Кольцо целых чисел его свойства. Проблема представления данных
Примеры
a + b i {\displaystyle a+bi} где a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} рациональные числа, i {\displaystyle i} - мнимая единица . Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с комплексными числами , и у каждого ненулевого элемента существует обратный, как это видно из равенства (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. {\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.} Из этого следует, что рациональные гауссовы числа образуют поле, являющееся двумерным пространством над (то есть квадратичным полем).- Более общо, для любого свободного от квадратов целого числа d {\displaystyle d} Q (d) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} будет квадратичным расширением поля Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .
- Круговое поле Q (ζ n) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} получается добавлением в Q {\displaystyle \mathbb {Q} } примитивного корня n -й степени из единицы. Поле должно содержать и все его степени (то есть все корни n -й степени из единицы), его размерность над Q {\displaystyle \mathbb {Q} } равняется функции Эйлера φ (n) {\displaystyle \varphi (n)} .
- Действительные и комплексные числа имеют бесконечную степень над рациональными, поэтому они не являются числовыми полями. Это следует из несчетности: любое числовое поле является счётным .
- Поле всех алгебраических чисел A {\displaystyle \mathbb {A} } не является числовым. Хотя расширение A ⊃ Q {\displaystyle \mathbb {A} \supset \mathbb {Q} } алгебраично, оно не является конечным.
Кольцо целых числового поля
Поскольку числовое поле является алгебраическим расширением поля Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , любой его элемент является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами (то есть является алгебраическим). Более того, каждый элемент является корнем многочлена с целыми коэффициентами, так как можно домножить все рациональные коэффициенты на произведение знаменателей. Если же данный элемент является корнем некоторого унитарного многочлена с целыми коэффициентами, он называется целым элементом (или алгебраическим целым числом). Не все элементы числового поля целые: например, легко показать что единственные целые элементы Q {\displaystyle \mathbb {Q} } - это обычные целые числа .
Можно доказать, что сумма и произведение двух алгебраических целых чисел - снова алгебраическое целое число, поэтому целые элементы образуют подкольцо числового поля K {\displaystyle K} , называемое кольцом целых поля K {\displaystyle K} и обозначаемое . Поле не содержит делителей нуля и это свойство наследуется при переходе к подкольцу, поэтому кольцо целых целостно ; поле частных кольца O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} - это само поле K {\displaystyle K} . Кольцо целых любого числового поля обладает следующими тремя свойствами: оно целозамкнуто , нётерово и одномерно . Коммутативное кольцо с такими свойствами называется дедекиндовым в честь Рихарда Дедекинда .
Разложение на простые и группа классов
В произвольном дедекиндовом кольце существует и единственно разложение ненулевых идеалов в произведение простых . Однако не любое кольцо целых удовлетворяет свойству факториальности : уже для кольца целых квадратичного поля O Q (− 5) = Z [ − 5 ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} разложение не единственно:
6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}Введя на этом кольце норму, можно показать, что эти разложения действительно различны, то есть одно нельзя получить из другого умножением на обратимый элемент .
Степень нарушения свойства факториальности измеряют при помощи группы классов идеалов , эта группа для кольца целых всегда конечна и её порядок называют числом классов.
Базисы числового поля
Целый базис
Целый базис числового поля F степени n - это множество
B = {b 1 , …, b n }из n элементов кольца целых поля F , такое что любой элемент кольца целых O F поля F можно единственным способом записать как Z -линейную комбинацию элементов B ; то есть для любого x из O F существует и единственно разложение
x = m 1 b 1 + … + m n b n ,где m i - обычные целые числа. В этом случае любой элемент F можно записать как
m 1 b 1 + … + m n b n ,где m i - рациональные числа. После это целые элементы F выделяются тем свойством, что это в точности те элементы, для которых все m i целые.
Используя такие иструменты как локализация и эндоморфизм Фробениуса , можно построить такой базис для любого числового поля. Его построение является встроенной функцией во многих системах компьютерной алгебры .
Степенной базис
Пусть F - числовое поле степени n . Среди всех возможных базисов F (как Q -векторного пространства), существуют степенные базисы, то есть базисы вида
B x = {1, x , x 2 , …, x n −1 }для некоторого x ∈ F . Согласно теореме о примитивном элементе , такой x всегда существует, его называют примитивным элементом данного расширения.
Норма и след
Алгебраическое числовое поле является конечномерным векторным пространством над Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (обозначим его размерность за n {\displaystyle n} ), и умножение на произвольный элемент поля является линейным преобразованием этого пространства. Пусть e 1 , e 2 , … e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots e_{n}} - какой-нибудь базис F , тогда преобразованию x ↦ α x {\displaystyle x\mapsto \alpha x} соответствует матрица A = (a i j) {\displaystyle A=(a_{ij})} , определяемая условием
α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . {\displaystyle \alpha e_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .}
Элементы этой матрицы зависят от выбора базиса, однако от него не зависят все инварианты матрицы, такие как определитель и след . В контексте алгебраических расширений, определитель матрицы умножения на элемент называется нормой этого элемента (обозначается N (x) {\displaystyle N(x)} ); след матрицы - следом элемента (обозначается Tr (x) {\displaystyle {\text{Tr}}(x)} ).
След элемента является линейным функционалом на F :
Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) {\displaystyle {\text{Tr}}(x+y)={\text{Tr}}(x)+{\text{Tr}}(y)} и Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q {\displaystyle {\text{Tr}}(\lambda x)=\lambda {\text{Tr}}(x),\lambda \in \mathbb {Q} } .Норма является мультипликативной и однородной функцией:
N (x y) = N (x) ⋅ N (y) {\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)} и N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q {\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in \mathbb {Q} } .В качестве исходного базиса можно выбрать целый базис , умножению на целое алгебраическое число (то есть на элемент кольца целых ) в этом базисе будет соответствовать матрица с целыми элементами. Следовательно, след и норма любого элемента кольца целых являются целыми числами.
Пример использования нормы
Пусть d {\displaystyle d} - - целый элемент, так как он является корнем приведенного многочлена x 2 − d {\displaystyle x^{2}-d} ). В этом базисе умножению на a + b d {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}} соответствует матрица
(a d b b a) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}}Следовательно, N (a + b d) = a 2 − d b 2 {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}} . На элементах кольца эта норма принимает целые значения. Норма является гомоморфизмом мультипликативной группы Z [ d ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]} на мультипликативную группу Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , поэтому норма обратимых элементов кольца может быть равна только 1 {\displaystyle 1} или − 1 {\displaystyle -1} . Для того, чтобы решить уравнение Пелля a 2 − d b 2 = 1 {\displaystyle a^{2}-db^{2}=1} , достаточно найти все обратимые элементы кольца целых (также называемые единицами кольца ) и выделить среди них имеющие норму 1 {\displaystyle 1} . Согласно теореме Дирихле о единицах , все обратимые элементы данного кольца являются степенями одного элемента (с точностью до умножения на − 1 {\displaystyle -1} ), поэтому для нахождения всех решений уравнения Пелля достаточно найти одно фундаментальное решение.
См. также
Литература
- Х. Кох. Алгебраическая теория чисел . - М. : ВИНИТИ , 1990. - Т. 62. - 301 с. - (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
- Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. - М. : Едиториал УРСС, 2004.
- Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. - М. : Едиториал УРСС, 2011.
- Serge Lang , Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
Мы видели, что действия над многочленами сводятся к действиям над их коэффициентами. При этом для сложения, вычитания и умножения многочленов достаточно трех арифметических действий - деление чисел не понадобилось. Так как сумма, разность и произведение двух действительных чисел снова являются действительными числами, то при сложении, вычитании и умножении многочленов с действительными коэффициентами в результате получаются многочлены с действительными же коэффициентами.
Однако не всегда приходится иметь дело с многочленами, имеющими любые действительные коэффициенты. Возможны случаи, когда по самой сути дела коэффициенты должны иметь лишь целые или лишь рациональные значения. В зависимости от того, какие значения коэффициентов считаются допустимыми, меняются свойства многочленов. Например, если рассматривать многочлены с любыми действительными коэффициентами, то можно разложить на множители:
Если же ограничиться многочленами с целыми коэффициентами, то разложение (1) не имеет смысла и мы должны считать многочлен неразложимым на множители.
Отсюда видно, что теория многочленов существенно зависит от того, какие коэффициенты считаются допустимыми. Далеко не любую совокупность коэффициентов можно принять за допустимую. Например, рассмотрим все многочлены, коэффициенты которых - нечетные целые числа. Ясно, что сумма двух таких многочленов уже не будет многочленом того же типа: ведь сумма нечетных чисел - четное число.
Поставим вопрос: каковы «хорошие» множества коэффициентов? Когда сумма, разность, произведение многочленов с коэффициентами данного типа имеют коэффициенты того же типа? Для ответа на этот вопрос введем понятие числового кольца.
Определение. Непустое множество чисел называется числовым кольцом, если вместе с любыми двумя числами а и оно содержит их сумму, разность и произведение. Это выражают также короче, говоря, что числовое кольцо замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.
1) Множество целых чисел является числовым кольцом: сумма, разность и произведение целых чисел - целые числа. Множество же натуральных чисел числовым кольцом не является, так как разность натуральных чисел может быть отрицательной.
2) Множество всех рациональных чисел - числовое кольцо, так как сумма, разность и произведение рациональных чисел рациональны.
3) Образует числовое кольцо и множество всех действительных чисел.
4) Числа вида а где а и целые, образуют числовое кольцо. Это следует из соотношений:
5) Множество нечетных чисел не является числовым кольцом, так как сумма нечетных чисел четна. Множество же четных чисел - числовое кольцо.
Натуральные числа не являются кольцом, так как 0 не является натуральным числом, а также для натуральных чисел нет натуральных противоположных им. Структура, образуемая натуральными числами, называется полукольцом. Более точно,
Полукольцом называется коммутативная полугруппа по сложению и полугруппа по умножению, в которой операции сложения и умножения связаны дистрибутивными законами.
Введём теперь строгие определения целых чисел и докажем их эквивалентность. Исходя из представлений об алгебраических структурах и того факта, что множество натуральных числе является полукольцом, но не является кольцом, можно ввести следующее определение:
Определение 1. Кольцом целых чисел называется минимальное кольцо, содержащее в себе полукольцо натуральных чисел.
Данное определение ничего не сообщает о внешнем виде таких чисел. В школьном курсе целые числа определяются как натуральные числа, им противоположные и 0. Данное определение также можно взять за основу для построения строгого определения.
Определение 2. Кольцом целых чисел называется кольцо, элементами которого являются натуральные числа, им противоположные и 0 (и только они).
Теорема 1 . Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство : Обозначим через Z 1 кольцо целых чисел в смысле определения 1, а через Z 2 – кольцо целых чисел в смысле определения 2. В начале докажем, что Z 2 включается в Z 1 . Действительно, все элементы Z 2 это либо натуральные числа (они принадлежат Z 1 , так как Z 1 содержит в себе полукольцо натуральных чисел), либо им противоположные (они тоже принадлежат Z 1 , так как Z 1 кольцо, а значит для каждого элемента этого кольца существует противоположный, и для каждого натурального n Î Z 1 , –n также принадлежит Z 1), либо 0 (0 Î Z 1 , так как Z 1 кольцо, а в любом кольце имеется 0), таким образом, любой элемент из Z 2 принадлежит также и Z 1 , а значит Z 2 Í Z 1 . С другой стороны, Z 2 содержит в себе полукольцо натуральных чисел, а Z 1 является минимальным кольцом, содержащим в себе натуральные числа, то есть не может содержать в себе никакого другого кольца, удовлетворяющего этому условию. Но мы показали, что оно содержит в себе Z 2 , а значит Z 1 = Z 2 . Теорема доказана.
Определение 3. Кольцом целых чисел называется кольцо, элементами которого являются все возможные элементы, представимые в виде разности b – а (все возможные решения уравнения a + x = b), где а и b – произвольные натуральные числа.
Теорема 2 . Определение 3 эквивалентно двум предыдущим.
Доказательство : Обозначим через Z 3 кольцо целых чисел в смысле определения 3, а через Z 1 = Z 2 , как и раньше, – кольцо целых чисел в смысле определения 1 и 2 (их равенство уже установлено). Сначала докажем, что Z 3 включается в Z 2 . Действительно, все элементы Z 3 можно представить в виде некоторых разностей натуральных чисел b – а. Для любых двух натуральных чисел по теореме о трихотомии возможно три варианта:
В этом случае разность b – а также является числом натуральным и потому принадлежит Z 2 .
В этом случае разность двух равных между собой элементов обозначим символом 0. Докажем, что это действительно нуль кольца, то есть нейтральный элемент относительно сложения. Для этого воспользуемся определением разности a – a = x ó a = a + x и докажем, что b + x = b для любого натурального b. Для доказательства достаточно прибавить к правой и левой части равенства a = a + x элемент b, а затем воспользоваться законом сокращения (все эти действия можно выполнять исходя из известных свойств колец). Нуль же принадлежит Z 2 .
В этом случае разность a – b есть число натуральное, обозначим
b – a = – (a – b). Докажем, что элементы a – b и b – a действительно являются противоположными, то есть в сумме дают нуль. В самом деле, если обозначить a – b = х, b – a = у, то получим, что a = b + х, b = у + a. Складывая почленно полученные равенства и сокращая b, получим a = х + у + a, то есть х + у = а – а = 0. Таким образом a – b = – (b – a) является числом противоположным натуральному, то есть вновь принадлежит Z 2 . Таким образом, Z 3 Í Z 2 .
С другой стороны Z 3 содержит в себе полукольцо натуральных чисел, так как любое натуральное число n всегда можно представить как
n = n / – 1 Î Z 3 ,
а значит Z 1 Í Z 3 , так как Z 1 является минимальным кольцом, содержащим в себе натуральные числа. Пользуясь уже доказанным фактом, что Z 2 = Z 1 , получаем Z 1 = Z 2 = Z 3 . Теорема доказана.
Хотя на первый взгляд может показаться, что никаких аксиом в перечисленных определениях целых чисел нет, данные определения являются аксиоматическими, так как во всех трёх определениях говорится, что множество целых чисел является кольцом. Поэтому аксиомами в аксиоматической теории целых чисел служат условия из определения кольца.
Докажем, что аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива . Для доказательства необходимо построить модель кольца целых чисел, пользуясь заведомо непротиворечивой теорией (в нашем случае это может быть только аксиоматическая теория натуральных чисел).
Согласно определению 3, каждое целое число представимо в виде разности двух натуральных z = b – а. Сопоставим каждому целому числу z соответствующую пару
Введённое отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным (доказательство предоставляется читателю).
Как и всякое отношение эквивалентности, данное отношение порождает разбиение множества всевозможных пар натуральных чисел на классы эквивалентности, которые мы будем обозначать как [
1) [
2) [
Покажем, что введенные определения корректны, то есть не зависят от выбора конкретных представителей из классов пар. Иными словами, если эквивалентны пары
Доказательство : Применим определение эквивалентности пар:
Почленно сложив равенства (1) и (2), получим:
а + b 1 + с + d 1 = b + a 1 + d + c 1 .
Все слагаемые в последнем равенстве – натуральные числа, поэтому мы в праве применить коммутативный и ассоциативный законы сложения, что приводит нас к равенству
(а + с) + (b 1 + d 1)= (b + d) + (a 1 + c 1),
которое равносильно условию @ .
Для доказательства корректности умножения, равенство (1) умножим на с, получим:
ас + b 1 с= bс + a 1 с.
Затем перепишем равенство (1) в виде b + a 1 = а + b 1 и умножим на d:
bd + a 1 d = аd + b 1 d.
Почленно сложим полученные равенства:
ас + bd + a 1 d + b 1 с = bс + аd + b 1 d + a 1 с,
что означает, что
Затем ту же процедуру проделаем с равенством (2), только умножать его будем на а 1 и b 1 . Получим:
а 1 с + а 1 d 1 = а 1 d + а 1 c 1
b 1 d + b 1 c 1 = b 1 с + b 1 d 1 ,
а 1 с + b 1 d + b 1 c 1 + а 1 d 1 = а 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + а 1 c 1 ó
ó @
(здесь мы доказали, что ×
Таким образом, корректность введённых определений доказана.
Далее непосредственно проверяются все свойства колец: ассоциативный закон сложения и умножения для классов пар, коммутативный закон сложения, дистрибутивные законы. Приведем в качестве примера доказательство ассоциативного закона сложения:
Так как все компоненты пар числа натуральные
= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =
= <(a + c), (b + d)> +
Остальные законы проверяются аналогично (заметим, что полезным приёмом может служить отдельное преобразование левой и правой части требуемого равенства к одному и тому же виду).
Необходимо также доказать наличие нейтрального элемента по сложению. Им может служить класс пар вида [<с, с>]. Действительно,
[
а + c + b = b + c + a (справедливо для любых натуральных чисел).
Кроме того, для каждого класса пар [
Можно также доказать, что введённое множество классов пар есть коммутативное кольцо с единицей (единицей может служить класс пар [
[
Проверим, пользуясь данным правилом, справедливость условий С1 и С2 (из определения сложения натуральных чисел). Условие С1 (а + 1 = а /) в данном случае перепишется в виде:
[
[
a + c / +b = a + b + 1 + c = b + c + a +1 = b + с + a /
(ещё раз напомним, что все компоненты натуральные).
Условие С2 будет иметь вид:
[
Преобразуем отдельно левую и правую части данного равенства:
[
([
Таким образом, мы видим, что левые и правые части равны, значит условие С2 справедливо. Доказательство условия У1 предоставляется читателю. условие У2 является следствием дистрибутивного закона.
Итак, модель кольца целых чисел построена, а, следовательно, аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива, если непротиворечива аксиоматическая теория натуральных чисел.
Свойства операций над целыми числами :
2) а×(–b) = –a×b = –(ab)
3) – (– a) = a
4) (–a)×(–b) = ab
5) a×(–1) = – a
6) a – b = – b + a = – (b – a)
7) – a – b = – (a +b)
8) (a – b) ×c = ac – bc
9) (a – b) – c = a – (b + c)
10) a – (b – c) = a – b + c.
Доказательства всех свойств повторяют доказательства соответствующих свойств для колец.
1) а + а×0 = а×1 + а×0 = a ×(1 + 0) = a×1 = а, то есть а×0 является нейтральным элементом по сложению.
2) а×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0, то есть элемент а×(–b) является противоположным к элементу а×b.
3) (– a) + a = 0 (по определению противоположного элемента). Аналогично (– a) +(– (– a)) = 0. Приравнивая левые части равенств и применяя закон сокращения, получим – (– a) = а.
4) (–a)×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(а×b)) = ab.
5) a×(–1) + а = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0
a×(–1) + а = 0
a×(–1) = –а.
6) По определению разности a – b есть такое число х, что а = х + b. Прибавляя к правой и левой части равенства –b слева и пользуясь коммутативным законом, получаем первое равенство.
– b + a + b – a = –b + b + а – a = 0 + 0 = 0, что доказывает второе равенство.
7) – a – b = – 1×a – 1×b = –1×(a +b) = – (a +b).
8) (a – b) ×c = (a +(–1)× b) ×c = ac +(–1)×bc = ac – bc
9) (a – b) – c = х,
a – b = х + c,
a – (b + c) = х, то есть
(a – b) – c = a – (b + c).
10) a – (b – c) = a + (– 1)×(b – c) = a + (– 1×b) + (–1)× (– c) = a – 1×b + 1×c = = a – b + c.
Задания для самостоятельного решения
№ 2.1. В правом столбце таблицы найти пары эквивалентные парам, приведённым в левом столбце таблицы.
| а) <7, 5> | 1) <5, 7> |
| б) <2, 3> | 2) <1, 10> |
| в) <10, 10> | 3) <5, 4> |
| г) <6, 2> | 4) <15, 5> |
| 5) <1, 5> | |
| 6) <9, 9> |
Для каждой пары указать ей противоположную.
№ 2.2. Вычислить
а) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; б)[<3, 8>] + [<4, 7>];
в) [<7, 4>] – [<8, 3>]; г) [<1, 5>] – [ <3, 2>];
д) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; е) [<2, 10>]× [<10, 2>].
№ 2.3. Для модели целых чисел, описанной в данном разделе, проверить коммутативный закон сложения, ассоциативный и коммутативный законы умножения, дистрибутивные законы.
В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.
Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:
1. a+b=b+a (коммутативность сложения).
2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).
3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .
4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.
5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).
5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).
Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.
Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.
6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).
7. ab=ba (коммутативность умножения).
8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .
9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.
В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.
Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.
Примеры колец:
1. Множество квадратных матриц.
Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.
2. Множество всех комплексных чисел.
3. Множество всех действительных чисел.
4. Множество всех рациональных чисел.
5. Множество всех целых чисел.
Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .
Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.