім того, для кожного класу пар
Можна також довести, що введена множина класів пар є комутативне кільце з одиницею (одиницею може бути клас пар [
[
Перевіримо, користуючись цим правилом, справедливість умов С1 та С2 (з визначення додавання натуральних чисел). Умова С1 (а + 1 = а/) у цьому випадку перепишеться у вигляді:
[
a + c / + b = a + b + 1 + c = b + c + a +1 = b + с + a /
(ще раз нагадаємо, що це компоненти натуральні).
Умова С2 матиме вигляд:
[
Перетворимо окремо ліву та праву частини даної рівності:
[
([
Отже, бачимо, що ліві і праві частини рівні, отже умова С2 справедливо. Доказ умови У1 надається читачеві. Умова У2 є наслідком дистрибутивного закону.
Отже, модель кільця цілих чисел побудована, отже, аксіоматична теорія цілих чисел несуперечлива, якщо несуперечлива аксіоматична теорія натуральних чисел.
Властивості операцій над цілими числами:
2) а×(–b) = –a×b = –(ab)
3) – (– a) = a
4) (–a)×(–b) = ab
5) a×(–1) = – a
6) a – b = – b + a = – (b – a)
7) - a - b = - (a + b)
8) (a – b) × c = ac – bc
9) (a – b) – c = a – (b + c)
10) a – (b – c) = a – b + c.
Докази всіх властивостей повторюють докази відповідних властивостей для кілець.
1) а + а×0 = а×1 + а×0 = a×(1 + 0) = a×1 = а, тобто а×0 є нейтральним елементом за додаванням.
2) а×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0, тобто елемент а×(–b) є протилежним до елемента а×b.
3) (– a) + a = 0 (за визначенням протилежного елемента). Аналогічно (– a) +(– (– a)) = 0. Прирівнюючи ліві частини рівностей та застосовуючи закон скорочення, отримаємо – (– a) = а.
4) (–a)×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(а×b)) = ab.
5) a×(–1) + а = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0
a×(–1) + а = 0
a×(–1) = –а.
6) За визначенням різниці a – b є така кількість х, що а = х + b. Додаючи до правої та лівої частини рівності –b зліва та користуючись комутативним законом, отримуємо першу рівність.
– b + a + b – a = –b + b + а – a = 0 + 0 = 0, що доводить другу рівність.
7) – a – b = – 1×a – 1×b = –1×(a +b) = – (a +b).
8) (a - b) xc = (a + (-1) x b) x c = ac + (-1) x bc = ac - bc
9) (a - b) - c = х,
a - b = х + c,
a - (b + c) = х, тобто
(a – b) – c = a – (b + c).
10) a – (b – c) = a + (– 1)×(b – c) = a + (– 1×b) + (–1)× (– c) = a – 1×b + 1× c = = a - b + c.
Завдання для самостійного вирішення
№2.1. У правому стовпці таблиці знайти пари еквівалентні парам, наведеним у лівому стовпці таблиці.
| а)<7, 5> | 1) <5, 7> |
| б)<2, 3> | 2) <1, 10> |
| в)<10, 10> | 3) <5, 4> |
| г)<6, 2> | 4) <15, 5> |
| 5) <1, 5> | |
| 6) <9, 9> |
Для кожної пари вказати їй протилежну.
№2.2. Обчислити
а) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; б) [<3, 8>] + [<4, 7>];
в) [<7, 4>] – [<8, 3>]; г) [<1, 5>] – [ <3, 2>];
д) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; е) [<2, 10>]× [<10, 2>].
№2.3. Для моделі цілих чисел, описаних у цьому розділі, перевірити комутативний закон додавання, асоціативний та комутативний закони множення, дистрибутивні закони.
У різних розділах математики, а також у застосуванні математики в техніці, часто зустрічається ситуація, коли операції алгебри проводяться не над числами, а над об'єктами іншої природи. Наприклад додавання матриць, множення матриць, додавання векторів, операції над многочленами, операції над лінійними перетвореннями і т.д.
Визначення 1. Кільцем називається безліч математичних об'єктів, у якому визначено дві дії - "складання" і "множення", які зіставляють упорядкованим парам елементів їх "суму" і "твір", що є елементами тієї самої множини. Ці дії задовольняють наступним вимогам:
1.a+b=b+a(Комутативність складання).
2.(a+b)+c=a+(b+c)(Асоціативність складання).
3. Існує нульовий елемент 0 такий, що a+0=a, за будь-якого a.
4. Для будь-кого aіснує протилежний елемент - aтакий, що a+(−a)=0.
5. (a+b)c=ac+bc(Ліва дистрибутивність).
5".c(a+b)=ca+cb(Права дистрибутивність).
Вимоги 2, 3, 4 означають, що безліч математичних об'єктів утворює групу, а разом з пунктом 1 ми маємо справу з комутативною (абельною) групою щодо складання.
Як очевидно з визначення, у загальному визначенні кільця на множення не накладається жодних обмежень, крім дистрибутивності зі складанням. Однак за різних ситуацій виникає необхідність розглядати кільця з додатковими вимогами.
6. (ab) c = a (bc)(Асоціативність множення).
7.ab=ba(Комутативність множення).
8. Існування одиничного елемента 1, тобто. такого a· 1 = 1 · a=aдля будь-якого елемента a.
9. Для будь-якого елемента елемента aіснує зворотний елемент a−1 такий, що aa −1 =a −1 a= 1.
У різних кільцях 6, 7, 8, 9 можуть виконуватися як окремо, так і в різних комбінаціях.
Кільце називається асоціативним, якщо виконується умова 6, комутативним, якщо виконано умову 7, комутативним і асоціативним якщо виконані умови 6 і 7. Кільце називається кільцем з одиницею, якщо виконано умову 8.
Приклади кілець:
1. Безліч квадратних матриць.
Справді. Виконання пунктів 1-5, 5" очевидна. Нульовим елементом є нульова матриця. Крім цього виконується пункт 6 (асоціативність множення), пункт 8 (поодиноким елементом є одинична матриця). Пункти 7 і 9 не виконуються тому що в загальному випадку множення квадратних матриць некомутативна, а також не завжди існує зворотне до квадратної матриці.
2. Безліч всіх комплексних чисел.
3. Безліч всіх дійсних чисел.
4. Безліч всіх раціональних чисел.
5. Безліч всіх цілих чисел.
Визначення 2. Будь-яка система чисел, що містить суму, різницю та добуток будь-яких двох своїх чисел, називається числовим кільцем.
Приклади 2-5 є числовими кільцями. Числовими кільцями є також всі парні числа, а також усі цілі числа, що діляться без залишку, на деяке натуральне число n. Зазначимо, що безліч непарних чисел перестав бути кільцем т.к. сума двох непарних чисел є парним числом.