Бинарное отношение на множестве примеры с решением. Бинарные отношения

Понятие отношения наряду с понятием множества «пронизывает» всю математику. Интуитивно отношение понимается как связь объектов. Наша задача заключается в том, чтобы, используя сформулированные выше конструкции теории множеств, определить на математическом языке, что же понимается в математике под термином «отношение».

Бинарные отношения на множестве

Пусть дано множество А. Связь элементов хну множества А моделируется парой (ду>). Если элемент х связан с у, значит, мы имеем пару (л:,у) в качестве элемента некоторого множества; если д; не связан с у , значит, пара (л:^) не является объектом множества. Итак, имеем следующее определение.

Бинарным отношением на множестве А называется произвольное множество пар элементов из А.

Другими словами, бинарное отношение на множестве А - ото подмножество прямого произведения АхА=А 2 . В частности, само множество А 2 всех пар является бинарным отношением.

По аналогии с бинарным (или двуместным) отношением можно рассматривать п-местное отношение на множестве как подмножество прямого произведения А". Мы в основном будем рассматривать бинарные отношения, но для краткости речи говорить просто: «отношение на множестве А».

Обозначим произвольное бинарное отношение греческой буквой р.

Если (л",у)е р, то говорят, что л" находится в отношении р с у, и пишут

Если (ду)?Р> то имеем отрицание соответствующего утверждения. В этом случае наряду с записью ~|(хру) (или хру) пишут д-ру, перечеркивая знак отношения.

Пример 8.1.1. Рассмотрим множество А = {1,2,3,4,5}. Множество пар

определяет на А отношение «меньше», обозначаемое знаком <.>

11а этом же множестве можно рассмотреть другое множество пар

оно определяет отношение равенства.

Пример 8.1.2. Рассмотрим множество {N, Z, Q, I, R} основных числовых множеств и множество пар

Имеем отношение, определенное нами в пункте 2.2 как отношение строгого включения множеств. Заметим, что, например, пара (Q. I) нс лежит в указанном множестве, так как Qczl, более того, эти множества не пересекаются.

Пример 8.1.3. Дано множество слов Л={ток, кот, шок, кол, лак}. Рассмотрим такое отношение:

р = {(ток, шок), (шок, ток), (шок, кол), (кол, шок),

(кол, лак), (лак, кол), (кот, кол), (кол, кот)}.

Это отношение можно выразить таким образом: слова множества А находятся в отношении р тогда и только тогда, когда они имеют ровно две одинаковые буквы.

Заметим, что любое множество пар является отношением, неважно, имеется ли для этого отношения хорошее словесное описание.

Так как отношение является множеством, то его можно задать характеристическим свойством, то сеть предикатом Р(ху): р = {(.*,>>) еЛ 2 Р(ху)}. Также используется запись:

Читают: «г находится в отношении с у тогда и только тогда, когда истинно Р(ху)».

Пример 8.1.4. Определим на множестве/! = {1,2,3,4,5} отношение:

Здесь Р(ху) = (л+2=у). Зададим это отношение перечислением пар:

Пример 8.1.5. Зададим на множестве Z (или на множестве N) отношение с помощью предложения: «Существует целое число /?, такое, что х=п у». Символически можно записать:

Имеем уже определенное ранее отношение делимости, обозначаемое знаком:. Этому отношению принадлежат такие пары, как (6,2), (6,3), (4,4), (111, -37) и другие. В отличие от предыдущих примеров это множество пар бесконечно, и перечислить все пары не удастся.

Рассмотрим важнейшие свойства, которыми могут обладать бинарные отношения на множестве.

Отношение р на множестве А называется рефлексивным , если любой элемент х из А находится в отношении р сам с собой, то есть для всех д; из А выполняется лрт:

Пример 8.1.6. Рассмотрим отношение делимости на множестве Z. Возьмем произвольное целое число х. Так как х=х 9 то х‘:х. Значит, любое целое число делится на само себя: V.veZ (л:л). Поэтому отношение делимости рефлексивно.

Так как любое множество является подмножеством самого себя, то отношение включения множеств рефлексивно (на любой совокупности множеств).

Отношение р на множестве А называется аитирефлексивным , если ни один элемент множества А не находится в отношении р с самим собой:

Пример 8.1.7. R антирефлексивно, так как никакое число не меньше самого себя.

Построим отрицание к предложению «Отношение р рефлексивно»:

Таким образом, отношение р не является рефлексивным тогда и только тогда, когда существует элемент хеА, который не находится в отношении р сам с собой. Отношение, не являющееся рефлексивным, не обязано быть аитирефлексивным.

Пример 8.1.8. Рассмотрим отношение на множестве R, заданное предложением «Число х противоположно числу у». Число х называется противоположным числу у, если сумма х+у равна 0.

Это отношение не рефлексивно. Контрпример: х=1. Так как 1 + 1*0, то число 1 не противоположно 1.

Это отношение нс антирефлексивно. Контрпример: ,v=0. Так как 0+0=0, то число 0 противоположно 0.

Отношение р на множестве А называется симметричным , если из того, что х находится в отношении р с у, следует, что у находится в отношении р с

Пример 8.1.9. Из тождества х+у=у+.х вытекает утверждение: для любых действительных чисел х и у если х противоположно v, то у противоположно х. Значит, данное отношение симметрично. Часто говорят просто: «Числа х и у противоположны».

Отношение «Число х меньше числа у» на множестве R не является симметричным: 3 меньше 4, но 4 не меньше 3.

Отношение р на множестве А называется антисимметричным , если ни для каких различных элементов х и у из А, таких, что хру, не выполняется

урх:

Пример 8.1.10. Отношение «меньше» на множестве R антисимметрично.

Определение антисимметричного отношения можно сформулировать другими способами. Введем обозначения:

Используя таблицу истинности, можно доказать, что формула 1Р л М -равносильна формуле М л К -> Р, которая, в свою очередь, по правилу контрапозиции равносильна 1Р ->~|(Л/ л К). На основании этого можно сказать, что отношение р является антисимметричным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равносильных условий:

А) Из того, что хру и урх, следует х=у:

Б) Никакие различные элементы не могут одновременно находиться в отношении р друг с другом.

Пример 8.1.11. Рассмотрим отношение включения на произвольном семействе множеств. Так как ЛсУл Y^X=>X=Y, то включение е есть антисимметричное отношение.

Пример 8.1.12. Отношение делимости на множестве Z не является ни симметричным, ни антисимметричным. Так как 4:2, но 2?4, то отношение не симметрично. Так как 2:(-2) и (-2):2, но (-2)^2, то отношение не является антисимметричным.

Однако на множестве N натуральных чисел имеем антисимметричное отношение: Vjt^eN (х:у лу:х ->х=у). Проверьте это утверждение, пользуясь определением делимости.

Отношение р на множестве А называется транзитивным , если из того, что х находится в отношении р с у, а у находится в отношении р с z, следует, что.V находится в отношении р с z:

Пример 8.1.13. Отношение делимости транзитивно (и на множестве Z и на множестве N): х:у л у: z => x:z. Покажем это. Пусть х:у и y:z. Тогда х=пу и y=kz для некоторых целых чисел п и к. Тогда х = n(kz) = (nk)z = mz, где т есть целое число. Поэтому xz.

Отношение включения множеств также транзитивно: XcY л YcZ => XezZ. Докажите.

Отношение «Числа х и у противоположны» не является транзитивным. Контрпример: х=2,у=-2, 2=2. Тогда числа 2 и (-2) противоположны, а также (-2) и 2 противоположны. Но числа х=2 и z=2 нс являются противоположными.

Пример 8.1.14. Рассмотрим некоторые примеры отношений из предыдущего пункта.

Отношение из примера 8.1.3 антирефлексивно и симметрично. Отношение из примера 8.1.4 антирефлексивно и антисимметрично. Ни одно из этих отношений нс транзитивно. Докажите это, рассмотрев соответствующие контрпримеры.

Некоторым отношениям, обладающим одновременно рядом свойств, даны общие называния. Из рассмотренных выше примеров одновременно свойствами рефлексивности, антисиммегричности и транзитивности обладают отношение включения множеств с и отношение делимости на множестве N. Также этими тремя свойствами обладает отношение «х меньше либо равно у », определенное на множестве R (или на любом его подмножестве):

Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка.

Множество А , на котором задано отношение порядка р, называется упорядоченным множеством . Пишут (А, р).

В настоящее время теория упорядоченных множеств - это большой раздел математики, которому посвящены целые книги. Мы отметим лишь ряд особенностей понятия «упорядоченное множество».

Интуитивно слова «упорядоченное множество» часто понимаются в более узком смысле. Рассмотрим упорядоченную л-ку, составленную из попарно различных элементов. Например, пятерка букв (III,К,О,Л,А) определяет слово ШКОЛА. В этом случае слова «элементы записаны в определенном порядке» понимаются в том смысле, что мы занумеровали их натуральными числами 1, 2, 3, 4, 5 и расположили в порядке возрастания номеров. Обобщим этот пример.

Пусть дано «-элементное множество А. Занумеровав каким-то образом ею элементы а, а 2 >а„, мы действительно получим упорядоченное множество, определив отношение порядка следующим образом:

Соотношение понимается так: то, что элемент х связан с другим элементом у, означает, что х записан в кортеже левее у.

Пример 8.1.15. Дано множество /4={а,б.в,г}. Упорядоченная четверка его различных элементов (б,в,а,г) задаст такое отношение порядка:

{(б,б), (б,в), (б,а), (б,г), (в,в), (в,а), (в,г), (а,а), (а,г), (г,г)}.

Заметим, что порядок не обязан обладать так называемым свойством линейности.

Пример 8.1.16. Рассмотрим на множестве А = {2,4,6,8} отношение делимости:. Задайте это отношение множеством пар. Так как в А лежат только натуральные числа, то: отношение порядка. Имеем упорядоченное множество А, :).

Такой порядок нельзя представить в виде упорядоченной четверки следующих друг за другом элементов. Можно привести графическую иллюстрацию отношения с помощью точек и стрелок: из точки х в точку у ведет стрелка тогда и только тогда, когда х:у.

Рассмотрим числа 6 и 4. Ни одно из них нс делится на другое. Говорят, что это несравнимые элементы.

Пусть на множестве А задано отношение порядка р. Элементы * и у называются сравнимыми , если выполняется хотя бы одно из двух соотношений хру или урх.

Порядок р на множестве А называется линейным , если любые два элемента множества А сравнимы. Множество, на котором определен линейный порядок, называется линейно упорядоченным (или цепью).

Пример 8.1.17. Отношение R является линейным порядком, так как Vx^yeR (х Поэтому (R,

упорядоченное множество.

Отношение делимости натуральных чисел в общем случае не является линейным порядком. Контрпример дан в примере 8.1.16.»

Отмстим, что любой линейный порядок на конечном множестве задается нумерацией его элементов. Чтобы подчеркнуть, что порядок может быть нс линейным, упорядоченное множество в общем случае иногда называют частично упорядоченным.

Рассмотрим отношение «уважать», определенное на множестве всех людей %%M%%. Для полной информации о том, кто кого уважает, составим следующее множество %%R%%. Переберем все пары %%(a, b)%%, где %%a, b%% пробегают множество всех людей. Если %%a%% уважает %%b%%, то пару %%(a,b)%% отнесем к множеству %%R%%, иначе — нет.

Этот список полностью отражает отношение «уважать». Если нужно узнать, уважает ли человек %%a%% человека %%b%%, то просмотрим множество %%R%%. Если пара %%(a, b) \in R%%, то заключаем, что %%a%% уважает %%b%%. В случае %%(a,b) \notin R%% — %%a%% не уважает %%b%%.

Определение

Бинарным отношением , определенным на множестве %%M%%, называется произвольное подмножество %%R%% из декартового произведения %%M^2%%.

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве %%M = \{1, 2\}%%. Тогда

$$ M^2 = \big\{(1, 1), (1,2), (2,1), (2,2)\big\} $$ Из него выбирем все пары %%(a,b)%%, где %%a > b%%. Получим $$ R = \big\{(2,1)\big\} $$

Виды бинарных отношений

Рефлексивное бинарное отношение

рефлексивным , если для любого элемента %%a%% из %%M%%, выполняется условие %%a~R~a%%. $$ \begin{array}{l} \forall a\in M~~a~R~a \text{ или}\\ \forall a\in M~~(a,a) \in R. \end{array} $$

Примеры

  1. Рассмотрим отношение больше больше рефлексивным? Если да, то каждое число является больше самого себя, что неверно. Поэтому отношение больше не рефлексивно.
  2. Рассмотрим отношение равно на множестве действительных чисел. Оно является рефлексивным , так как каждое действительное число равно самому себе.

Симметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется симметричным , если для любых двух элементов %%a, b%% из %%M%%, из условия %%a~R~b%% следует условие %%b~R~a%%.

$$ \begin{array}{l} \forall a,b\in M~~a~R~b \rightarrow b~R~a \text{ или}\\ \forall a,b\in M~~(a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R. \end{array} $$

Примеры

  1. Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше симметричным? Оно не является симметричным, так как если %%a > b%%, то условие %%b > a%% не выполняется. Поэтому отношение больше не симметрично.
  2. Пусть %%R%% — отношение, определенное на множестве %%M = \{a,b,c\}%%. При этом %%R = \big\{ (a,b), (b,c), (a,a), (b,a), (c,b)\big\}%%. Для этого отношения имеем %%\forall x,y \in M ~~ (x,y) \in R \rightarrow (y,x) \in R%%. По определению %%R%% симметрично.

Транзитивное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется транзитивным , если для любых элементов %%a, b, c%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~c%% следует условие %%a~R~c%%.

$$ \begin{array}{l} \forall a,b,c\in M~~a~R~b \land b~R~c \rightarrow a~R~c \text{ или}\\ \forall a,b,c\in M~~(a,b) \in R \land (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R. \end{array} $$

Пример

Рассмотрим отношение больше на множестве дейтсвительных чисел. Оно является транзитивным , так как для любых элементов выполняется условние %%\forall a,b,c\in M~~a > b \land b > c \rightarrow a > c%%. Так, например, подставив вместо %%a, b%% и %%c%% числа %%2, 1%% и %%0%% соответственно, получим: если %%2 > 1%% и %%1 > 0%%, то %%2 > 0%% — верное утверждение (вспомните импликацию, из истины следует истина).

Антисимметричное бинарное отношение

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется антисимметричным , если для любых элементов %%a, b%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~a%% следует условие %%a = b%%.

$$ \begin{array}{l} \forall a,b,c\in M~~a~R~b \land b~R~a \rightarrow a = b \text{ или}\\ \forall a,b\in M~~(a,b) \in R \land (b,a) \in R \rightarrow a = b. \end{array} $$

Пример

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично . Действительно, если %%a \geq b%% и %%b \geq a%%, %%a = b%%.

Эквивалентное бинарное отношение

эквивалентности , если оно рефлексивно , симметрично и транзитивно .

Нетрудно проверить, что отношение параллельности на множестве прямых плоскости является отношением эквивалентности.

Отношение частичного порядка

Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением частичного порядка , если оно рефлексивно , антисимметрично и транзитивно .

Отношение больше или равно на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка.

Построение отрицаний

Пусть %%R%% — бинарное отношение на множестве %%M%%, и %%P%% — одно из следующих условий:

  • отношение %%R%% рефлексивно,
  • отношение %%R%% симметрично,
  • отношение %%R%% транзитивно,
  • отношение %%R%% антисимметрично.

Построим для каждого из них отрицание выполнения условия %%P%%.

Отрицание рефлексивности

По определению %%R%% рефлексивно, если каждый элемент множества %%M%% находится в отношении %%R%% к самому себе, то есть %%\forall a \in M~~a~R~a%%. Тогда рассмотрим отрицание рефлексивности как истинное высказывание %%\overline{\forall a \in M~~a~R~a}%%. Используем равносильность %%\overline{\forall x P(x)} \equiv \exists x \overline {P(x)}%%. В нашем случае получаем %%\forall a \in M~~a~R~a \equiv \exists a\in M~~a~\not\text{R }~a%%, что и нужно.

Аналогично получаем и остальные отрицания. В итоге получаем следующие утверждения:

    %%R%% не рефлексивно тогда и только тогда, когда

    $$ \exists a \in M~~a~\not R~a $$

    %%R%% не симметрично тогда и только тогда, когда

    $$ \exists a, b \in M~~ a~R~b \land b~\not R~a $$

    %%R%% не транзитивно тогда и только тогда, когда

    $$ \exists a, b, c \in M a~R~b \land b~R~c \land a~\not R~c $$

    %%R%% не антисимметрично тогда и только тогда, когда

    $$ \exists a, b \in M~~ a~R~b \land b~R~a \land a \neq b. $$

Пусть задано некоторое непустое множество А и R – некоторое подмножество декартова квадрата множества А: R A A .

Отношением R на множестве А называют подмножество множества А А (или А 2 ). Таким образом отношение есть частный случай соответствия, где область прибытия совпадает с областью отправления. Так же, как и соответствие, отношение – это упорядоченные пары, где оба элемента принадлежат одному и тому же множеству.

R  A  A = {(a, b) | aA, bA, (a, b)R}.

Тот факт, что (a , b )R можно записать так: a R b . Читается: «а находится в отношении R к b » или «между а и b имеет место отношение R». В противном случае записывают: (a , b )R или a R b .

Примером отношений на множестве чисел являются следующие: «=», «», «», «>» и т.д. На множестве сотрудников какой-либо фирмы ‑ отношение «быть начальником» или «быть подчинённым», на множестве родственников – «быть предком», «быть братом», «быть отцом» и т.д.

Рассмотренные отношения носят название бинарных (двухместных) однородных отношений и являются важнейшими в математике. Наряду с ними рассматривают также п -местные или п -арные отношения:

R  A  A … A = A n = {(a 1 , a 2 ,…a n) | a 1 , a 2 ,…a n  A}.

Поскольку отношение есть частный случай соответствия, для их задания могут быть использованы все ранее описанные способы.

Очевидно, что задавая отношение матричным способом, мы получим квадратную матрицу.

При геометрическом (графическом) изображении отношения мы получим схему, включающую:

    вершины, обозначаемые точками или кружочками, которые соответствуют элементам множества,

    и дуги (линии), соответствующие парам элементов, входящих в бинарные отношения, обозначаемые линиями со стрелками, направленными от вершины, соответствующей элементу a к вершине, соответствующей элементу b , если a R b .

Такая фигура называется ориентированным графом (или орграфом) бинарного отношения.

Задача 4.9.1 . Отношение R «быть делителем на множестве M = {1, 2, 3, 4 }» может быть задано матрицей :

перечислением: R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), ((4,4)};

геометрически (графически) :

1. Выписать упорядоченные пары, принадлежащие следующим бинарным отношениям на множестве А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:

    R1 = {(x, y)| x, yA; x + y = 9};

    R2 = {(x, y)| x, yA; x < y}.

2. Отношение R на множестве X = {a, b, c, d} задано матрицей

,

у которой порядок строк и столбцов соответствует порядку выписанных элементов. Перечислить упорядоченные пары, принадлежащие данному отношению. Изобразить отношение с помощью графа.

3. Отношение на множестве А = {1, 2, 3, 4} представлено графом. Необходимо:

    перечислить упорядоченные пары, принадлежащие R;

    выписать соответствующую матрицу;

    определить это отношение с помощью предикатов.

(ответ: a-b= 1).

4.10. Основные типы (свойства) бинарных отношений

Пусть задано бинарное отношение R на множестве А 2 : R  A  A = {(a , b ) | a A, b A, (a , b )R}

    Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексивным , если для любого a А выполняется a R a , то есть (а , а )R. Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения состоит из единиц. Граф рефлексивного отношения обязательно имеет петли у каждой вершины.

Примеры рефлексивных отношений: , =,  на множестве действительных чисел, «не быть начальником» на множестве сотрудников.

    Бинарное отношение R на множестве А называется антирефлексивным (иррефлексивным ), если для любого a А не выполняется отношение a R a , то есть (а , а )R. Главная диагональ матрицы иррефлексивного отношения состоит из нулей. Граф иррефлексивного отношения не имеет петель.

Примеры антирефлексивных отношений: <, > на множестве действительных чисел, перпендикулярность прямых на множестве прямых.

    Бинарное отношение R на множестве A называется симметричным , если для любых a , b А из a R b следует b R a , то есть если (a , b )R , то и(b , a )R . Матрица симметричного отношения симметрична относительно своей главной диагонали (σ ij = σ ji ). Граф симметричного отношения не является ориентированным (рёбра изображаются без стрелок). Каждая пара вершин здесь соединена неориентированным ребром.

Примеры симметричных отношений:  на множестве действительных чисел, «быть родственником» на множестве людей.

    Бинарное отношение R на множестве A называется:

    анти симметричным , если для любых a , b А из a R b и b R a следует, что a =b . То есть, если (a , b )R и(b , a )R , то отсюда вытекает, что a =b . Матрица антисимметричного отношения вдоль главной диагонали имеет все единицы и не имеет ни одной пары единиц, расположенных на симметричных местах по отношению к главной диагонали. Иными словами, все σ ii =1, и если σ ij =1, то обязательно σ ji =0. Граф антисимметричного отношения имеет петли у каждой вершины, а вершины соединяются только одной направленной дугой.

Примеры антисимметричных отношений: , ,  на множестве действительных чисел; ,  на множествах;

    а симметричным , если для любых a , b А из a R b следует невыполнение b R a , то есть если (a , b )R , то (b , a )R . Матрица асимметричного отношения вдоль главной диагонали имеет нули (σ ij =0) все и ни одной симметричной пары единиц (если σ ij =1, то обязательно σ ji =0). Граф асимметричного отношения не имеет петель, а вершины соединены одной направленной дугой.

Примеры асимметричных отношений: <, > на множестве действительных чисел, «быть отцом» на множестве людей.

    Бинарное отношение R на множестве A называется транзитив ным , если для любых a , b , с А из a R b и b R a следует, что и a R с . То есть если (a , b )R и(b , с )R вытекает, что (а , с )R . Матрица транзитивного отношения характеризуется тем, что если σ ij =1 и σ jm =1, то обязательно σ im =1. Граф транзитивного отношения таков, что если соединены дугами, например, первая-вторая и вторая-третья вершины, то обязательно есть дуги из первой в третью вершину.

Примеры транзитивных отношений: <, , =, >,  на множестве действительных чисел; «быть начальником» на множестве сотрудников.

    Бинарное отношение R на множестве A называется антитранзитив ным , если для любых a , b , с А из a R b и b R a следует, что не выполняется a R с . То есть если (a , b )R и(b , с )R вытекает, что (а , с )R . Матрица антитранзитивного отношения характеризуется тем, что если σ ij =1 и σ jm =1, то обязательно σ im =0. Граф антитранзитивного отношения таков, что если соединены дугами, например, первая-вторая и вторая-третья вершины, то обязательно нет дуги из первой в третью вершину.

Примеры антитранзитивных отношений : «несовпадение чётности» на множестве целых чисел; «быть непосредственным начальником» на множестве сотрудников.

Если отношение не обладает некоторым свойством, то, добавив недостающие пары, можно получить новое отношение с данным свойством. Множество таких недостающих пар называют замыканием отношения по данному свойству. Обозначают его как R * . Так можно получить рефлексивное, симметричное и транзитивное замыкание.

Задача 4.10.1. На множестве А = {1, 2, 3, 4} задано отношение R={(a ,b )| a ,b A, a +b чётное число}. Определить тип данного отношения.

Решение. Матрица данного отношения:

. Очевидно, что отношение является рефлексивным , так как вдоль главной диагонали расположены единицы. Оно симметрично : σ 13 = σ 31 , σ 24 = σ 42 . Транзитивно : (1,3)R, (3,1)R и (1,1)R; (2,4)R, (4,2)R и (2,2)R и т.д.

Задача 4.10.2. Какими свойствами на множестве А = {a , b , c , d } обладает бинарное отношение R = {(a ,b ), (b ,d ), (a ,d ), (b ,a ), (b ,c )}?

Решение . Построим матрицуданного отношения и его граф:

Отношение иррефлексивно , так как все σ ii = 0. Оно не симметрично , так как σ 23 =1, а σ 32 =0, однако σ 12 =σ 21 =1. Отношение не транзитивно , поскольку σ 12 =1, σ 23 =1 и σ 13 =0; σ 12 =1, σ 21 =1 и σ 11 =0; но при этом σ 12 =1, σ 24 =1 и σ 14 =1.

Задача 4.10.3. На множестве А = {1,2,3,4,5} задано отношение R = {(1,2), (2,3), (2,4), (4,5)}. Определить тип отношения и найти следующие замыкания для R:

    рефлексивное;

    симметричное;

    транзитивное.

Решение. Отношение иррефлексивно, поскольку нет ни одного элемента вида (а ,а ). Асимметрично, так как не содержит пар вида (a ,b ) и (b ,a ) и все диагональные элементы равны 0. Антитранзитивно, поскольку (1,2)R, (2,3)R, но (1,3)R. Аналогично (2,4)R, (4,5)R, а (2,5)R и т.д.

    рефлексивное замыкание данного отношения R * ={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)};

    симметричное замыкание: R*={(2,1), (3,2), (4,2), (5,4)};

    транзитивное замыкание: R*={(1,3), (1,4), (2,5)}. Рассмотрим граф исходного отношения и полученного транзитивного.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Задано отношение R = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)}. Определить его тип и найти замыкания по рефлексивности, симметричности и транзитивности.

2.Отношение на множестве слов русского языка определено следующим образом: а Rb тогда и только тогда, когда они имеют хоть одну общую букву. Определить тип отношения на множестве А = {корова, вагон, нить, топор}.

3. Указать примеры бинарных отношений на множестве А = {1, 2) и В = {1, 2, 3}, которые были бы:

    не рефлексивное, не симметричное, не транзитивное;

    рефлексивное, не симметричное, не транзитивное;

    симметричное, но не рефлексивное и не транзитивное;

    транзитивное, но не рефлексивное и не симметричное;

    рефлексивное, симметричное, но не транзитивное;

    рефлексивное, транзитивное, но не симметричное;

    не рефлексивное, симметричное, транзитивное;

    рефлексивное, симметричное, транзитивное.

В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться с понятием «отношения». Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-то одного признака R у элементов множества M (например, «быть красным» на множестве шаров в урне).

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимо

связей, которыми характеризуются пары элементов во множестве M .

Например, на множестве людей могут быть заданы следующие отношения: «жить в одном городе», «x работает под руководством y », «быть сыном», «быть старше» и т.д. на множестве чисел: «число a больше числа b », «число a является делителем числа b », «числа a и b дают одинаковый остаток при делении на 3».

В прямом произведении , где A - множество студентов какого-либо вуза, B - множество изучаемых предметов, можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (a, b) , обладающих свойством: «студент a изучает предмет b ». Построенное подмножество отражает отношение «изучает», возникающее между множествами студентов и предметов. Число примеров можно продолжить

Отношения между двумя объектами являются предметом исследования экономики, географии, биологии, физики, лингвистики, математики и других наук.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения.

Бинарным отношением между множествами A и B называется подмножество R прямого произведения . В том случае, когда можно просто говорить об отношении R на A .

Пример 1 . Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям R 1 и R 2 , заданными на множествах A и : , . Подмножество R 1 состоит из пар: . Подмножество .

Область определения R на есть множество всех элементов из A таких, что для некоторых элементов имеем . Иными словами область определения R есть множество всех первых координат упорядоченных пар из R .

Множество значений отношения R на есть множество всех таких, что для некоторых . Другими словами множество значений R есть множество всех вторых координат упорядоченных пар из R .

В примере 1 для R 1 область определения: , множество значений - . Для R 2 область определения: , множество значений: .

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B , через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения .

Пример 5 . Пусть , .

Пусть R 1 задано на перечислением упорядоченных пар: . Бинарное отношение R 2 на множестве задано с помощью правила: упорядочена пара , если a делится на b . Тогда R 2 состоит из пар: .

Бинарные отношения, из примера 2, R 1 и R 2 изображены графически на рис. 6 и рис.7.

Рис. 6 Рис. 7

Чтобы изобразить бинарное отношение с помощью стрелок, слева изображаются точками элементы множества A , справа - множества B . Для каждой пары (a, b) , содержащейся в бинарном отношении R , проводится стрелка от a к b , . Графическое изображение бинарного отношения R 1 , приведенного в примере 6, показано на рис.8.

Рис.8

Бинарные отношения на конечных множествах могут быть заданы матрицами. Предположим, что задано бинарное отношение R между множествами A и B . , .

Строки матрицы нумеруются элементами множества A , а столбцы – элементами множества B . Ячейку матрицы, стоящую на пересечении i - ой строки и j - ого столбца принято обозначать через C ij , а заполняется она следующим образом:

Полученная матрица будет иметь размер .

Пример 6. Пусть задано множество . На множестве задайте списком и матрицей отношение R – «быть строго меньше».

Отношение R как множество содержит все пары элементов (a , b) из M такие, что .

Матрица отношения, построенная по вышеуказанным правилам, имеет следующий вид:

Свойства бинарных отношений:

1. Бинарное отношение R на множестве называетсярефлексивным , если для любого элемента a из M пара (a, a) принадлежит R , т.е. имеет место для любого a из M :

Отношения «жить в одном городе», «учиться в одном вузе», «быть не больше» являются рефлексивными.

2. Бинарное отношение называется антирефлексивным ,если оно не обладает свойством рефлексивности для любых a :

Например, «быть больше», «быть младше» - это антирефлексивные отношения .

3. Бинарное отношение R называется симметричным , если для любых элементов a и b из M из того, что пара (a, b) принадлежит R , , вытекает, что пара (b, a) принадлежит R , т.е.

Симметрична параллельность прямых, т.к. если // , то // . Симметрично отношение «быть равным» на любом множестве или «быть взаимнопростым на N».

Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R=R -1

4. Если для несовпадающих элементов верно отношение , но ложно , то отношение антисимметрично . Можно сказать иначе:

Антисимметричными являются отношения «быть больше», «быть делителем на N», «быть младше».

5. Бинарное отношение R называется транзитивным , если для любых трех элементов из того, что пары (a, b) и (b, c) принадлежат R , следует, что пара (a, c) принадлежит R :

Транзитивны отношения : «быть больше», «быть параллельным», «быть равным» и др.

6. Бинарное отношение R антитранзитивно , если оно не обладает свойством транзитивности.

Например, «быть перпендикулярным» на множестве прямых плоскости ( , , но неверно, что ).

Т.к. бинарное отношение может быть задано не только прямым перечислением пар, но и матрицей, то целесообразно выяснить, какими признаками характеризуется матрица отношения R , если оно: 1) рефлексивно, 2) антирефлексивно, 3)симметрично, 4) антисимметрично, 5) транзитивно.

Пусть R задано на , .R либо выполняется в обе стороны, либо не выполняется вообще. Таким образом, если в матрице стоит единица на пересечении i - ой строки и j - ого столбца, т.е. C ij =1, то она должна стоять и на пересечении j - ой строки и i - ого столбца, т.е. C ji =1, и наоборот, если C ji =1, то C ij =1. Таким образом, матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

4. R антисимметрично, если из и следует: . Это означает, что в соответствующей матрице ни для каких i , j не выполняется C ij = C ji =1. Таким образом, в матрице антисимметричного отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали .

5. Бинарное отношение R на непустом множестве A называется транзитивным если

Вышеприведенное условие должно выполняться для любых элементов матрицы. И, наоборот, если в матрице R имеется хотя бы один элемент C ij =1, для которого данное условие не выполняется, то R не транзитивно.

Лекция 3.

п.3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.

3.1. Бинарные отношения .

Когда говорят о родстве двух людей, например, Сергей и Анна, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Сергей, Анна) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Сергеем и Анной есть некое родство (кузина, отец и т. д.).

В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A ´B ) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S ´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s , k ), обладающих свойством: студент s слушает курс k . Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.

Определение 3.1. Бинарным (или двухместным ) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A ´B , т. е.

В частности, если A= B (то есть rÍA 2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.

Элементы a и b называются компонентами (или координатами ) отношения r.

Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит : r, t, j, s, w и т. д.


Определение 3.2. Областью определения D r={a | $ b , что a rb } (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество R r={b | $ a , что a rb } (правая часть).

Пример 3. 1. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7} и B ={2; 4; 6}. Отношение зададим следующим образом t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t={(3; 6), (5; 4), (7;2)}. В данном примере D t={3; 5; 7} и R t= B ={2; 4; 6}.

Пример 3. 2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r={(x ; y ) | x и y – действительные числа и x равно y }. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D r= R r.

Пример 3. 3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j={(x ; y )ÎA ´B | y – цена x } – отношение множеств A и B .

Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}, а потом записано в виде t={(3; 6), (5;4), (7;2)}. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.

Способы задания отношений:

1) с помощью подходящего предиката;

2) множество упорядоченных пар;

3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом , точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа .

4) в виде матрицы: пусть A ={a 1, a 2, …, an } и B ={b 1, b 2, …, bm }, r – отношение на A ´B . Матричным представлением r называется матрица M =[mij ] размера n ´m , определенная соотношениями

.

Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.

Пример 3. 4. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7}и B ={2; 4; 6}. Отношение задано следующим образом t={(x ; y ) | x+ y =9}. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.

Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;

2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Пример 3. 5 . Еще в качестве примера можно рассмотреть предложенную Дж. фон Нейманом (1903 – 1957) блок-схему ЭВМ последовательного действия, которая состоит из множества устройств M :

,

где a – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), c – устройство управления, d – запоминающее устройство, e – устройство вывода.

Рассмотрим информационный обмен между устройствами mi и mj , которые находятся в отношении r, если из устройства mi поступает информация в устройство mj .

Это бинарное отношение можно задать перечислением всех его 14 упорядоченных пар элементов:

Соответствующий орграф, задающий это бинарное отношение, представлен на рисунке:


Матричное представление этого бинарного отношения имеет вид:

. ,

Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции: объединение, пересечение и т. д.


Введем обобщенное понятие отношения.

Определение 3.3. n-местное (n -арное ) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей )

rÍA 1´…´An ={(a 1, …, an )| a 1ÎA 1Ù … Ùan ÎAn }

Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц . Такое задание соответствует перечислению множества n -к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных . Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.

Слово «реляционная » происходит от латинского слова relation , которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).

Определение 3.4. Пусть rÍA ´B есть отношение на A ´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A ´B , которое определяется следующим образом:

r-1={(b , a ) | (a , b )Îr}.

Определение 3.5. Пусть r ÍA ´B есть отношение на A ´B, а s ÍB ´C – отношение на B ´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA ´C ,которое определяется следующим образом:

t=s◦r= {(a , c )| $ b Î B, что (a , b )Îr и (b , c )Îs}.

Пример 3. 6 . Пусть , и C ={, !, d, à}. И пусть отношение r на A ´B и отношение s на B ´C заданы в виде:

r={(1, x ), (1, y ), (3, x )};

s={(x ,), (x , !), (y , d), (y , à)}.

Найти r-1 и s◦r, r◦s.

Решение. 1) По определению r-1={(x , 1), (y , 1), (x , 3)};

2) Используя определение композиции двух отношений, получаем

s◦r={(1,), (1, !), (1, d), (1, à), (3,), (3, !)},

поскольку из (1, x )Îr и (x ,)Îs следует (1,)Îs◦r;

из (1, x )Îr и (x , !)Îs следует (1, !)Îs◦r;

из (1, y )Îr и (y , d)Îs следует (1, d)Îs◦r;

из (3, x )Îr и (x , !)Îs следует (3, !)Îs◦r.

Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

2) ;

3) - ассоциативность композиции.

Доказательство. Свойство 1 очевидно.

Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a ; b ) Î (s◦r)-1 Û (b ; a ) Î s◦r Û $ c такое, что (b ; c ) Î r и (c ; a ) Î s Û $ c такое, что (c ; b ) Î r-1 и (a ; c ) Î s-1 Û (a ; b ) Î r -1◦s -1.

Свойство 3 доказать самостоятельно.

3.2. Свойства бинарных отношений .

Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A .

Свойства бинарных отношений.

1. Отношение r на A ´A называется рефлексивным , если (a ,a ) принадлежит r для всех a из A .

2. Отношение r называется антирефлексивным , если из (a ,b )Îr следует a ¹b .

3. Отношение r симметрично , если для a и b , принадлежащих A , из (a ,b )Îr следует, что (b ,a )Îr.

4. Отношение r называется антисимметричным , если для a и b из A , из принадлежности (a ,b ) и (b ,a ) отношению r следует, что a =b .

5. Отношение r транзитивно , если для a , b и c из A из того, что (a ,b )Îr и (b ,c )Îr, следует, что (a ,c )Îr.

Пример 3. 7. Пусть A ={1; 2; 3; 4; 5; 6}. На этом множестве задано отношение rÍA 2, которое имеет вид: r={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)}. Какими свойствами обладает данное отношение?

Решение. 1) Это отношение рефлексивно, так как для каждого a ÎA , (a ; a )Îr.

2) Отношение не является антирефлексивным, так как не выполняется условие этого свойства. Например, (2, 2)Îr, но отсюда не следует, что 2¹2.

3) Рассмотрим все возможные случаи, показав, что отношение r является симметричным:

(a , b )Îr

(b , a )

(b , a )Îr?

4) Данное отношение не является антисимметричным, поскольку (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но отсюда не следует, что 1=2.

5) Можно показать, что отношение r транзитивно, используя метод прямого перебора.

(a , b )Îr

(b , c )Îr

(a , c )

(a , c )Îr?

Как по матрице представления

определить свойства бинарного отношения

1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.

.

2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.

3. Симметричность: если .

4. Антисимметричность: все элементы вне главной диагонали равны нулю; на главной диагонали тоже могут быть нули.

.

Операция «*» выполняется по следующему правилу: , где , .

5. Транзитивность: если . Операция «◦» выполняется по обычному правилу умножения, при этом надо учитывать: .

3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.

Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности a rb часто обозначается: a ~ b .

Пример 3. 8 . Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.

Пример 3. 9 . Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X .

Пример 3. 1 0 . Пусть ¢ - множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (m Î¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m , т. е. разность (x -y ) делится на m .

Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:

это отношение рефлексивно, т. к. для "x ΢ имеем x -x =0, и, следовательно, оно делится на m ;

это отношение симметрично, т. к. если (x -y ) делится на m , то и (y -x ) тоже делится на m ;

это отношение транзитивно, т. к. если (x -y ) делится на m , то для некоторого целого t 1 имеем https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, отсюда , т. е. (x -z ) делится на m .

Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.

Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.

Пример 3. 11 . Отношение x £y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. ,

Пример 3. 1 2 . Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение A ÍB есть отношение частичного порядка.

Пример 3. 1 3 . Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.

Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта .

Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т. е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.

Отношение предпочтения P , которое можно определить как «aPb , a , b ÎA Û объект a не менее предпочтителен, чем объект b » является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a , то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т. е. P – отношение частичного порядка.

Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование , т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.