Характеристики случайных сигналов и помех. Вероятностные характеристики случайных сигналов

Использование методов нечеткой логики для определения классификационных характеристик случайных процессов

1 2 А.М. Прохоренков, Н.М. Качала

1 Политехнический факультет, кафедра автоматики и вычислительной техники

Экономический факультет, кафедра информационных систем

Аннотация. В работе рассматриваются вопросы необходимости классификации случайных процессов, имеющих место в системах управления технологическими процессами, проводится анализ информативных признаков и существующих подходов к классификации процессов. Предложен подход, при котором классификационными признаками являются класс процесса (стационарный, нестационарный), вид процесса (аддитивный, мультипликативный, аддитивно-мультипликативный) и тип детерминированной составляющей. Предложен алгоритм классификации случайных процессов по одной реализации, основанный на использовании непараметрических критериев, показателя Херста, байесовской процедуре классификации и нечеткой логике.

Abstract. In the paper necessity of random processes" classification in industrial control systems have been considered. Informative signs and existent methods for the classification have been analyzed. The new approach has been suggested. According to it the process type (stationary or non-stationary), process kind (additive, multiplicative or additive-multiplicative) and deterministic constituent"s kind are classification signs. A realization-based algorithm for the random processes" classification has been proposed. It implies application of non-parametric criteria, Hurst items, Bayesian classifying procedure and fuzzy logic.

1. Введение

В настоящее время одним из основных направлений совершенствования систем автоматического управления (САУ) является повышение точности управления и стабилизации технологических параметров в достаточно узких пределах.

Немаловажная роль в решении задачи повышения точности управления отводится измерительной подсистеме, входящей в состав САУ. Случайный характер возмущающих воздействий и управляемых величин предполагает применение процедуры статистической обработки результатов измерений, что обуславливает наличие таких составляющих погрешности, как статистическая погрешность и погрешность, вызванная неадекватностью алгоритма обработки реальному случайному процессу. Причиной последнего вида погрешности является ошибка классификации наблюдаемого процесса. Например, классифицируя нестационарный процесс как стационарный, можно увеличить методическую погрешность при оценке математического ожидания за счет увеличения интервала сглаживания. В свою очередь, усложнение алгоритма измерений с целью уменьшения методической погрешности приводит, как правило, к росту инструментальной погрешности. Установление априори класса процесса во многом предопределяет алгоритм обработки результатов измерений и аппаратные средства.

В САУ необходимость классификации случайных процессов обусловлена также требованиями обоснованного перехода от анализа ансамбля реализаций к анализу одной реализации. Кроме того, знание класса процесса нужно для описания его динамики, прогнозирования его будущих значений и выбора алгоритмов управления.

2. Анализ информативных признаков и подходов к классификации случайных процессов

Распространенный подход при классификации объектов любой природы, в том числе и случайных процессов, состоит в выделении информативных признаков. Проведенный анализ показал, что информативные признаки, используемые при классификации процессов, отличаются разнообразием и определяются поставленной авторами целью классификации.

Все наблюдаемые процессы X(t), которые характеризуют физические явления, в самом общем виде можно классифицировать как детерминированные и случайные.

Детерминированный процесс определяется одной единственной реализацией, описываемой заданной функцией времени. Вследствие неизбежного влияния разнообразных внешних и внутренних факторов по отношению к системе управления детерминированный процесс является абстракцией. В связи с этим в практике исследования процессов рассматривают квазидетерминированный процесс,

реализации которого описываются функциями времени заданного вида аь...,ап), где аь...,ая -независящие от времени случайные параметры.

В отличие от детерминированного процесса, случайный процесс представляется в виде случайной функции Х(/,т), где t - время, те О, О - пространство элементарных событий. Функция Х(/,т) в любой момент времени может принимать различные значения с известным или неизвестным законом распределения.

Отнесение процесса к классу случайных может быть обусловлено либо его физической природой, либо условиями его изучения, приводящими к недостаточности априорных данных. Если в основу классификации положить причины возникновения случайности, то можно выделить несингулярные и сингулярные процессы. К первой группе относятся процессы, для которых невозможно проследить характер причинно-следственных связей, так как они являются результатом суперпозиции большого числа элементарных процессов. Для несингулярных процессов принципиально невозможно осуществлять прогнозирование мгновенных значений. Для процессов второй группы при наличии определенного объема данных прогнозирование их мгновенных значений становится достоверным. Сингулярные процессы могут быть как случайными, так и детерминированными. В системах управления технологическими объектами все процессы следует рассматривать как случайные, и для обработки результатов наблюдений в реальном масштабе времени причина случайности процесса не играет роли.

В теории случайных процессов наиболее общей классификацией, является классификация "по времени" и "по состоянию" (Вентцель, Овчаров, 2000; Коваленко и др., 1983; Левин, 1989). По этим признакам можно выделить четыре класса: 1) процессы с дискретными состояниями и дискретным временем; 2) процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем; 3) процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем; 4) процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

Процессы, протекающие в системах автоматического управления, представляют собой случайные процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем. Использование цифровой измерительной техники приводит к необходимости рассмотрения процессов в дискретные моменты времени и отнесению их к первому или третьему классу.

Исчерпывающей характеристикой случайного процесса является многомерный закон распределения:

^п(хЬ X2, /2; ... ; х^ 4) = Р{Х(^)< XI,Х^)< хъ...,Х(4)< хп}.

На практике, как правило, рассматривают одномерный или двумерный законы распределения случайного процесса, поскольку они содержат достаточный объем информации о свойствах случайного процесса, а прирост количества информации при использовании вероятностных характеристик высшего порядка оказывается незначительным. Кроме того, определение многомерных вероятностных характеристик связано с большими трудностями аппаратной реализации алгоритмов их вычисления.

С учетом изменения вероятностных характеристик во времени случайные процессы подразделяются на стационарные (ССП) и нестационарные процессы (НСП). Вероятностные характеристики ССП одинаковы во всех сечениях. Условием стационарности в узком смысле является инвариантность п-мерной плотности вероятности относительно временного сдвига т. Условия стационарности в широком смысле ограничиваются требованиями независимости от времени математического ожидания М[Х(0] и дисперсии Б[Х(()] и зависимости корреляционной функции лишь от временного сдвига т, то есть:

М[Х(0\=сош1, £[Х(0\=сош1, Ях(Ь, t2)=Rx(т), т=^2 - 1.

На практике в большинстве случаев корреляционная функция является достаточно полной характеристикой ССП, поэтому обычно ограничиваются выявлением стационарности процесса в широком смысле.

Структуру случайного процесса можно установить по корреляционной функции или по известной плотности распределения.

В зависимости от типа законов распределения можно выделить нормальные, равномерные, релеевские, пуассоновские и другие случайные процессы. Отклонения от классической формы распределения говорит о нестационарности процесса. По одной реализации ограниченной длины трудно с достаточной точностью судить о законе распределения случайного процесса, и в большинстве прикладных случаев анализа исследователь не располагает информацией о виде функции распределения. Тогда тип процесса либо постулируется, либо функция распределения не учитывается при анализе.

Более полную информацию о динамических свойствах процесса можно получить по корреляционной функции. Типичной корреляционной функцией ССП является симметричная убывающая функция. Наличие колебательности корреляционной функции свидетельствует о периодичности случайного процесса. Если корреляционная функция апериодически затухающая, то

случайный процесс считается широкополосным. Многополосный случайный процесс характеризуется треугольной корреляционной функцией. Стационарные - в широком смысле - процессы имеют корреляционные функции, которые при неограниченном увеличении т стремятся к постоянной величине или являются периодическими функциями от т. Корреляционная функция постоянного сигнала Х(()=Л является также постоянной функцией Я(т)=А2.

Стационарные процессы, корреляционные функции которых включают экспоненту с отрицательным аргументом, являются эргодическими. Стремление корреляционной функции к некоторой постоянной величине, отличной от нуля, обычно является признаком неэргодичности процесса.

Определение статистических характеристик случайных процессов принципиально возможно двумя путями: определение по одной реализации и по ансамблю реализаций. Если вероятностные характеристики процесса, полученные усреднением по времени, равны аналогичным характеристикам, найденным усреднением по ансамблю, то случайный процесс является эргодическим. Процессы, не обладающие свойством эргодичности, можно обрабатывать только по ансамблю реализаций.

Знание априори об эргодичности процесса значительно упрощает алгоритмическое обеспечение информационно-измерительных и информационно-управляющих комплексов. В условиях реальных технологических процессов и систем управления проверить глобальную эргодичность процессов невозможно, и она принимается как гипотеза.

Для нестационарных процессов характерно изменение во времени их статистических характеристик, поэтому при выполнении классификации это можно учесть. С точки зрения такого подхода, обычно выделяют процессы, которые имеют переменное во времени среднее значение; переменное во времени среднее значение квадрата, переменные во времени среднее и среднее значение квадрата, переменную по времени частотную структуру (Бендат, Пирсол, 1989). Подобная классификация отражает изменение во времени оценок вероятностных характеристик.

Проведенный выше анализ показал, что не может существовать единой классификации процессов в силу независимости классификационных признаков и разнообразия целей классификаций. Можно выделить несколько подходов к классификации процессов. Значительная часть авторов стремится систематизировать информацию о случайных процессах, чтобы показать все их многообразие (Вентцель, Овчаров, 2000; Коваленко и др., 1983; Левин, 1989; Шахтарин, 2002). Наиболее общий подход к классификации как стационарных, так и нестационарных процессов связан с их непрерывным или дискретным представлением (Вентцель, Овчаров, 2000; Коваленко и др., 1983; Левин, 1989).

В прикладных случаях учитывается специфика задач, решению которых должна предшествовать классификация наблюдаемых процессов. Так, например, в (Цветков, 1973; 1984; 1986) проведена классификация процессов в метрологии по признакам стационарности и эргодичности с целью выявления причин и анализа их влияния на методическую погрешность измерений статистических характеристик случайных процессов. В радиотехнике широко используется классификация по спектральным свойствам сигналов (Левин, 1989). Для обоснования перехода от анализа ансамбля реализаций к анализу индивидуальных реализаций в (Бендат, Пирсол, 1989) предлагается выполнить классификацию по типам нестационарности и при этом рассматривается поведение во времени оценок статистических характеристик.

Таким образом, существующие в настоящее время подходы к классификации случайных процессов не позволяют разработать алгоритм их анализа с целью выявления характера нестационарности процесса, вида детерминированных составляющих и их характеристик, необходимых для решения задач оперативного контроля и управления технологическими процессами, по одной реализации. В этой связи актуальными являются решения, направленные на обобщение и совершенствование существующих подходов к классификации случайных процессов.

3. Классификация случайных процессов по одной реализации

Случайные процессы, протекающие в системах управления, можно представить как результат совместного действия детерминированного полезного сигнала и стационарной помехи. В общем случае влияние помехи на полезный сигнал может быть выражено оператором Х(()=У(ф((), £(/)), где ф(/) -полезный сигнал (сигналы), е(() - стационарная помеха. В зависимости от вида оператора V различают следующие модели сигналов (Харкевич, 1965):

аддитивная модель Х(0 = + е(0; (1)

мультипликативная модель Х(/) = ф2(/) е(/); (2)

аддитивно-мультипликативная модель Х(/) = щ(() + ф2(/) е(Г), (3)

где ф1(0, ф20) - детерминированные функции времени, е(1) - стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием ше = 0 и постоянной дисперсией Д.

Примером аддитивного процесса может служить выходной сигнал измерительного прибора, когда полезный сигнал суммируется с внутренним шумом прибора. Изменение жесткости мембраны датчика манометра, изменение коэффициента усиления усилителя, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре и другие являются причинами мультипликативной погрешности измерительных систем, которая описывается мультипликативной моделью. Во многих случаях нестационарный процесс погрешностей можно описать в виде аддитивно-мультипликативной модели.

В инженерной практике обычно рассматриваются стационарные в широком смысле процессы, при этом оценивается во времени поведение математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции. Поэтому и при классификации нестационарных процессов следует исходить из анализа этих же характеристик.

С учетом принятых допущений математическое ожидание тХ, дисперсия БХ и корреляционная функция RX случайных процессов, представленных моделями (1-3), имеют следующий вид:

аддитивная

мультипликативная

аддитивно-мультипликативная

тХ(0 = ф:(0; Ду(0 = Д;

Rx(tl, /2) = Rs(th /2);

тХ(() = 0; Ду(0 = ^(ОД; Rx(tl, /2) = ^(М^^ША, /2); тХ(Р) = ф1(/); ДКО = Ф22(№; Rx(tl, /2) = Ф2(ЬШ/2ШЬ, /2).

Из приведенных соотношений следует, что математическое ожидание для аддитивной и аддитивно-мультипликативной моделей зависит от детерминированной составляющей ф1(/). Дисперсия и корреляционная функция аддитивной модели полностью характеризуются свойствами стационарной помехи. А для мультипликативной и аддитивно-мультипликативной моделей эти вероятностные характеристики определяются также и детерминированной составляющей ф2(/).

Выражения (4) и (6) показывают, что для процессов, представленных аддитивной и аддитивно-мультипликативной моделями, математическое ожидание можно оценить по одной реализации с помощью той или иной операции, эквивалентной фильтрации низких частот.

Если дисперсия помехи е(Г) постоянная, то определить средний квадрат мультипликативного и аддитивно-мультипликативного процессов (и тем самым получить оценку дисперсии) также можно по одной реализации (Бендат, Пирсол, 1989).

Таким образом, для процессов, представленных моделями (1-3), нет необходимости проверять эргодические свойства нестационарного случайного процесса.

Точность оценки статистических характеристик зависит от типа и параметров детерминированных процессов ф1(/) и ф2(/) (РгокИогвпкоу, 2002), поэтому классификация процессов по виду нестационарности должна быть дополнена классификацией по виду детерминированных процессов.

Классификацию следует рассматривать как необходимый предварительный этап исследования случайных процессов с целью выявления их свойств до проведения основной статистической обработки, поэтому в некотором смысле классификация должна отражать алгоритм анализа наблюдаемого процесса. С учетом сказанного была разработана классификация случайных процессов при наличии одной реализации исследуемого процесса (рис. 1). В качестве классификационных признаков были выбраны класс процесса, вид нестационарности: нестационарность по математическому ожиданию (МО), нестационарность по дисперсии, нестационарность по корреляционной функции (КФ), а также законы изменения математического ожидания и дисперсии. В предлагаемой классификации в качестве детерминированных составляющих рассматриваются наиболее часто встречающиеся в инженерной практике переходные процессы: линейный, экспоненциальный, периодический, периодический затухающий.

Реализация случайного процесса

Стационарный по МО

Н естационарный по МО

СП по дисперсии

НСП по КФ

НСП по дисперсии

СП по КФ НСП по КФ

Линейный

НСП по дисперсии

СП по КФ НСП по КФ

СП по дисперсии

НСП По КФ

Экспоненциальный

Периодический

Периодический затухающий

Рис. 1. Классификация случайных процессов, представленных одной реализацией

4. Постановка задачи классификации случайных процессов

В общем случае под классификацией понимается разделение рассматриваемой совокупности объектов или явлений на однородные, в определенном смысле, группы, либо отнесение каждого из заданного множества объектов к одному из заранее известных классов. Во втором случае имеем задачу классификации при наличии обучающих выборок ("классификация с обучением"). В классическом виде решение данной задачи заключается в выполнении отображения вида:

т.е. отнесение объекта, заданного вектором информативных признаков Я = {гь г2, ..., гп}, к одному из заранее определенных классов {й?ь а2, ..., аШ}.

Процессы, представленные моделями вида (1-3), относятся к классу нестационарных случайных процессов. Для выявления нестационарных свойств предлагается использовать непараметрические критерии (Кендалл, Стьюарт, 1976), показатель Херста (Федер, 1991) и коррелограммы, по результатам применения которых будет формироваться вектор информативных признаков Я.

Значительное большинство непараметрических критериев реагируют на изменение оценки математического ожидания. Таким образом, непараметрические критерии без предварительной обработки наблюдаемого ряда позволяют выделить два класса процессов "стационарные по математическому ожиданию" и "нестационарные по математическому ожиданию".

По значению показателя Херста можно судить как о стационарности процесса по математическому ожиданию, так и о виде детерминированной составляющей. Это позволяет априорно рассматривать три класса процессов: стационарные по математическому ожиданию; нестационарные по математическому ожиданию, изменяющемуся по монотонному закону; нестационарные по математическому ожиданию, изменяющемуся по периодическому закону.

Как было отмечено в разделе 2, корреляционная функция несет информацию о динамических свойствах исследуемого процесса. Выход коррелограммы за 95 % доверительный интервал позволяет в определенной мере судить о том, насколько изучаемый процесс отличается от белого шума.

Невозможность применения процедуры классификации для одновременного выделения классов процессов нестационарных по математическому ожиданию и дисперсии приводит к необходимости двукратного применения процедуры классификации.

Вторая проблема заключается в том, что информативные признаки заданы на разных шкалах. Результат применения отдельно каждого непараметрического критерия измеряется в дихотомической шкале, и признак может принимать два значения "случайный процесс не содержит детерминированную составляющую" - "процесс содержит детерминированную составляющую", или "0" и "1". А показатель Херста измеряется в количественной шкале и принимает значения в диапазоне от нуля до единицы.

Тесты на случайность обладают различной эффективностью при различных видах детерминированных составляющих нестационарных случайных процессов, поэтому в условиях ограниченной априорной информации о свойствах исследуемого процесса решение о классе процесса следует принимать по результатам применения совокупности критериев. В связи с этим предлагается получить некий обобщенный классификационный признак. В основу классификации по непараметрическим критериям предлагается положить байесовскую процедуру для бинарных признаков (Афифи, Эйзен, 1982). Полученные таким образом оценки далее рассматриваются как обобщенный результат применения непараметрических критериев, а апостериорная вероятность - как классификационный признак. При этом шкала измерений становится такая же, что и для показателя Херста.

Третья проблема связана с зависимостью значений выделенных классификационных признаков от длины реализации и параметров исследуемого процесса, которые на этапе классификации процесса неизвестны. Поэтому следует искать ответ на вопрос: "В какой степени исследуемый процесс принадлежит тому или иному классу?". В силу такой постановки вопроса для классификации процессов предлагается использовать методы нечеткой логики.

5. Байесовская процедура классификации

Требуется выполнить классификацию процесса Х(/) на основе наличия или отсутствия п событий. Количество событий (признаков) равно количеству рассматриваемых непараметрических критериев. Определим для каждогоу-го события (у =1, 2, ..., п) случайную величину:

В нашем случае Гу = 1, если в исследуемом процессе Х(/) по критерию у выявлена тенденция изменения математического ожидания, Гу = 0 - в противном случае.

R = (rb r2, ..., rn} ^ye {di, d2, ..., dm},

1, если событие у имеет место, 0, если событие у отсутствует.

Вероятность принадлежности объекта к классу при условии равенства значения признака Ту единице обозначим какру = Рг(ту = 1| ё), тогда Рг(ту = 0| ё,) = 1-ргу для / = 1,2, ... ,т, у=1,2, ... п. Поскольку непараметрические критерии позволяют разбить множество исследуемых процессов на стационарные и нестационарные процессы, то в данном случае т = 2.

Закон распределения Ту для класса имеет вид:

/ (Ту) = РТ (1 - Ру)1-ТУ.

Результаты Ту применения непараметрических критериев являются независимыми, поэтому совместный закон распределения/ (г) для класса можно записать в виде:

/г (Г) =П /г (Ту).

Предположим, что априорные вероятности одинаковы *1 = q2 = 0,5, и стоимости ошибочной классификации равны. Стоимость ошибочной классификации в данном случае связана с потерями, которые могут быть при отнесении стационарного процесса к классу нестационарных или при отнесении нестационарного процесса к стационарному процессу. Условная вероятность Рг(ё, | г) того, что исследуемый процесс принадлежит классу при данном векторе наблюдений (апостериорная вероятность), определяется по формуле (Афифи, Эйзен, 1982):

ъ П РТ (1 - Ру)

Рг(ё/ | г) = ■

П Рку (! - Рку)1-

Процесс Х(0 относится к тому классу для которого величина Рг(ё, | г) максимальна. Величины ру оцениваются по обучающей выборке из процессов, принадлежащих всем рассматриваемым моделям (1-3) и содержащих различные типы детерминированных составляющих. Пусть 51 и 52 - число нестационарных и стационарных по МО процессов, соответственно, 5 = 51 + 52. Обозначим как ^ у число процессов класса /, для которых по у критерию выявлена нестационарность по МО. Тогда ру = wiуlSi. Оценки ру получены для различных длин реализаций случайных процессов.

Для каждого вновь поступающего процесса Х(/), характеризуемого вектором значений признаков (т1, ..., тп), оценка апостериорной вероятности имеем вид:

Рг(ё/ | г) = ■

6. Предлагаемая процедура нечеткой классификации

Каждый классификационный признак Ку задается лингвистической переменной, характеризующейся тройкой элементов <Ку, Ту, Пу>, где Ку - имя переменной; Ту - терм-множество, каждый элемент которого представляется как нечеткое множество на универсальном множестве Пу.

Универсальное множество значений показателя Херста - ПН = . Значения Н в окрестности 0,4 < Н < 0,6 определяют собой область белого шума в нечетком смысле. Значения Н в окрестности 0,3±0,1 говорят о наличии в рассматриваемом временном ряду периодической компоненты. Значения Н, близкие к единице, характеризуют наличие монотонной компоненты в исследуемом процессе.

Определим терм-множество как имена возможных составляющих нестационарных случайных процессов: "периодическая", "стационарная", "монотонная". Функции принадлежности зададим в виде разности двух гауссовых функций, определяемых соотношением:

¿и(х, сг1, с1, сг2, с2) = е а" - е °2 .

Данная функция принадлежности позволяет отразить тот факт, что для каждого типа процесса характерен некоторый диапазон значений показателя Херста - ядро нечеткого множества непустое. Исследования показали, что вероятность ошибки отнесения процесса, содержащего периодическую составляющую, к шуму

выше, чем вероятность ошибки отнесения к шуму монотонного зашумленного процесса. Несимметричная двойная гауссова функция дает возможность отразить этот момент. Функции принадлежности лингвистической переменной "показатель Херста" до настройки нечеткой модели приведены на рис. 2а.

Универсальное множество значений оценки апостериорной вероятности (7) ПРг = . Значения оценки близкие к единице говорят о наличии детерминированной составляющей в исследуемом ряду, а близкие к нулю - о случайности ряда. Терм-множество переменной "непараметрические критерии" определим как {"стационарный", "нестационарный"}. Формализацию термов осуществим с помощью двойной гауссовой функции принадлежности (рис. 2б).

Третью лингвистическую переменную назовем "коррелограмма". Универсальное множество значений этой переменной Пк = - весовой коэффициент правила с номером /р.

В качестве решения выбирают класс с максимальной степенью принадлежности:

Mdi(**), Md2 (**), ..., Mäm (**)),

где символом * обозначен вектор значений классификационных признаков исследуемого процесса.

Настройка представляет собой нахождение параметров функций принадлежности входных переменных и весовых коэффициентов правил, которые минимизируют отклонение между желаемым и действительным поведением нечеткого классификатора на обучающей выборке.

Критерии близости можно определить различными способами. В данной работе использовался критерий, предложенный в (Штовба, 2002). Обучающая выборка формируется из L пар данных, связывающих входы X = (xb x2, ..., xn) с выходом y исследуемой зависимости: (Xq, yq), q = 1, 2, ..., L. Введем следующие обозначения: P - вектор параметров функций принадлежности термов входных; W -вектор весовых коэффициентов правил базы знаний; F(Xq, P, W) - результат вывода по нечеткой базе с параметрами (P,W) при значении входов Xq; ßd(yq) - степень принадлежности значения выходной переменной y в q-ой паре обучающей выборке к решению d,; цdi(Xq, P, W) - степень принадлежности выхода нечеткой модели с параметрами (P, W) к решению d, определяемая по формуле (8) при значениях входов из q-ой пары обучающей выборки. В результате задача оптимизации принимает следующий вид:

1 L m t \ Т Z Sq Z ((yq) - Mdi (Xq, P, W))

Рис. 3. Функция принадлежности лингвистической переменной "показатель Херста" после настройки

= [ 1, если yq = F (Xq, P, W)

где q .

Выражение (4.15) внешне совпадает с определением (2.131) корреляционной функции детерминированного сигнала (периодического).

Часто применяется нормированная корреляционная функция

Функции характеризуют связь (корреляцию) между значениями разделенными промежутком . Чем медленнее, плавнее изменяется во времени тем больше промежуток , в пределах которого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции.

При экспериментальном исследовании случайных процессов используются временнйе корреляционные характеристики процесса (4.15)-(4.19), поскольку, как правило, экспериментатору доступно наблюдение одной реализации сигнала, а не множества его реализаций. Интегрирование выполняется, естественно, не в бесконечных пределах, а на конечном интервале Т, длина которого должна быть тем больше, чем выше требование к точности результатов измерения.

Свойства случайных сигналов оценивают с помощью статистических (вероятностных) характеристик. Они представляют собой неслучайные функции и (или) числа, зная которые, можно судить о закономерностях, которые присущи случайным сигналам, но проявляются только при их многократных наблюдениях.

7.4.1. Характеристики случайных сигналов, не изменяющихся во времени

Основными статистическими характеристиками сигнала, представленного случайной величиной (7.2), являются: функция распределения
, плотность распределения вероятностей
(ПРВ), математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение (СКО)и доверительный интервал. Рассмотрим эти характеристики.

, (7.64)

где
- символ вероятности события.

. (7.65)

Размерность ПРВ
обратна размерности величины.

, (7.66)

Результат вычислений по этой формуле отличается от среднего значения случайной величины и совпадает с ним только в случае симметричных законов распределения (равномерного, нормального и других).

Величина называется центрированной случайной величиной. Математическое ожидание такой величины равно нулю.

4. Дисперсия случайной величины определяет средневзвешенное значение квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. Дисперсия вычисляется по формуле

(7.67)

и имеет размерность, совпадающую с размерностью квадрата величины

Среднеквадратическое отклонение вычисляется по формуле

и, в отличие от дисперсии , имеет размерность, совпадающую с размерностью измеряемой физической величины. Поэтому СКО оказывается более удобным показателем степени разброса возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

В соответствии с правилом «трех сигм», практически все значения случайной величины, обладающей нормальным законом распределения, попадают внутрь интервала
, примыкающего к математическому ожиданию этой величины.

6. Доверительным интервалом называется диапазон возможных значений случайной величины, в котором эта величина находится с заранее заданнойдоверительной вероятностью . Этот диапазон можно записать в виде
, или в виде

т.е. границы доверительного интервала расположены симметрично относительно математического ожидания сигнала , а площадь криволинейной трапеции с основанием
равна доверительной вероятности(рис. 7.7). С ростомдоверительный интервалтакже увеличивается.

Половину доверительного интервала можно определить, решая уравнение

. (7.70)

В практике инженерных расчетов наиболее широкое применение среди перечисленных статистических характеристик случайного сигнала получила ПРВ
. Зная ПРВ, можно определить все другие статистические характеристики сигнала. Поэтому функция
являетсяполной статистической характеристикой случайного сигнала.

Укажем на основные свойства ПРВ:

2.
и
, т.е., зная ПРВ
, можно определить функцию распределения случайной величины
и, наоборот, зная функцию распределения, можно определить ПРВ;

, (7.71)

Отсюда следует условие нормировки ПРВ

. (7.72)

так как вероятность события
равна единице. Если все возможные значения измеряемой случайной величины занимают интервал
, то условие нормировки ПРВ имеет вид

, (7.73)

В любом случае, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком ПРВ, равна единице. Это условие можно использовать для определения аналитического вида (формулы) ПРВ
, если известны только форма графика или только вид этой функции (см. Приложение 5, задача 7.6) .

7.4.2. Характеристики системы случайных сигналов

Процесс измерения характеризуется наличием множества случайных величин и событий, участвующих в формировании результата измерения. Помимо самой измеряемой величины, сюда входят неинформативные параметры объекта контроля, параметры средства измерений, параметры окружающей среды и даже состояние потребителя измерительной информации. Их совокупное влияние на результат измерения выражается в том, что этот результат, полученный вновь при (казалось бы) неизменных условиях измерений, отличается от прежнего результата. Проводя повторные измерения и накапливая данные (статистику), можно, во - первых, составить представление о степени разброса результатов измерений и, во - вторых, попытаться выяснить влияние каждого фактора на погрешность результата измерений.

Если рассматриваются несколько (две и более) случайных величин , то они образуютсистему случайных величин . Такая система кроме перечисленных выше характеристик для каждой случайной величины в отдельности имеет дополнительные характеристики , позволяющие оценить уровень статистических связей между всеми случайными величинами, образующими систему. Такими характеристиками являются корреляционные моменты (ковариации) для каждой пары случайных величин, . Они вычисляются по формуле

, (7.74)

где
-двумерная ПРВ системы двух случайных величин и(с математическими ожиданиямиисоответственно), характеризующаясовместное распределение этих величин.

При отсутствии статистической связи между величинами исоответствующий корреляционный момент равен нулю (т.е.
). Такие случайные величины называютсястатистически независимыми .

При выполнении математических операций со случайными величинами, имеющими известные статистические характеристики, важно уметь определять статистические характеристики результатов этих операций. Ниже такие характеристики приводятся для простейших математических операций:

Если величины статистически независимые, то . т.е. дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

В таблице 7.2. приведены формулы для определения характеристик суммы двух случайных величин. В этом случае ,
, а дисперсияи СКОрезультата суммирования существенно зависят от величины относительного коэффициента корреляции суммируемых величин
, где
.

Таблица 7.2.

Статистические характеристики суммы двух случайных величин

Равенство
соответствует случаю, когда изменение величинывсегда влечет за собой изменение величиныи всегда в ту же сторону, что и, т.е.
. Если знаки изменений этих величин всегда противоположны друг другу, то
. Наконец, если величиныиимеют конечные дисперсии и статистически не зависят друг от друга, то
. Обратное утверждение справедливо только для нормально распределенных случайных величин .

Если величины статистически независимые, то

, .

,

Аналогично, если
- известная функция двух непрерывных случайных величин , совместная (двумерная) ПРВ которых
известна, то математическое ожиданиеи дисперсиютакой случайной величины можно определить по формулам

, (7.80)

Все предыдущие формулы для вычисления результатов математических операций со случайными величинами можно получить из этих общих формул.

7.4.3. Типовые распределения случайных сигналов

Рассмотрим статистические характеристики непрерывных случайных величин, имеющих типовые распределения.

7.4.3.1. Равномерное распределение .

В случае равномерного распределения случайная величина (7.2) с одинаковой плотностью вероятности попадает в каждую точку ограниченного интервала . ПРВ
и функция распределения
такой случайной величины имеют вид (рис. 7.8)

(7.81)

Другие (частные) статистические характеристики такой случайной величины можно вычислить по формулам

,
,
,
. (7.82)

7.4.3.2. Треугольное распределение (распределение Симпсона)

В этом случае график ПРВ имеет форму треугольника с вершиной в точке
, а график интегрального закона распределения представляет собой плавное сопряжение двух парабол в точке
, где,
,
(рис. 7.9).

(7.83)

Математическое ожидание и дисперсию такой случайной величины можно вычислить по формулам

,
. (7.84)

Если
, то распределение Симпсона становитсясимметричным . В этом случае

,
,
,
. (7.85)

7.4.3.3. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальное распределение относится к одному из наиболее часто встречающихся распределений случайных величин. Отчасти это связано с тем, что распределение суммы большого числа независимых случайных величин, обладающих различными законами распределений, часто встречающееся на практике, приближается к нормальному распределению. В этом случае ПРВ и функция распределения имеют вид

,
. (7.86)

СКО и математическое ожидание такой величины совпадают с параметрами
распределения, т.е.
,.

Доверительный интервал не выражается через элементарные функции, но всегда может быть найден из уравнения (7.70). Результат решения этого уравнения для заданного значения доверительной вероятностиможно записать в виде
, где
- квантиль, значение которого зависит от уровня доверительной вероятности.

Существуют табличные значения функции
. Приведем некоторые из них:

,
,
,
,
........

Отсюда видно, что с довольно высокой вероятностью (
) практически все значения случайной величины, обладающей нормальным распределением, попадают в интервал
, имеющий ширину
. Это свойство положено в основу правила «трех сигм».

На рис. 7.10 показаны графики ПРВ и интегрального закона нормального распределения для двух различных значений СКО (
) и одинакового математического ожидания.

Видно, что график ПРВ представляет собой одногорбую «резонансную» кривую с максимумом в точке
, расположенную симметрично относительно математического ожидания. Эта кривая тем «острее», чем меньше СКО. Соответственно, тем меньше разброс возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Однако во всех случаях площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком ПРВ, равна единице (см. (7.72)).

В теории вероятностей кроме рассмотренных выше характеристик применяют еще и другие характеристики случайной величины: характеристическую функцию, эксцесс, контрэксцесс, квантильные оценки и пр. Однако, рассмотренных характеристик вполне достаточно для решения большинства практических задач измерительной техники. Покажем пример решения такой задачи.

Пример 7.4.: Требуется определить параметр А (координату вершины) плотности распределения вероятностей случайного измерительного сигнала, график которой показан на рис. 7.11 (предполагается, что известна только форма этого графика).

Требуется также определить вероятность того, что величина (модуль) сигнала будет больше, чем его СКО , т.е. требуется определить вероятность события
.

Решение: Значение параметра А определим из условия нормировки ПРВ (7.73), которое в данном случае имеет вид

.

Здесь первое слагаемое соответствует площади прямоугольника, лежащего на рис. 7.11 под графиком ПРВ левее пунктирной линии
, второе - площади прямоугольного треугольника, лежащегоправее этой линии. Из полученного уравнения находим
. С учетом этого результата, плотность распределения вероятностей можно записать в виде

Теперь можно вычислить математическое ожидание , дисперсиюи СКОсигнала. По формулам (7.66), (7.67) и (7.68) соответственно получаем:На рис. 7.11 штрихпунктирными линиями показаны границы интервала
.

В соответствии с условием нормировки (7.71), искомая вероятность равна сумме площадей под графиком ПРВ, расположенных левее точки
(в данном примере эта площадь равна нулю) и правее точки
, т.е.

.

7.4.4. Характеристики случайных сигналов, изменяющихся во времени

Случайный сигнал, изменяющийся во времени в общем случае содержит детерминированную (систематическую) и центрированную случайную (флуктуационную) составляющие, т.е.

. (7.87)

На рис. 7.12 показан график одной из ряда возможных реализаций такого сигнала. Пунктиром показана его детерминированная составляющая
, вблизи которой группируются и вокруг которой колеблются все другие реализации сигнала.

Полное представление о характеристиках такого сигнала дает генеральная (полная) совокупность всех его реализаций. На практике она всегда конечна. Поэтому характеристики случайного сигнала, найденные опытным путем, следует считать оценками его действительных характеристик.

В каждый момент времени (т.е. в каждом сечении сигнала) значения случайной функции времени (7.87) представляют собой случайную величину
с соответствующими статистическими характеристиками, рассмотренными выше. В частности, детерминированная составляющая случайного сигнала в каждый момент времени совпадает сматематическим ожиданием соответствующей случайной величины
, т.е.

, (7.88)

где
- одномерная ПРВ случайного процесса (7.87), которая, в отличие от рассмотренной выше ПРВ случайной величины (7.65), зависит не только от, но еще и от времени.

Степень разброса реализаций случайного сигнала относительно его систематической составляющей (7.88) характеризует максимальное значение модуля флуктуационной составляющей сигнала и оценивается по величине СКО этой составляющей, которое в общем случае также зависит от времени

. (7.89)

где
- дисперсия случайного сигнала, вычисляемая по формуле

. (7.90)

Для каждого момента времени можно определить доверительный интервал
(см. (7.70)), а затем построитьдоверительную область , т.е. такую область, в которую реализации случайного сигнала
попадают с заранее заданной доверительной вероятностью(рис. 7.13).

Трех рассмотренных характеристик (
и
) достаточно для того, чтобы составить общее представление о свойствах случайного измерительного сигнала (7.87). Однако, их недостаточно, чтобы судить о внутреннем составе (спектре) такого сигнала.

На рис. 7.14, в частности, показаны графики реализаций двух различных случайных сигналов с одинаковыми математическим ожиданием
и СКО
. Отличие этих сигналов выражается в различном спектральном (частотном) составе их реализаций, т.е. в разной степени статистической связи между значениями случайного сигнала в два момента времени и
, отстоящих друг от друга на величину. Для сигнала, показанного на рис. 7.16,а эта связь более сильная, чем для сигнала на рис. 7.14, б .

В теории случайных процессов подобная статистическая связь оценивается с помощью автокорреляционной функции случайного сигнала (АКФ), которая вычисляется по формуле

, (7.91)

где
-двумерная ПРВ сигнала.

Различают стационарные и нестационарные случайные сигналы. Если сигнал (7.87) стационарный, то его математическое ожидание (7.88) и дисперсия (7.90) не зависят от времени, а его АКФ (7.91) зависит не от двух аргументов и, а только от одного аргумента - величины временного промежутка
. Для такого сигнала

,
,
, где
. (7.92)

Другими словами, стационарный случайный сигнал является однородным по времени , т.е. его статистические характеристики не изменяются при изменении точки отсчета времени.

Если, помимо стационарности, случайный сигнал является еще и эргодическим , то
, а его автокорреляционную функцию можно вычислить по формуле

, (7.93)

не требующей знания двумерной ПРВ
так как в этой формуле в качествеможно использоватьлюбую реализацию сигнала. Дисперсию такого (стационарного и эргодического) сигнала можно вычислить по формуле

, (7.94)

Достаточным условием эргодичности случайного сигнала является стремление к нулю его АКФ
при неограниченном росте временного сдвига.

АКФ случайного сигнала часто нормируется к дисперсии. В этом случае безразмерная нормированная АКФ вычисляется по формуле

. (7.95)

На рис. 7.15 показан типичный график такой АКФ.

Зная эту функцию, можно определить интервал корреляции , т.е. время, по истечении которого значения случайного сигнала можно считатьстатистически не зависящими друг от друга

. (7.96)

Из этой формулы следует, что площадь под графиком нормированной АКФ совпадает с площадью прямоугольника единичной высоты, имеющего в основании удвоенный интервал корреляции
(см. рис. 7.15).

Поясним физический смысл интервала корреляции . Если известна информация о поведении центрированного случайного сигнала «в прошлом», то возможен его вероятностный прогноз на время порядка интервала корреляции . Однако, прогноз случайного сигнала на время, превышающее интервал корреляции, окажется недостоверным, так как мгновенные значения сигнала, столь «далеко» отстоящие друг от друга во времени, являются практически некоррелированными (т.е. статистически не зависящими друг от друга).

В рамках спектрально - корреляционной теории случайных процессов для описания свойств стационарного случайного сигнала достаточно знать только его АКФ
, или толькоэнергетический спектр сигнала
. Эти две функции связаны друг с другом формулами Винера – Хинчина

, (7.97)

, (7.98)

т.е. каждой функции частоты
соответствует вполне определенная функция временного сдвига
и наоборот, каждой АКФ соответствует вполне определенная спектральная плотность мощности стационарного случайного сигнала. Поэтому, зная энергетический спектр флуктуационной составляющей
случайного сигнала (7.87)
, можно определить АКФ этой составляющей
и наоборот. Это подтверждает то, что частотные и корреляционные характеристики стационарного случайного сигнала тесно связаны друг с другом.

Свойства АКФ случайного сигнала
аналогичны свойствам АКФ детерминированного сигнала
.

Автокорреляционная функция
характеризуетстатистическую связь между значениями стационарного случайного сигнала в моменты времени, отстоящие друг от друга по оси времени на величину . Чем меньше эта связь, тем меньше соответствующее значение АКФ. Энергетический спектр
характеризует распределение по оси частот энергий гармонических составляющих случайного сигнала.

Зная энергетический спектр
, или АКФ
флуктуационной составляющей сигнала (7.1)
, можно вычислить её дисперсиюи эффективную ширину спектра (полосу частот)по формулам

, (7.99)

, (7.100)

где
- ордината точки максимума на графике функции
.

Эффективная ширина спектра случайного спектра случайного сигнала аналогична активной ширине спектра
детерминированного сигнала, то есть, как и последняя, определяет такой диапазон частот, в пределах которого сосредоточена подавляющая часть средней мощности сигнала (см.(7.55)). Поэтому по аналогии с (7.55) ее можно определять из соотношения

. (7.101)

где - постоянный коэффициент, определяющий долю мощности случайного сигнала, приходящуюся на полосу частот
(например, = 0,95).

На рис. 7.16 дана графическая иллюстрация формул (7.100) и (7.101). В первом случае полоса частот совпадает с основанием прямоугольника, имеющего высоту
и площадь
(рис. 7.19,а ), во втором – с основанием криволинейной трапеции, имеющей площадь
(рис. 7.16,б ). Полоса частот узкополосного случайного процесса располагается в области
, где- средняя частота спектра (рис. 7.16,в ), и вычисляется из соотношения

.

Эффективную ширину спектра случайного сигнала можно определить множеством других способов . В любом случае величины идолжны быть связаны соотношением, подобным соотношению
, имеющему место для детерминированных сигналов (см. раздел 7.3.3).

а б в

В таблице 7.3 приведены спектрально-корреляционные характеристики для трех стационарных случайных сигналов.

В первом пункте этой таблицы приведены характеристики так называемого белого шума - специфического случайного сигнала, значения которого, расположенные сколь угодно близко друг к другу, - независимые случайные величины. АКФ белого шума имеет форму  - функции, а его энергетический спектр содержит гармонические составляющие любых (в том числе сколь угодно высоких) частот. Дисперсия белого шума - бесконечно большое число, т.е. мгновенные значения такого сигнала могут быть сколь угодно большими, а его интервал корреляции равен нулю.

Таблица 7.3.

Характеристики стационарных случайных сигналов

Во втором пункте таблицы указаны характеристики низкочастотного шума, а в третьем пункте – узкополосного шума. Если
, то эти характеристики этих шумов близки друг к другу.

Случайный сигнал называется узкополосным , если частота значительно меньше средней частоты спектра. Узкополосный случайный сигнал можно записать в виде (см. (7.12)), где функции
и
изменяются значительно медленнее, чем функция
.

Свойства спектрально - корреляционных характеристик стационарного случайного сигнала аналогичны свойствам амплитудного спектра и АКФ детерминированного сигнала. В частности,
и
- четные функции,
и т. д. Есть и отличия. Отличие корреляционных функций заключается в том, что АКФ детерминированного сигнала
характеризует связь сигнала
и его копии
, а АКФ случайного сигнала
- связь значений сигнала
и
в разные моменты времени.

Различие между функциями
и
заключается в том, что функция
представляет собой не точный частотный образ случайного сигнала
, а усредненную характеристику частотных свойств целого ансамбля различающихся между собой реализаций этого сигнала. Этот факт, а также отсутствие в энергетическом спектре
информации о фазах гармонических составляющих случайного сигнала не позволяет восстанавливать по нему форму этого сигнала.

Из формул (7.97) и (7.98) следует, что функции
и
связаны друг с другом преобразованиями Фурье, т.е. (см. (7.46))

и
.

Поэтому, чем шире спектр случайного сигнала (чем больше ), тем уже его АКФ и меньше интервал корреляции.

Измерительные сигналы, являясь случайными сигналами, не могут быть описаны математической функцией времени с полной определенностью.

В соответствии с этим можно говорить лишь о вероятности появления в каждый данный момент того или иного значения сигнала .

При подобном подходе объектом изучения становятся не характеристики конкретного сигнала, а вероятностные статистические характеристики совокупности сигналов электросвязи того или иного вида связи .

К статистическим характеристикам случайного сигнала s (t ) относятся:

среднее значение (постоянная составляющая)

где Т - время наблюдения случайного процесса;

мгновенная мощность случайного сигнала s (t )в момент t по определению равен

энергия случайного сигнала s (t )равна интегралу от мощности по всему интервалу времени существования или задания сигнала. В пределе:

средняя мощность случайного сигнала s (t ) в интервале t 2 –t 1

Понятие средней мощности может быть распространено и на случай неограниченного интервала Т = t 2 – t 1 ⟹∞. Строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала (220 В – действующее значение гармонического колебания с амплитудой 380 В).

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

w(t) = |s(t)| 2 /R,

В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналовиспользуются в более широком смысле, чем в физике . Они представляют собой метрологические характеристики сигналов

Если в выражении для энергии

взять не квадрат модуля сигнала, а произведение сигнала и его же, но смещенного на время τ, то получится автокорреляционная функция

В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах периода:

Энергетический спектр (спектральная плотность средней мощности)

Функция G (ω )представляет собой спектральную плотность средней мощности процесса, т. е. мощность, заключенную в бесконечно малой полосе частот.

Мощность, заключенную в конечной полосе частот между ω 1 и ω 2 определяют интегрированием функции G (ω ) в соответствующих пределах:

3.3. Динамический диапазон и пик-фактор сигналов .

Мгновенная мощность сигналов связи может принимать различные значения в самых широких пределах. Чтобы охарактеризовать эти пределы вводят понятия динамического диапазона и пик-фактора сигнала .

Динамический диапазон сигнала дБ, определяется выражением

где W тах и W min - максимальное и минимальное значения мгновенной мощности.

Под W тах обычно понимают значение мгновенной мощности сигнала, вероятность превышения которого достаточно мала (например, равна 0,01). О величине этой вероятности условливаются для каждого конкретного сигнала.

Пик-фактором сигнала называют отношение его максимальной мощности к средней. В логарифмических единицах

В некоторых случаях динамический диапазон и пик-фактор определяют не в логарифмических, а в абсолютных единицах (в «разах»).