Кольцо рациональных чисел является полем. Понятие кольца, простейшие свойства колец

Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям:

1) относительно операции сложения К - коммутативнаятруппа;

2) относительно операции умножения К - полугруппа;

3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, c K , называется кольцом (К,+, ).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а , b , то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L - подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b L выполняется а+b L и ab L.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей.

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е - единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены

с переменной х и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 , ..., а n , из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т над кольцом K.

4. Пусть X - произвольное множество, К -произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

где + и - операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K . Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.

Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n , (а т) п =а тп для всех m , n и всех a .

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1) для всех a a 0=0 a=0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab) ;

3) - a=(-1)a .

Действительно:

2) 0=a (аналогично (-a)b=-(ab));

3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a .

Поле

В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а =0, либо b =0. Но в кольце квадратных матриц порядка n >1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = .

Если в кольце К ab=0 при а 0, b , то а называется левым, а b - правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.

1. В кольце функции f: R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Для них f 1 (x) =0 при x и f 2 (x )=0 при x , а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x) - нулевая функция, хотя f 1 (x) и f 2 (x) . Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.

2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:

(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);

(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).

Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).

Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с. Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Пусть К - кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а -1 , для которого aa -1 =a -1 a=1 .

Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab =0 , то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0 (аналогично ba=0 ).

Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.

Действительно, умножение в К ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а и b обратимы, то
(аb) -1 =b -1 a -1 .

Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K \{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.

Коммутативное кольцо Р с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.

Произведение аb -1 записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0 . Элемент является единственным решением уравнения bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:

Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= - единственное решение уравнения bdt=da+bc.

1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.

8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8

8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.

8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.

8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество действительных чисел, отличных от нуля.

8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) группу;

б) кольцо;

8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:

а) некоммутативное кольцо;

б) коммутативное кольцо;

8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) кольцо;

8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:

8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

а) группу;

б) абелеву группу.

8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.

8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.

Fsb4000 писал(а):

2. а)делимая абелева группа не имеет максимальных подгрупп

Думаю, хватит уже полных решений, да? Модераторы ведь зароют за то, что я Вам уже две задачи полностью расписал!!! Посему, чтобы их не злить, ограничимся идеями.

Ниже мы везде считаем, что натуральный ряд начинается с единицы.

Предположите, что --- делимая группа и --- максимальная подгруппа в . Рассмотрите

Докажите, что --- подгруппа в , содержащая . В силу максимальности возможны только два случая: или .

Рассмотрите каждый из случаев по отдельности и придите к противоречию. В случае возьмите и докажите, что

есть собственная подгруппа в , содержащая и не равная . В случае зафиксируйте и , такие что и покажите, что

является собственной подгруппой в , содержащей и не совпадающей с .

Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:

Fsb4000 писал(а):

б) привести примеры делимых абелевых групп,могут ли они быть конечными?

Самый простой пример --- это . Ну или , --- что Вам больше нравится.

Насчёт конечности... конечно же делимая группа не может быть конечной (за исключением тривиального случая, когда группа состоит из одного нуля). Предположите, что --- конечная группа. Докажите, что для некоторого и всех . Потом возьмите такое и узрите, что уравнение неразрешимо при ненулевом .

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

Fsb4000 писал(а):

4. Построить пример коммутативного и ассоциативного кольца R ()(), в котором нет максимальных идеалов.

Возьмите абелеву группу . Покажите, что она делимая. Умножение задайте следующим образом:

Покажите, что для выполняется всё, что надо.

Упс!.. А ведь ошибся я тут, похоже. Максимальный идеал есть, он равен . Н-да, надо ещё подумать... Но не буду я сейчас ничего думать, а поеду лучше на работу, в универ. Надо же Вам хоть что-то для самостоятельного решения оставить!

Добавлено спустя 10 минут 29 секунд:

Fsb4000 писал(а):

1.Доказать что произвольное кольцо с единицей содержит максимальный идеал.

по решению: 1. По лемме Цорна выберем минимальный положительный элемент, он и будет порождающим идеал.

Ну... не знаю, что Вы там за минимальный положительный элемент такой придумали. По моему, это полная чушь. Какой Вы там в произвольном кольце "положительный элемент" найдёте, если в этом кольце порядок не задан и непонятно, что там "положительное", а что "отрицательное"...

Но насчёт того, что надо применять лемму Цорна --- это правильная идея. Только применять её надо к множеству собственных идеалов кольца. Берёте это множество, упорядочиваете его обычным отношением включения и показываете, что данное упорядочивание индуктивно. Потом, по лемме Цорна, заключаете, что в этом множестве есть максимальный элемент. Этот максимальный элемент и будет максимальным идеалом!

Когда будете показывать индуктивность, то в качестве верхней грани для цепи собственных идеалов берите их объединение. Оно тоже будет идеалом, а собственным оно окажется потому, что единица в него не войдёт. И вот, кстати, в кольце без единицы доказательство через лемму Цорна не проходит, а всё дело именно в этом моменте

Добавлено спустя 34 минуты 54 секунды:

Alexiii писал(а):

Любое кольцо по определению имеет единицу,так что немыслимо писать "кольцо с единицей". Любое кольцо само по себе идеал кольца и притом,очевидно,максимальный...

Нас учили, что наличие единицы в определение кольца не входит. Так что произвольное кольцо не обязано содержать единицу, а если она в нём всё-таки есть, то сказать про такое кольцо, что оно является "кольцом с единицей", более чем уместно!

Думаю, что порывшись в библиотеке, я найду кучу весьма солидных учебников по алгебре, которые подтверждают мою точку зрения. И в матэнциклопедии написано, что кольцо не обязано единицу иметь. Так что всё в условии задачи у автора темы правильно, нечего на него гнать!

Максимальным идеалом кольца, по определению , называется идеал, максимальный по включению среди собственных идеалов . Об этом не то что во многих, а просто во всех учебниках по алгебре написано, в которых теория колец присутствует. Так что насчёт максимальности у Вас ещё один гон совершенно не по теме!

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

Alexiii писал(а):

Вообще,как я понял из ваших комментов, "кольца с единицией" пишут только для того,чтобы исключить одноэлементный случай.

Совершенно неправильно поняли! "Кольца с единицей" пишут для того, чтобы обозначить наличие единицы в кольце

А колец без единицы полно. К примеру, множество чётных целых чисел с обычными сложением и умножением образуют такое кольцо.

Понятие кольца, простейшие свойства колец.

Алгебра (K , +, ∙) называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (K , +) – коммутативная группа;

2.
a(b+c ) = ab+ac (b+c )a = ba+ca ;

3. a (bc ) = (ab ) c .

Если операция умножения в кольце коммутативная, то кольцо называется коммутативным.

Пример. Алгебры (Z, +, ∙), (Q , +, ∙), (R , + ,∙) являются кольцами.

Кольцо обладает следующими свойствами: имеет место

1) a + b = a => b = 0;

2) a + b = 0 => b = - a ;

3) – (- a ) = a ;

4) 0∙a = a ∙0 = 0 (0 – ноль кольца);

5) (-a )∙b = a ∙(-b ) = -a ∙b ;

6) (a – b )∙c = a ∙c – b ∙c , где a – b = a + (-b) .

Докажем свойство 6. (a – b )∙c = (a + (-b ))∙c = a ∙c + (-b )∙c = a ∙c +(-b ∙c )= =a ∙c – b ∙c .

Пусть (K A K называется подкольцом кольца (K ,+,∙), если оно является кольцом относительно операций в кольце (K , +, ∙).

Теорема. Пусть (K , +, ∙) – кольцо. Непустое подмножество A K , является подкольцом кольца К тогда и только тогда, когда
a - b , a ∙b
.

Пример. Кольцо (Q, +, ∙) является подкольцом кольца (А , +, ∙), где A = ={a + b | a , b Q}.

Понятие поля. Простейшие свойства полей .

Определение. Коммутативное кольцо (Р , +, ∙) с единицей, где ноль кольца не совпадает с единицей кольца, называется полем, если
a ≠0 существует ему обратный элемент а -1 , а ∙ а -1 = е , е – единица кольца.

Все свойства колец справедливы для полей. Для поля (Р ,+,∙) справедливы также следующие свойства:

1)
a ≠0 уравнение ах = b имеет решение и притом единственное;

2) ab = e |=> a ≠0 b = а -1 ;

3)

c ≠0 ac = bc => a=b ;

4) ab = 0
a = 0 b = 0;

5) ad = bc (b ≠0, d ≠0);

6)
;

.

Пример. Алгебры (Q, +, ∙), (А , +, ∙), где А = {a +b | a , b Q}, (R , +, ∙) – поля.

Пусть (Р ,+,∙) – поле. Непустое подмножество F P , являющееся полем относительно операции в поле (Р ,+,∙) называется подполем поля Р .

Пример. Поле (Q,+,∙) является подполем поля действительных чисел (R,+,∙).

Задачи для самостоятельного решения

1. Покажите, что множество относительно операции умножения есть абелева группа.

2. На множестве Q\{0}определена операция а b =
. Докажите, что алгебра (Q\{0},) является группой.

3. На множестве Z задана бинарная алгебраическая операция, определенная по правилу, а b = а+ b – 2. Выясните, является ли алгебра (Z,) группой.

4. На множестве А = {(a , b )
} определена операция (а, b ) (c , d ) = (ac – bd , ad + bc ). Докажите, что алгебра (А, ) – группа.

5. Пусть Т – множество всех отображений
заданных правилом
, где а, b Q, a
Докажите, что Т является группой относительно композиции отображений.

6. Пусть А ={1,2,…,n }. Взаимнооднозначное отображение f :
называется подстановкой n – ой степени. Подстановку n – ой степени удобно записывать виде таблицы
, где Произведение двух подстановок
множества А определяется как композиция отображений . По определению

Доказать, что множество всех подстановок n – ой степени является группой относительно произведения подстановок.

7. Выясните, образует ли кольцо относительно сложения, умножения:

a ) N ; b ) множество всех нечетных целых чисел; c)множество всех четных целых чисел; d ) множество чисел вида
где а, b

8. Является ли кольцом множество К ={а +b
} относительно операций сложения и умножения.

9. Покажите, что множество А ={a +b } относительно операций сложения и умножения есть кольцо.

10. На множестве Z определены две операции: a b =a +b +1, ab = ab + a + b . Доказать, что алгебра

11. На множестве классов вычетов по модулю m заданы две бинарные операции:Доказать, что алгебра
коммутативное кольцо с единицей.

12 . Опишите все подкольца кольца
.

13. Выясните, какие из следующих множеств действительных чисел являются полями относительно операций сложения и умножения:

a ) рациональные числа с нечетными знаменателями;

b ) числа вида
c рациональными а, b ;

c ) числа вида
с рациональными а , b ;

d ) числа вида
с рациональными a , b , c .

§5. Поле комплексных чисел. Операции над комплексными

числами в алгебраической форме

Поле комплексных чисел .

Пусть заданы две алгебры (А ,+,∙), (Ā , , ◦). Отображение f : A в(на) >Ā , удовлетворяющее условиям:
f (a +b ) = f (a ) f (b ) f (a ◦b ) = f (a ) ◦ f (b ), называется гомоморфизмом алгебры (А , +, ∙) в(на) алгебру (Ā , , ◦).

Определение. Гомоморфное отображение f алгебры (А , +, ∙) на алгебру (Ā , , ◦) называется изоморфным отображением, если отображение f множества А на Ā инъективно. С точки зрения алгебры изоморфные алгебры неразличимы, т.е. обладают одинаковыми свойствами.

Над полем R уравнение вида x 2 +1 = 0 не имеет решений. Построим поле, которое содержит подполе, изоморфное полю (R ,+,∙), и в котором уравнение вида x 2 +1 = 0 имеет решение.

На множестве C = R × R = {(a , b ) | a , b R } введем операции сложения и умножения следующим образом: (a , b ) (c , d ) = (a + c , b + d ), (a , b ) ◦ (c , d ) = (ac -bd , ad +bc ). Нетрудно доказать, что алгебра (C, ,◦) коммутативное кольцо с единицей. Пара (0,0) – ноль кольца, (1,0) – единица кольца. Покажем, что кольцо (С , ,◦) – поле. Пусть (a , b ) C, (a , b ) ≠ (0,0) и (x ,y ) C такая пара чисел, что (a , b )◦(x , y ) = (1,0). (a , b )◦(x , y ) = (1,0) (ax – by , ay + bx ) = (1,0)

(1)

Из (1) =>
,
(a , b ) -1 =
. Следовательно (С, +, ∙) – поле. Рассмотрим множество R 0 = {(a ,0) | aR }. Так как (a ,0) (b ,0) = (a - b ,0)R 0 , (a ,0)◦(b ,0) = (ab ,0) R 0 ,
(a ,0) ≠ (0,0) (a ,0) -1 = (,0) R 0 , то алгебра (R 0, ,◦) – поле.

Построим отображение f : R
R 0 , определенное условием f (a )=(a ,0) . Так как f – биективное отображение и f (a + b )= (a + b ,0) = =(a ,0)(b ,0) = f (a )f (b ), f (a ∙b ) = (a ∙ b ,0) = (a ,0)◦(b ,0) =f (a )◦f (b ), то f – изоморфное отображение. Следовательно, (R , +,∙)
(R 0, ,◦). (R 0, ,◦) – поле действительных чисел.

Покажем, что уравнение вида х 2 +1 = 0 в поле (C , , ◦) имеет решения. (х,у ) 2 + (1,0) = (0,0) (x 2 - y 2 +1, 2xy ) = (0,0)

(2)

(0,1), (0, -1) – решения системы (2).

Построенное поле (C , ,◦) называется полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами.

Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Пусть (С, +, ∙) поле комплексных чисел,
C,
=(a , b ). Так как (R 0 ,+, ∙) (R , +, ∙), то любую пару (a ,0) отождествим с действительным числом a . Обозначим через ί = (0,1). Так как ί 2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, то ί называется мнимой единицей. Представим комплексное число
=(a ,b ) в виде: =(a ,b )=(a ,0) +(b ,0) ◦(0,1)=a +b ∙ί. Представление комплексного числа в виде, = а + b ί называется алгебраической формой записи числа . a называется действительной частью комплексного числа и обозначается Re, b – мнимая часть комплексного числа и обозначается Im.

Сложение комплексных чисел:

α = а+ bί , β = с+ d ί , α +β = (а, b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) = a + c + (b + d )ί.

Умножение комплексных чисел:

α∙β = (a , b )(c , d ) = (a ∙ c – b ∙ d , a ∙ d + b ∙ c ) = a ∙ c - b ∙ d + (a ∙ d + b ∙ c )ί.

Чтобы найти произведение комплексных чисел а+ bί и с+ d ί , нужно умножить а+ bί на с+ d ί как двучлен на двучлен, учитывая, что ί 2 = -1.

Частным от деления на β , β ≠ 0 называется такое комплексное число γ, что = γ∙β .

= γ∙β => γ = ∙β -1 . Так как
, то =∙β -1 = =(a , b )∙
Таким образом

Эту формулу можно получить, если числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю, т.е. на

с – dί .

Пример. Найти сумму, произведение, частное комплексных чисел

2+ 3ί , β = 3 - 4ί .

Решение. + β =(2 + 3ί ) + (3 – 4ί ) =5– ί, ∙β = (2 + 3ί) (3– 4ί ) = 6 –8ί + 9ί – –12ί 2 = 18 + ί .

§6. Извлечение корня n -ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме

Тригонометрическая форма комплексного числа.

На плоскости в прямоугольной системе координат комплексное число

z = a + bί будем изображать точкой А (а, b ) или радиусом вектором
.

Изобразим комплексное число z = 2 – 3ί .

Определение. Число
называется модулем комплексного числа z = a + bί и обозначается | z |.

Угол, образованный между положительным направлением оси Ох и радиусом вектором , изображающим комплексное число z = a + bί , называется аргументом числа z и обозначается Arg z .

Argz определен с точностью до слагаемое 2πk , .

Аргумент комплексного числа z , удовлетворяющий условию 0≤ < 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа z и обозначается arg z .

Из OAA 1 =>a =
cos, b = sin
. Представление комплексного числа z = a + bί в виде z = r (cos+ ί sin) называется тригонометрической формой записи числа z (r =). Чтобы записать комплексное число z = a + bί в тригонометрической форме, необходимо знать |z | и Arg z , которые определяются из формул
, cos =
sin =

Пусть z 1 = r 1 (cos φ 1 + ί sin φ 1), z 2 = r 2 (cos φ 2 + ί sin φ 2). Тогда z 1∙ z 2 = =r 1∙ r 2 [(cosφ 1 ∙cosφ 2 – sin φ 1∙ sin φ 2)+i ]= r 1∙ r 2 [(cos (φ 1+ φ 2) + i sin (φ 1+ φ 2)] . Отсюда следует, что |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |, Arg z 1 ∙z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 .

Arg
Arg– Arg.

Извлечение корня n – ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме.

Пусть z C , n N . n – ой степенью комплексного числа z называется произведение
обозначается оно z n . Пусть m =- n . По определению положим, что
z≠0, z 0 = 1, z m = . Если z =r (cosφ + ί sinφ ) , то z n =

= r n (cosnφ + ί sinnφ ). При r = 1 имеем z n = cosnφ + ί sinnφ – формула Муавра. Формула Муавра имеет место
.

Корнем n z называется такое комплексное число ω , что ω n = z . Справедливо утверждение.

Теорема. Существует n различных значений корня n –ой степени из комплексного числа z = r (cosφ + ί sinφ ) . Все они получаются из формулы при k = 0, 1, … , n -1. В этой формуле
– арифметический корень.

Обозначим через, ω 0 , ω 1 ,…, ω n -1 – значения корня n -ой степени из z , которые получаются при k = 0, 1, ... , n -1. Так как |ω 0 | = |ω 1 | = |ω 2 |= … =|ω n -1 |,

arg ω 0 = , ω 1 = arg ω 0 +
, … , arg ω n -1 = arg ω n - 2 + , то комплексные числа ω 0 , ω 1 ,…, ω n -1 на плоскости изображаются точками круга с радиусом равным
и делят этот круг на n равных частей.

В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

Примеры колец:

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Пусть (K,+, ·) - кольцо. Так как (K, +) - абелева группа, учитывая свойства групп получим

СВ-ВО 1 . Во всяком кольце (K,+, ·) имеется единственный нулевой элемент 0 и для всякого a ∈ K имеется единственный противоположный ему элемент −a.

СВ-ВО 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

СВ-ВО 3. Для любых a, b ∈ K в кольце K существует единственная разность a − b, причем a − b = a + (−b). Таким образом, в кольце K определена операция вычитания, при этом она обладает свойствами 1′-8′.

СВ-ВО 4 . Операция умножения в K дистрибутивна относительно операции вычитания, т.е. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).

Док-во. Пусть a, b, c ∈ K. Учитывая дистрибутивность операции · в K относительно операции + и определение разности элементов кольца, получим (a − b)c + bc = ((a − b) + b)c = ac, откуда по определению разности следует, что (a − b)c = ac − bc.

Аналогично доказывается правый закон дистрибутивности операции умножения относительно операции вычитания.

СВ-В 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

Доказательство. Пусть a ∈ K и b-произвольный элемент из K. Тогда b − b = 0 и поэтому, учитывая предыдущее свойство, получим a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.

Аналогично доказывается, что 0a = 0.

СВ-ВО 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).

Доказательство. Пусть a, b ∈ K. Тогда (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. Значит, (−a)b = −(ab).

Аналогично доказывается равенство a(−b) = −(ab).

СВ-ВО 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.

Доказательство. В самом деле, применяя дважды предыдущее свойство, получим (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.

ЗАМЕЧАНИЕ. Свойства 6 и 7 называют правилами знаков в кольце.

Из дистрибутивности операции умножения в кольце K относительно операции сложения и свойств 6 и 7 вытекает следующее

СВ-ВО 8. Пусть k, l-произвольные целые числа. Тогда ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

Подкольцо

Подкольцом кольца (K,+, ·) называется подмножество H множества K, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в K, и само является кольцом относительно этих операций.

Примеры подколец:

Так, Z -подкольцо кольца (Q,+, ·), Q-подкольцо кольца (R,+, ·), Rn×n -подкольцо кольца (Cn×n,+, ·), Z[x]-подкольцо кольца (R[x],+, ·), D -подкольцо кольца (C,+, ·).

Во всяком кольце (K,+, ·) само множество K, а также одноэлементное подмножество {0} являются подкольцами кольца (K,+, ·). Это так называемые тривиальные подкольца кольца (K,+, ·).

Простейшие свойства подколец.

Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·), т.е. (H,+, ·) само является кольцом. Значит, (H, +)-группа, т.е. H -подгруппа группы (K, +). Поэтому справедливы следующие утверждения.

СВ-ВО 1. Нулевой элемент подкольца H кольца K совпадает с нулевым элементом кольца K.

СВ-ВО 2 . Для всякого элемента a подкольца H кольца K противоположный ему элемент в H совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в K.

СВ-ВО 3. Для любых элементов a и b подкольца H их разность в H совпадает с элементом a − b, т.е. с разностью этих элементов в K.

Признаки подкольца.

ТЕОРЕМА 1 (первый признак подкольца).

Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является подкольцом кольцаK тогда итолькотогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

Необходимость. Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·). Тогда H -подгруппа группы (K, +). Поэтому по первому признаку подгруппы (в аддитивной формулировке), H удовлетворяет условиям (1) и (2). Кроме того, H замкнуто относительно операции умножения, определенной в K, т.е. H

удовлетворяет и условию (3).

Достаточность. Пусть H ⊂ K, H 6= ∅ и H удовлетворяет условиям (1) − (3). Из условий (1) и (2) по первому признаку подгруппы следует, что H -подгруппа группы (K, +), т.е. (H, +)-группа. При этом, так как (K, +)-абелева группа, (H, +) также абелева. Кроме того, из условия (3) следует, что умножение является бинарной операцией на множестве H. Ассоциативность операции · в H и ее дистрибутивность относительно операции + следуют из того, что такими свойствами обладают операции + и · в K.

ТЕОРЕМА 2 (второй признак подкольца).

Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является

подкольцом кольца K т. и т. т, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

При этом используется теорема 2′ (второй признак подгруппы в аддитивной формулировке) и замечание к ней.

7.Поле (определение, виды, свойства, признаки).

Полем называется коммутативное кольцо с единицей e не равно 0, в котором всякий элемент, отличный отнуля имеет обратный.

Классическими примерами числовых полей являются поля (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

СВОЙСТВО 1. Во всяком поле F справедлив закон сокращения

на общий множитель, отличный от нуля, т.е.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a не равно 0 ⇒ b = c).

СВОЙСТВО 2. Во всяком поле F нет делителей нуля.

СВОЙСТВО 3. Кольцо (K,+, ·) является полем тогда и только

тогда, когда множество K \ {0} есть коммутативная группа относительно операции умножения.

СВОЙСТВО 4 . Конечное ненулевое коммутативное кольцо (K,+, ·) без делителей нуля является полем.

Частное элементов поля.

Пусть (F,+, ·)-поле.

Частным элементов a и b поля F, где b не равно 0,

называется такой элемент c ∈ F, что a = bc.

СВОЙСТВО 1. Для любых элементов a и b поля F, где b не равно 0, существует единственное частное a/b, причем a/b= ab−1.

СВОЙСТВО 2. ∀ a ∈ F \ {0}

a/a= e и ∀ a ∈ F a/e= a.

СВОЙСТВО 3. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

СВОЙСТВО 4. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}

СВОЙСТВО 5. ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ {0}

(a/b)/(c/d)=ad/bc

СВОЙСТВО 6. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}

СВОЙСТВО 7. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}

СВОЙСТВО 8. ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ {0}

Поле F, единица которого имеет конечный порядок p в группе (F, +)p.

Поле F единица, которого имеет бесконечный порядок в группе (F, +), называется полем характеристики 0.

8. Подполе (определение, виды, свойства, признаки)

Подполем поля (F,+, ·) называется подмножество S множества F, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в F, и само является полем относительно этих операций.

Приведем некоторые примеры подполей Q-подполе поля (R,+, ·);

R-подполе поля (C,+, ·);

справедливы следующие утверждения.

СВОЙСТВО 1. Нулевой элемент подполя S поля F совпадает с

нулевым элементом поля F.

СВОЙСТВО 2 . Для всякого элемента a подполя S поля F противоположный ему элемент в S совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в F.

СВОЙСТВО 3. Для любых элементов a и b подполя S поля F их

разность в S совпадает с a−b т.е. с разностью этих элементов в F.

СВОЙСТВО 4. Единица подполя S поля F совпадает с единицей

e поля F.

СВОЙСТВО 5 . Для всякого элемента a подполя S поля F, от-

личного от нуля, обратный к нему элемент в S совпадает с a−1, т.е. с элементом, обратным к a в F.

Признаки подполя.

ТЕОРЕМА 1 (первый признак подполя).

Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ {0} a−1 ∈ H. (4)

ТЕОРЕМА2 (второй признак подполя).

Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой

элемент, является подполем поля (F,+, ·) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\{0} a/b ∈ H. (6)

10. Отношение делимости в кольце Z

Утверждение: для любых элементов a,b,c коммутативного кольца на множестве R, справедливы следующие импликации:

1) а|b, b|c => a|c

2) a|b, a|c => a| (b c)

3) a|b => a|bc

для любого a, b Z справедливо:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b и b|a ó |a|=|b|

Разделить с остатком целое число а на целое число b , значит найти такие целые числа q и r, что можно представить a=b*q + r, 0≤r≥|b|, где q – неполное частное, r- остаток

Теорема: Если a и b Z , b≠0, то а можно разделить на b с остатком,причем неполное частное и остаток определяются однозначно.

Следствие,если a и b Z , b≠0, то b|a ó

11. НОД и НОК

Наибольший общий делитель(НОД) чисел Z называется некоторое число d, удовлетворяющее следующим условиям

1) d является общим делителем т.е. d| , d| …d|

2) d делится на любой общий делитель чисел т.е. d| , d| …d| => d| , d| …d|